OÙ
(2) '})(«)= e-" <fXx)e ""dx] <^^{y)e '"dy\ <^^{s)e "'"dz... \dœ>.
Ce théorème suppose que les fonctions Çj, 93, tpj, . . . sont telles que, 1". 'J>(«) et sa dérivée restent finies pour toutes les valeurs réelles et
positives de m, ,ou pour toutes les râleurs imaginaires de m, dont la partie
réelle est positive;
2**. la fonction (jj («) devient zéro pour
u=:a-±.zV — 1, 'ou u=zd^ay — 1,
lorsque a ^ 00, quelle que soit la valeur de z, pourvu qu'elle soit réelle et positive.
Soient, par exemple, 1". m = n=p = . . .= 1,
daDS ce cas, pour trouver la valeur de l'intégrale
... af-'^ y^'^ :f~^ . . ./"(a; h- y -h 2 h-. . .) dx dy dz. . ., on a d'abord par l'équation (2),
t|)(M)= e""" af-V~'''da; if~^e "V?/ ^-^ e "'ds... \ da
= r (ffl) r (&) r (c) . . . MS(-+4+e+...> g- ^-i-^-***-) <;» = = r(a)r(&)r(c}...r(i— a— &— c— . , .)m^<"^^->,
et en substituant cette valeur de ^(u) dans l'équation (1), on trouve
= r(fl) r(6} r(c}...r(i-a-6~c~...) ^.i^t"-^^-^-^ ■■■■) „s(-w+«-...-i)
Cette équation donne ^{u) = r{a) r{b) Vie). ..ni-a-b-c-. . ,) ^''("-'-&-^<^--) «-+*+*^-.-\ Mais , d'après une propriété connue de la fonction F, on a
donc l'intégrale
... af-^ î^-'- 2°-^ . . .f(x-\-y-v-z-*-. . .)dx dy dz. . ,
Cû qui a déjà été démontré par M. Liouville.
2". Soient
fi {x) = cosax, 9j(î/) == cosfeî/, <f)^{s) = coscs, . on aura, pour trouver l'intégrale
ri'i
cosffcc cosbx coscz. . .f{a^-*-i/^-i-3^-t-. . .) dx dy c
d'abord
(«) =^ e " cos oa; e " dx \ cùshje " di/ \ coscue " dz... t
J 1 ara 2/a • iVa.
OÙ [J. désigni? k nombre des variables a;, y, ^, . . , , et p = a^-t- 6''-»- c^- Mais on sait que, pour un nombre impair [jl, on a
2' *? / «^nI^
(- 1) ' (il) '
2(1) ' (ip) '
2(-l)' (iî) ■
donc, pour un nombre impair des variables x, if, s, ... , l'intégrale
cos ax cos hy ces cz. . . f{x^ -t- y^ -t- s^ -t- . . .) dx dy c
Vup /(M)
q^rfM.
ce qui est le théorème de M. Cauchy (Journal de TEcoIe Polytechnique, XIX* cahier), d'où il déduit, comme cas particulier, la formule de Poisson.
NOTE
SBB U COBVBBGBNCÏ
• ji< La bâiKIili Dm lÀXLOK,
(Crelle, Journal fiir die reine iind angewandte Mathematili, B. 28, 1844, p. 279—283.)
Note sur la convergence de la série de Taylor.
D'après la règle de Mr. Cauchy la série
rt«)-Hf m+o f>)-*- ■ ■-*-r2iS=ij /"'"(«'-^TTSxrï '"'W-^- ■ ■
sera convergente toutes les fois que
Um. [ffiod. ^:^^ ^"'^''']ï.< * ' ou, ce qui est le même,
(1) lim. [(mod.^)". mod. rÇj^T- ^ ^' et divergente, si
(2) lim. [mod. j/g"^^ ^"*(<'']L„> ^•
Mais on a
f{a)^^\f{a-^Re'"'-'}dp,
lorsque la fonction f(a -t- re^ ^) est finie et continue, quel que soit p, pour r=iï et pour une valeur quelconque de r plus petite que M*), et de même
(3) fia) = 1^1 /^ (a -H ReP-^"^) dp,
(4) rici)=.^^f"{a-i-Re''^=^)dp,
*) Cauchy, Exercices d'Analyse et de Physique Mathématique. Tome I, page 856-
(B) p-»(a) = i j f■•'-v^a -H Se'"-') dp,
(6) r<{a) = ^^ r'i<>-^lie"'-')dp,
si f(a-^re'"^), f"{a-t-re'"^), . . . f"-''(o-i-re»'^), f">{a-i-re'"^) sont aussi iinies et continues , quel quo soit ^, pour toutes les valeurs r qui ne surpassent pas B.
Or l'intégration par parties donne
f r(o -H Se'"^) * = i I" e-'"^ f(a h- Be'"^') if , IrCd -H Re'"-') (Jy = ^ 1 e-"''^ f (« ->- -Re"'^) # ,
f /■i>-')(a-HBe>"'=ï) # = l^^^;^#=i' [ 6-1"-»"'=^ f(a-H Se'*'^) (iy,
rf" >(o -1- Be'"^') ip = '^'"^ jj'."~''° I" e~""^ f(a ■*■ Be''*^) dp , ce qui change les équations (3), (4), (5) et (6) en celles-ci
(7) /'("■> = È;-i f e-'''^f(«H-*""^) dp,
(8) fia) = à-V p-'"'=^f (<■ + »"'^) #.
(10) f "'(«) = i. 1;?^ p-"'^ Ao + «e"^) #,
Désignant par 7. la plus grande valeur du module de l'expression f{a-i-Be^ ''^) pour toutes les valeurs de^, nous trouverons que les modules
mod. [e-''^~^ f{a'^lie''^~^)\, mod. [e-^^^/'Co-H Jïe''^^)],. . .
. . .mod. [e-t"-'"'^^A'n-^e''^^)], mod. [e—"^^ Ao-*-iîe'^^)]
ne surpassent pas X ; car les modules des expressions
sont égaux à l'unité.
Cela étant, on conclut des équations (7), (8), (9) et (10)
mod/4t'<±.iApp<A,
■^'^■^&h.<kw-'^\ip<T-
D'après cela la condition (1) de la convergence de la série
se réduit à celle-ci:
OU simplement à
mod. e<.B,
la limite de X" pour w =^ co étant l'unité. Donc la série de Taylor
(11) /■(«)-|r(<.)-^rwH-...-Hi^,,r^^,)r'-»H-.^fw-H...
sera convergente si le module de z est plus petit que iî, où, comme nous l'avons dit, les expressions
/■{o-Hrc"^^), /'(«H-re'*^^),.../'<"-^'(a-Hre'^=^), f-\a^re''^^),...
restent finies et continues, quel que soit p, pour ï- = 7ï et pour une valeur quelconque de r < B. En d'autres termes: la série de Taylor
sera convergente si le module de s est au dessous du module de la valeur imaginaire de x qui rend infinie ou discontinue au moins une des fonctions
Mais ces conditions toutes, sont-elles nécessaires pour la convergence de la série de Taylor? C'est-à-dire: la série de Taylor (11) est-elle toujours divergente pour une valeur de s, dont le module est plus grand que celui de la valeur de x qui rend au moins une des fonctions
f{a-i-x), fia-t-x), f'(a-i-x),.. .f-'^a-t-x), f"\a-t-x),. . .
infime ou discontinue? Voilà ce que nous allons examiner.
Si la fonction f-^^{a ■+- x) , par exemple , devient infinie ou discontinue pour x^X, au moins une des séries
/<»>(» -H X) = f^ (a) -+- j f^^^a) -+- g /^"^^' (fl) -H . . . sera divergente, ce qui ne peut avoir lieu qu'en supposant
Mais ces conditions peuvent être exprimées par
L 1.2.3...n' "• -'J„=„-^ Umod-X)"-" (» — 'n-i-l)...nj„^„'
L 1.2.3...»' \ 'X^„-^ L(inod. Xf-"-^ (»»-«').-«J„=»'
or
lim, r '"'■;)• , . ; — ;7 > lim. r(i!£i4y , /Eîizpy
L(mod. Z)"-"-^ (» — tn) ..nj„^„^ Llmod. X/ V » / J„^„
et
T r/mod. j'^" /mod. X\'n+inV mod. £ ,- rmod. X1~S~ mod. e ,
donc les inégalités donneront
En comparaat cette inégalité avec la condition (2) de la divergence de la série
on voit que la série sera toujours divergente , si le module de s est plus grand que celui de la valeur de x qui rendrait infime ou discontinue au moins une des fonctions
f{a-^x), f{a-t-x), f'ia-*-x),. . .f-^^a^x), f^'^a-t-x),. , .
Nous voilà donc parvenus à ce théorème général: «La série de Taylor:
Aa)-t-i-r(»)-Hi?^,r(-»)-'---^l.a.s""i„-i)^'""('')-r2X3,^"'('')-^est divergente ou convergente suivant que le module de e est plus gramd ou
plus petit que celai de la valeur imaginaire x qui rendrait infinie on discontinue au moins une des fonctions
fia-i-x), f{a-i-x), f'{a -t-x),. . .f^^^'^a-t-x), f^'\a-i-x),. . .
C'est ainsi, par exemple, que la série
est convergente ou divergente suivant que le module de la valeur de 2 est plus petit ou plus grand que l'unité qui est le module de la valeur x=y— 1
pour laquelle la seconde dérivée et les suivantes de(l-Ha;^)^ deviennent infinies.
Ce théorème n'est qu'une très simple conclusion des découvertes remarquables de Mr. Cauchy; mais il est en partie contraire à la règle de la convergence des séries donnée par cet illustre Géomètre, dont l'énoncé est le suivant;
«X désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonction rédle ou imaginaire de x sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de a;, tant que le module de x conserve une valeur inférieure à la plus petite de celles pour lesquelles la fonction ou sa dérivée cesse d'être fimie et continue» *).
L'insuffisance de cette règle provient, ce me semble, de ce que Mr. Cauchy suppose la valeur de l'intégrale définie être développable en série convergente, lorsque la différentielle entre les limites de l'intégration peut être développée en série convergente; ce qui n'a lieu que dans des cas particuliers.
*) Cauchy. Exercices d'Analyse et de Physique Mathématique. Tome I, page 2
BEMONSTRATiON ELEMENTAIRE
D'usK paoposmoH
(Orelle, Journal fur di(! reine und angewandto Mathematik, B. 33, 18415, p. 259—267.)
Démonstration élémentaire d'une proposition g'énérale de la tliéorie des probabilités.
§ 1. La proposition, dont la démonstration sera l'objet de cette note, est la suivante :
«On peut toujours assigner un nombre d'épreuves tel, que la probabilité «de ce que le rapport du nombre des répétitions de l'événement E à celui «des épreuves ne s'écartera pas de la moyenne des chances de E au delà « des limites données , quelques resserrées que soient ces limites, s'approchera «autant qu'on le voudra de la certitude».
Cette proposition fondamentale de la théorie des probabilités, contenant comme cas particulier la loi de Jacques Bernoulli, est déduite par Mr. Poisson d'une formule, qu'il obtient en calculant approximativement la valeur d'une intégrale définie assez compliquée (V. Recherches sur les probabilités des jugements, cliap. IV).
Toute ingénieuse que soit la méthode employée par le célèbre Géomètre, elle ne fournit pas la limite de l'erreur que comporte son analyse approximative, et par cette incertitude sur la valeur de l'erreur la démonstration de la proposition manque de rigueur.
Je vais montrer ici comment on peut démontrer rigoureusement cette proposition par des considérations tout à fait élémentaires.
§ 2. Supposons quc^^, p^, p^, . . . p soient les chances de l'événement E dans fj. épreuves consécutives, P^ la probabilité que E arrivera au moins m fois dans ces fjL épreuves.
On parviendra, comme on sait, à l'expression de P^ en développant le produit
suivant les puissances de ï et prenant la somme di's cocffideiits dei". t""*'^,...t'^.
De là résultent évidemment ces deux propriétés de P^: 1) Cette quantité ne contient p^, p^, p^. . . . p qu'aux degrés non supérieurs à l'unité; 2) elle est une fonction symétrique par rapport à p^, p^,
En vertu île la première propriété P^ pourra être mise sous la forme
U-+- Vpy-i-Y-iP^-t-WpiPfi,
où Ï7, V,V^, W sont indépendantes de p^ et p^\ ea vertu de la seconde, V et F, sont égales. Donc la forme de l'expression P^ est
TJ-^-Vip^-t-p^-i-Wp^p^,
où U, V, W ne contiennent ni^, mp^. D'après cela il est facile de prouver sur l'expression P^ le théorème suivant;
Théorème. «Si^j,^^ ne sont pas égales, on peut, sans changer les va- «leurs de Py-*-p^, p^^ ... p^^ augmenter celle de P^ en prenant p^^p^; ou «on peut paiTfinir à une des équations suivantes:
i^i^O, Pi=l,
«sans diminuer la valeur de ?,„>'.
Démonstration. Nous avons vu que l'expression de P^ peut être mise sous la forme U-t-ViPi-^p^^-^Wp^^p^, où U, F, IFsont indépendantes de p^ et p^ .
Or la formule TJ -+-¥ [p^-*- p^ -+- Wp^ p^ présente toujours un des trois cas; IF>0, ÏT— 0, W<0.
Dans le premier cas la somme p^-t-p^ reste la même, et la valeur de P^ augmente de -jW{pi — p^f, quand on change^,, p^ en -^-(pj-i-^j), -jiPi-t-p^)'-, car la différence
V-l-V[J(p,-t-p^)-t-Y(Pl-^P^']■-^WJ{p^-^^p^)~{p^-^~p;) -^{U-^V(p,-*-p,)-*~Wp,p,\
se réduit à -r- W(p^ — p^f.
Dans les deux autres cas on ne changera pas la valeur de la somme pj-t-Pz et on ne diminuera pas celle de U-i-V{p^-t'p^}-t- Wp-^p^, en changeant ^j, p^ en 0,^^-1- jjg ou en 1, ^,-1-^3 — 1; car
n-^r[o^p,^p,]^w.o.{p,+p,)-\v-i-r(p,^p,)^Wp,p,\
= ~Wp,p^;
n^r[i^p,-,-p~i]-^w.i.{p,-^p—r)-{u^Vip,-^-p,)^Wp,p,\
Mais les valeurs 0, p^-t-p^ pourront être admises pour^,, p^ toutes les fois que p^ -+- jo^ ne surpasse pas 1 ; car elles sont alors positives et Le surpassent point l'unité; dans le cas contraire oii p^-¥- p^^ l , on pourra changer p-^ en 1, p^ en p^-t-p^ — 1, ce qui prouve le théorème énoncé. Ce théorème nous conduit encore au suivant :
Théorème. «La plus grande valeur que P^ peut avoir dans le cas où «Pi-*- p^-*- Ps-+- ■ • ■ ^^-Pa"^ ^^ correspond aux valeurs de p^, p^, p^, . . .p «données par les équations
P^^+i — ^ p 0 1 i'^+n-a — [i p 5i ■ ■ -Pi.— ^p o }
«où p, CT désignent certains nombres».
Démonstration. Supposons que tt,, x^, valeurs à-e p^^, p^, p^, . . . p qui, vérifiant l'équation
. K soit le système des
donnent la plus grande valeur à P^ et renferment en même temps le plus grand nombre possible de valeurs égales à 1 et 0 sous ces conditions.
Soient d'ailleurs tu, , tïj , . . . tt; celles parmi les quantités tCj , tc^ , tc^, , . . . te qui sont égales à 0; tZp^i, ^p+.2j ■ ■ ■ ^p+i celles qui sont égales à l'unité; toutes les autres t^^^-^i, iCp+a+a, • . .Tt^,, étant selon la supposition différentes de 0 et 1 , doivent être égales entre elles , comme nous allons le prouver toute à l'heure.
En effet, si ■Tt.^s+i n'est pas égale à tc^i,+2, il est possible, d'après le théorème précédent, on de rendre P^ plus grand, sans changer la somme
TCj-i-Uj-i-. . . -+- ^^,.^^1-1- Kf^^2-*- ■ ■ ■-*-'^v'
en prenant T:f^^^+i=^ i^^^^i '^^ de faire Ttp+,+i égal à 1 ou 0, sans diminuer la valeur de P^.
Mais l'un est contraire à la supposition que le système tu, , tc^, tu,, . . . tu donne la plus grande valeur à P^ sous la condition
tu, -I- TU, -I- Tt„ -I- . . . -H TE =: 5;
l'autre est contraire à la supposition que de tous les systèmes qui ont cette propriété, TU,, TEg, TUg, . . . TU est celui qui renferme le plus grand nombre de valeura égales à 1 et 0. Donc il faut nécessairement qu'il soit
'^O-HH-l ^0+
Mais outre ces équations nous avons ^, = 0, 7^,= 0, . . . JCp=0; 7c^^i = l, TCp^2=l, . . .TCp^,= l;
îîj -I- TTj H- TCg -I- . . . -t-TZ^= S,
d'où résultent les équations du théorème proposé.
§ 3. Passons maintenant k la recherche des valeurs de l'expression de ■Pm qui correspondent à
De la remarque que nous avons faite par rapport à l'expression P^, il suit que la valeur de P^ qui correspond à
est la somme des coefficients de t", ï™""', . . . ^'' dans le dévelo])pem(-nt du produit
et que, par conséquent, elle est égale à
l % .(m-G]A.2. .(l^-m-p) l|t-(.-o) U-p-o) (^"'"^"oTÏ ï^~5^ "^
m — O-.-l^ — S' — p m — O-t-2 [i — 5— ?■■> — p — 0|i — 5— pi'
Voilà l'expression qui, en conséquence du théorème précédent, pour C(;rtains nombres entiers positifs p et ff, sera la limite supérieure de toutes les valeurs de P^, dans le cas, où. Pi-t- p^-t- p^-t- . . . -+-p =5.
En remarquant que la valeur de l'expression
est plus petite que celle de
qui est le développement de
nous parrenoiK à ce théorème :
TMorème. «Pour certains nombres entiers et «de l'expression
