VIII
Au moyen des formules obtenues il est facile de démontrer qu'en déterminant a;, y de manière que la différence y — ax, en restant inférieure à b, donne & à £„ près, ou trouve pour x une valeur inférieure à j^, si B. ne surpasse pas z^.
En effet, d'après (19) la différence
a une valeur positive inférieure à D^,. et par conséquent, sous la condition supposée, inférieure à Sg. En prenant cette différence pour s et déterminant par la méthode indiquée les moindres valeurs de a: et y pour lesquelles la différeucc y — ax, en restant inférienro à s, représente 6 à e près, nous remarquons que la série
doit être arrêtée au terme
car de cette manière on obtient uue quantité dont la différence de if- [Mf,] est égale à e. En passant à la détermination du nombre /, qui est le plus grand des nombres
avec lequel l'expression
donne '^(iifo* ^ ^ pi'ès, on trouve 1^0; car c'est pour cette valeur de l que '^{M^) surpasse cette expression exactement de e. Par cette raison, d'après
les fonnules du § VU, ou trouve dans le cas préseut les valeurs suivantes de X et y:
.1*1 /ifel-l-'n-i-l)
Or, d'après ce que nous avons démoutré au § VI sur les coefficients de la série
on voit que dans l'expression de x la somme des coefficients de Q^^''i~'°-i~^'i et ^gUe surpasse pas q^-+- 1, la somme des coefficients de Ç^'^^-^a— 0 ^t Q^ ne surpasse pas qi-t-l,...., la somme des coefficients de ^f*^^— '^"î'— ' et Q^i ne surpasse pas $.,jH-1- Mais d'après les formules (13) on trouve que
Par conséquent la valeur de x oMeiiue ci-( somme
ne peut pas dépasser la
Les aombres q^, q^ g^i n'étant pas inférieurs à un, cette somme
doit pas surpasser
2î,e,-i-2j,a-f--.---i-2fe<?„., donc
aî^a {q,Q,-i-qtQt-*---- ■^i.iQJ- Or d'après les formules (13) on obtient
Q, = Q,qi-t-Q„
— 67fi — L'éiimination de Qg, Q^,...., Q^i, nous donne
Q^i+, = Q2S2-*-Q*^A'*- — -+- Q^i %i -+- Qi ■
Par conséquent, Q^ étant égal à un (g H), on aura Donc riuégalité obtenue pour x nous donne
Mais d'après la propriété des réduites
Ço' Si'' " ' 'Çji' Cîi-i-i'' " ' ■' obtenues {§ II) par le développement de a en fraction continue, la différence
est, comme on sait, inférieure à ^-^ — , donc
par conséquent l'inégalité obtenue nous donne
ce qu'il fallait démontrer.
D'après l'inégalité qu'on vient d'obtenir
où
et e étant le degré d'approximation avec lequel la différence
y — ax
représente 6, on voit que pour les valeurs x, y déterminées par les formules (22) la différence
«/■ — ax
en restant inférieure à h, représente h à
près. Mais eu remarquant qu'on obtient ces systèmes de valeurs de a; et ?/ chaque fois qu'on arrête la série
tl ,3,„j
eu posant l = 0, nous concluons qu'il y aura une infinité de tels systèmes, si l'on prolonge la série indéfiniment. Or cette série peut éTidemment se terminer dans UD des deux cas: ou les quantités
déterminées par le développement de a en fraction continue se présentent en nombre fini, ou bien les coefficients de la série
i^ j5^(îi-«i-i)^ a, A -^^ ^ A*''~"'^'*-^ ■ ■ ■ ■ :
à partii' d'un terme quelconque, deviennent nuls. Le premier cas, d'après le § V, a lieu si la fraction continue provenant du développement de la quantité a se termine, c'est à dire, si a est commensurable. Dans le second cas, d'après le § YI, la série
i±i 2)^iîi-«i-')H „^ A -•- ^-^ A*^3-"3-'J-.- . . . . ,
prolongée jusqu'aux termes devenant nuls, donne la valeur
'h (Mo) au dernier des quantités
A, Aï -^3' >
près. Par conséquent cette série donne tout à fait exactement la valeur
4'{-5fo), si la fractiou continue provenant du développement de a est intinie, ies quantités
D^, P„ Dg,....
avant pour limite zéro. E» déterminant, d'après les formules du § VII, les valeurs de x, y coiTespondant à cette quantité '^ {M^ noua trouverons un système des valeurs x, y pour lesquelles la différence y — ax représente h tout à fait exactement.
Il n'est pas difficile de démontrer que dans ce dernier cas, pour a incommeusural)Ie, on trouvera une infinité de valeurs a:, y pour lesquelles la différence
y — ax,
en restant inférieure à h, représente & à — près. En effet, soit
un système des valeurs a;, y pour lesquelles la différence y — -ax est exactement égale à h. Dans la série des réduites de la quantité a
S> h ^ ?^^ Pa>-4-i
9o' §.' Q^ fe' fe+i' '
pour a incommensurable, on trouve une infinité de fractions avec le dénominateur supérieur à x^ et ayant uue valeur moindre que a. Une de telles fractions étant
il est facile de voir qu'eu posant
ou obtiendra les valeurs x, y pour lesquelles la différence
y— ax,
en restant inférieure à h, représente 5 à — près. Pour le démontrer remarquons que l'expression
y — ax- — h,
pour les valeurs indiquées x, !/, se réduit à
est, d'fiprès la supposition, égale à & et d'après la propriété des réduites la dift'éreuce
est inférieure à zéro et eu diffère moins que y. . If en résulte que pour
les valeurs considérées de x, y la différence y — ax, restant inférieure à b,
doime 1) à g près et par conséquent à — près, car pour a: = a^i h- Qil^^
^^ ^û.-t-i > ^1 on a
Nous voyous que dans tous les cas, pour a iucommeusurable, on trouve une infinité de valeurs x, y pour lesquelles la différence y — ax, en restant inférieure à l>, douue h k ~ près. En considérant de la même manière les valeurs de x, y pour lesquelles la différence y — ax est supérieure à l, on arrive au même résultat. On peut donc énoncer le théorème suivant:
Tliéorèiiic.
Si a est une quantité incommensurable, on peut trouver une inanité de nombres entiers x, y pour lesquelles l'expression y — ax différera d'une qiiantité donnée 6 par une valeur moindre que — ; pour les unes de ces valeurs on aura y — ax'p-h, pour les autres y—ax < h.
Kn nous bornant au cas 3/ — ax <,h et posant
y — ax — ?j := — d, nous aurons
ax -i- b ■:= y -+- d.
D'après cette formule les termes de la progression arithmétique
s'expriment par une somme d'un nombre entier y et d'une quantité d désignant la différence entre y — ax et h. Mais d'après ce que nous avons démontré, il existe pour a incommensurable une infinité de valeurs de x, y
pour lesquelles la différence d = b — (y — ax) est supérieure à zéro et inférieure à — . Doue pour un tel a la progression arithmétique
contient une infinité de termes dont la valeur ax-t-h est égale à un nombre entier y avec une fraction moindre que — . Il en résulte le théorème suivant:
Théorème.
8i la différence d'tme progression arithmêUçpie est un nombre incommensurable, la progression confient une infinilê de termes dont la partie fractionnaire est moindre que 3 divisé par le nombre des termes précédents.
En terminant ce mémoire nous ferons voir qu'on peut trouver une infinité de nombres entiers x^ y pour lesquels la différence
A (îx -+- my -I- nf —■ A-^ {l^x -+- m{ij h-- «J^
reste comprise entre zéro et ^{Im-^ — l{m)yAA-^, le nombre ^^^ n'étant pas un carré parfait et Im^ — l^m étant diftérent de zéro. L'expression
A (Jx -i- my -+- nf — J, (IjX -+- m^y -+- n-^f
étant décomposée en facteurs linéaires prend la forme
S{y — cix — ^) {y — o.^ a; — pi),
?i"'i^i — lin A Ifin — Zm, -\/ j j
yAâ[, Vaa„ vu,.
Puisque d'après la supposition AA, n'est pas un carré parfait et \m — Im, est différent de zéro, la quantité a est incommensurable et dans ce cas, comme nous avons vu, on peut trouver une infinité de nombres entiers x, y pour lesquels la différence
(y — sa;) — 3
où
nflA-
Wil^^l
' nM-
MIlM,
— hnA
!im-
-im.
fliM—
—nmA
-^Ja^
Sz;
m,ffl,^,-
—timA
est contenue entre zéro et — et pour lesquels, par conséquent, aura lieu l'équatioQ
jj — ax — p = — ,
le nombre Û étant positif et inférieur à un.
En portant de là la valeur de y dans l'expression
ou la réduit à celle-ci
Pi^* ]'
ce qui, d'après les valeurs de S, a, a^, [3, |3j, prend la forme (23) 'iô'(lm—lm,)VJI. ( 1 -h ^^^^i^^ 1 -f- "'^-^-"'rA 1) Eu nous fondant sur cette expression de la différence A (Ix -+- my H- nf — A^ {l^x -+- m^ y -+- it-J^
pour les valeurs x, y déterminées de la manière indiquée, nous allons démontrer que parmi ces valeurs il en existe une infinité pour lesquelles la différence considérée est contenue entre 0 et 4 ilm^ — \m) VAA^ et cela a toujours lieu quand x surpasse la valeur x^^Xg pour laquelle les expressions
sont contenues entre les limites
— —, -H oo,
et les expressions
4 {n^m — w«ij) , 4 (m^A — mj^^J ^
entre les limites
— ^ { 4 il,m — Im^) VAAI — E4 [l^m — Im,) VIA, j , H- y { E4 (l,m — Im,) yJJ, -j- 1 — 4 {l,m — îm,) VÂA, \ . En effet, puisque ces expressions s'approchent de zéro en même temps
que X augmente, elles seront conteDues entre les mêmes limites pour x'^x^; la même chose aura lieu après la multiplication par (9 < 1. Il en résulte que pour a; > a:,, la somme
i — îm[
{\m~hni)yAAi
sera contenue entre les limites
, -+- oo,
et la somme
VÂÂ,
entre les limites
— { 4 (l^m — Im^) VÀA, — E4 (l^m — Im,) VAA, ] , H- { E4 {l^m — îm,) VJA^ -h 1 — 4 (/,m — hn^) VaJ, } .
Le premier système d'inégalités nous indique que dans la formule (23) le facteur de
4 (l^m — Im-j) VAAj ,
est positif; nous allons maintenant démontrer que le second système indique que ce facteur n'est ni égal à un, ni supérieur à un, et par conséquent l'expression (23) est vraiment contenue entre 0 et 4 (î^m — Im^) VAA^. Remarquons pour cela que ce facteur peut être mis sous la forme
1 (!£?)-,- y, ofi
Puisque le terme —(1 — 0) est négatif, le facteur considéré 1 —{\—0)-\-T ne peut être égal à 1 ou surpasser 1 que dans ie cas où
T> 1 ~6; et dans ce cas après la réduction des deux derniers termes la quantité l—[\ — 0)-i-T
se réduirait à
0^ étant >0 et < 1.
Or cette expression du facteur considéré est impossible. Ea effet, d'après (23) la différence
A {îx -+- m^y -+- nf — A^ {l-^x -+- m^y h- Wj)^, aurait la valeur
4 {l^m -~ Im^ VAÀ^ (1 H- 0^ I),
ou après rintroductioa de T
4 {l^m ~ Im,) VaI^ -+- Ofi [4 (n,m — nm^ ^^ -*- 4 "''^"f''-^' o\ .
Mais comme 0^0 > 0 et < 1, et, d'après ce que nous avons remarqué, l'expression
4 (WjW — «m,) -' -^ 4 (m^^ — m^A^ —^
est contenue entre les limites
— { 4 {[{m, — Im^) VU, — E4 (l^m — Im^) VJI^ } -^ { E4 (Zjm — ?»Zj) yl4 -1-1—4 (^^Hi — Im,) VJI, } , la valeur de la différence considérée serait contenue entre
et
E4 {l^m — IMi) VAAi -f~ 1 ,
ce qui est impossible; car entre ces deux nombres entiers il n'existe aucun nombre entier et la différence considérée est un nombre entier.
Il en résulte que, si dans le système des valeurs x, y déterminées de la manière indiquée la quantité x surpasse aïo, la différence
A [Ix '+-my-+- nf — A^ il^x -+- m^y -+- n^f
pour ce système des valeurs sera contenue entre 0 et 4 {l^m — îmi) VAA,; il existe une infinité de tels systèmes, comme nous avons vu, si ÂA-, n'est pas un carré parfait et si la différence l^in — Imi est différente de zéro.
De la même manière eu détermmant les valeurs x, y, pour lesquelles la différence y — «a;, en restant inférieure à ^, donne ^ à — près, nous obtiendrons une infinité de valeurs entières x, y pour lesquelles la différence
A (Ix -i-my-i- nf — A-^ {l^x -+- m^y -+- n^f
est contenue entre les limites 0 et — 4 {l^m — Im^) VAA^ .
!ÏÏRS MOYIHHIS.
(TRADUXT PAK M. N. D'Ë XHAWXKOï".)
(MaTôMaTEiTOCKift CSopHHKi,, TOMt II, 1867 r., CTp. 1—9. Liouville. Journal de matMmatiques pures et appliquées. 2 série, XII, 1867, p. 177 — 184.)
(Lu Je 17 décembre 1866.)
Des valeurs moyennes.
Si nous convenons d'appeler espérance mathématique d'une grandeur quelconque, la somme de toutes les valeurs qu'elle estsusceptible de prendre, multipliées par leurs probabilités respectives, il nous sera aisé d'établir un théorème très-simple sur les limites entre lesquelles restera renfermée une somme de grandeurs quelconques.
TIléorèm*.
Si Von désigne par a,h,c,.... les espérances mathématiques des quantités
ce, y, s, ,
et par «,, h^, Ci,. . . . les espérances mathématiques de leurs carrés
la prohaUUté que la somme
x-t-ij -v- s -\- . . . .
est renfermée entre les limites
a-t-h-i-c . . . . -t-a. Vfl. H- />, -I- c, -1- .
a-i-h -i~c. . . . — a Vo, -+- ij -t- Cj -f- . . . . — a^ — basera toujours plus grande que 1 ^, que?, que soU a.
Soient
Uéiiioiisfraliou.
Xj, iTj, rCg, . . . . 3;
toutes les valeurs imagmables des quautités x, y, s,. . . . et soieut
Pi, l'a. Pz,---- Vv
les probabilités respectives de ces valeurs, ou bien les probabilités des hypothèses
Conformément à ces notations, les espéraoces mathématiques des grandeurs
x^, if, s^,
s'exprimeront ainsi:
! ^ =5jï/i' -«-îa^^ -^Ï2?/3' -^■■■■-*-imym
Or, comme les hypothèses que nous venons de faire sur les quantités X, y, s,. . . . sont les seules possibles, leurs prohabilités satisferont aux équations suivantes:
Il nous sera facile de trouver, à l'aide des équations (1), (2) et (3), à quoi se réduit la somme de toutes les valeurs de l'expression
ft-<-A-*-ft-^'
si i'on y fait successivemeut
).= 1, 2, 3,..., i; ii, = l, 2, 3 »i; v = l, 2, 3, .... «;...,
En effet, cette expression étant développée nous donne
i^^^^••■■'"i'-^i'i^f'■.■■■■!'/-^ïx«p "■.■•■• V-^
-^-2^>^^|.^..••I).!/^^-^-2^î^^•■■•2:,,^.^-2/.,,^J,^•.....i/^s,-l-.... -2{a-i-h-^c->-....)p^g^r,....Xj~2{a^b-'-c^-....)p,q^r^....fl^- -2{<l-HS*c-H....)i)jî|,»-,....2,-....-H(o + S-tc-i-.,..)=^jgi^l-,....
En donnant, dans cette expression, à y. toutes les valeurs depuis >. ^ 1 jusqu'à X ^ ?, et eu sommant les résultats de ces substitutions, nous obtenons la somme que voici :
■*-(p,->-p,-*-p,-i----t-Pi)ay.r,-.tii,'-*-(p,-i-p,->-p,~<----i-Pi)af,';--^'
-1-2 (y,a;,-i-y,ij-f:î),l,H-. . .-^pf:,) g^r^. . .i/^-h2 {p^x^-^,x,->-p/c,-<-. . .-tff:,) y, ...n,
— 2(«-i-6-i-c-i-....)(R3!i-i-fti,-<-^,ï,-i-....-4-i),ai,)}|,r,
— 2(a-i-S-i-c^-....)(ft -t-j), -Hj), -H....-f-y, )}^f,....y|,
— 2(<n-S-t-c-i-....)(iii -Hft -Hj), -4- . . . . -i-i), )î^i-,....«,
-i-{(j-|.-i-H<;-i-....)=(p,-4-y,-4-j)5-i-....'4-li,)j^r-,
Si, en vertu des équations (1), (2) et (3), uousmettons à la place des sommes fti, -i-Rai, -Hji.a!, -4-. . . . -<-y,a:„
P,-i-Pi-'~P,->------^P,
leurs valeurs «, a, et 1, nous obtiendrons la formule que voici:
-f-2iij^»-,,... 2/|,^-f-2aj|,^r...... 3,-1- . . . . -i- 2g|jr,. . . . y^^s^-H . . . .
— 2{a-i-h-i-c-i- . .. .)aq r^. ... — 2 (fl -i- ft -)- c -i- )Sn*'v ï/u —
Donnons dans cette formule à i». les valeurs
fjL— 1, 2, 3, m,
puis sommons les expressions qui résultent de ces substitutions, et remplaçons les sommes
îi ^1 -!- ?a % -^ !^3 ï'a ■ ■ ■ ■ -^ S,„ y^ ,
2i Pi-^ ?a Vs^ ?s ?//■■■■ -*- dm i/Jy 2i-«-?2 H- «3 ->-•■■■-+-?,„' par leurs valeurs h, \ et 1 tirées des équations (1), (2) et (3), uous obtiendrons l'expression suivante :
Uj^r.^ .... -i~b^r^ .... -i- }\ .... 2,^ -i- ... .
-+- 2 ahr.^ .... -h 2 ar,^ 2.^-i-2I>}\ s,^-t-
— 2 (ft -I- ô H- c -H- )a)-^ — 2 {a -i-h -t- c -t- . . . .)h\ . . . .
— 2 (a -H J -i- c -I- . . . .) r^ 0^ — . , . . H- (a H- ?j -h- c -H fi\....
En traitant de la même manière v, . . . . nous verrons que la somme de toutes les valeurs de l'expression
(3^, -1- y -I- s,^ -I- . . . . — a — b — c — ... .fp-^ ?n '"v ■ ■ ■ ■ »
qu'on obtient eu faisant
sera égale à
~i-2ah-+'2ac-i-'2hc~i- . . . .
-+-{a-t-h-i-c-i- . . . .f, Cette expression étant développée se réduit à
([j -+- Jj "1- Cj-i- . . . . — a^^h^ — c^ — .... D'où nous concluons que la somme des valeurs de l'expression (xx-Pa-*-i!.,->--...-t-h-c-....r-
«2 ^a^ -H b, M--c^ -,-, . , , - nî - 6^ - c^ - . . ..)^'a i/fi v )
qu'on obtient en faisant
sera égale k -^. Or, il est évident qu'eu rejetant de cette somme tous les termes dans lesquels le facteur
(a;), -4- y^ -f- gy -t- , . , . — a — 6 — t^ ~ . . . . )^
est inférieur à 1, et eu le remplaçant par l'unité partout où il est plus grand que 1, nous diminuons cette somme, et elle sera moindre que
Mais cette somme, ainsi réduite, ne sera formée que des produits
qui correspondent aux valeurs de x-^, y , 2,^,. . . . pour lesquels l'expression
{xx-i-p^-^-s^-i-..-~a-!>~c-....yi n2(«,H-b, H.Ci-t-..,.-cr- — t2 — t'^-....) ^ '
et elle représentera évidemment la probaliilité que x, y, 2,. . . . ont des valeurs qui satisfont à la condition
W o.^H,-i-b,^ei->-....-a'^-h-^~c^-....)-^ '■■
Cette même probabilité peut être remplacée par la différence
si nous désignons par P la probabilité que les valeurs de& x, y, z. . . . ne satisfont pas à la condition (4), ou bien, ce qui est la même chose, que ces quantités ont des valeurs pour lesquelles le rapport
oî(aj-i-6i-i-C[^-..., — (!'- ii2— fiî — .,..)
n'est pas > 1; et par conséquent, que la somme
reste comprise entre les limites
- i) -I- c -^- . . . . -t- a Va, -t-b, -t-c,~^ . . . . — a^ — ¥-
-i-ÔH-CH- — « Va, H- Jj -4- c, -+- — a^ — b^ — c^ —
D'où il est évident que la probabilité P devra satisfaire à l'inégalité
qui nous donne
P> 1—^, ce qu'il s'agissait de prouver.
Soit N le nombre de quantités x, y, s,. . . .; si l'on pose dans le théorème qu'on vient de démontrer
Vif
et que l'on divise par N la somme
-&^-c-i-....-Hayoi-H6,-i-CjH-.... — a« — &3 — c^.
a-i-b-t-c-t- .. ., — fly'aj-i-&j-+-c, H- — a" — h^ — c^ — ,
ou obtient le théorème suivant concernant les valeurs moyennes.
Théorèiiie.
8i les espérances mathématiques des g^uantités
sont respectivement
a, h, c, . . . . «j , èj , c^,.. , .,
la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique des Nquantités ce, y, s,. . . . et la moyenne arithmétique des espérances mathématiques de ces quantités ne surpassera pas
sera toujours plus grande que
quel que soit t.
Comme les fractions
expriment les moyennes des quantités
«1 , 61 , Cj , . . .
toutes les fois que les t
îspérances mathématiques
ne dépasseront pas une
: certaine limite finie,
l'expression
b^-HO^-i-....
JV
aura aussi une valeur finie, quelque grand que soit le nombre A', et par conséquent il dépend de nous de rendre la valeur de
et de leurs carrés
aussi petite que l'on voudra, en attribuant à t une valeur suffisamment grande. Or, comme, quel que soit t, l'accroissement du nombre ^jusqu'à l'infini rend nulle la fraction -^, nous concluons, en vertu du théorème précédent:
Tliéorènie,
Si les espérances mathématiques des quantités
t pas ime limite finie guelcongue, la prohahilifé que la différence entre la moyenne arithmétique d'un nombre N de ces quantités et lamoyemie arithmétique de leurs espérances mathématiques sera moindre qv^y/rte quantité donnée, se réduit à Vunité, quand N devient infini. Bans l'hypothèse particulière que les quantités
se réduiront à l'unité ou à zéro, selon qu'un événement E a ou n'a pas lieu dans la 1", 2°, 3", . . . . iV''™' épreuve, nous remarquerons que la somme
U,-^^U,-^^U^-i-....-i-Uy
donnera le nombre de répétition de l'évéïiemeut E en iV épreuves, et la moyenne arithmétique
V,-^ U^H- Pa-i-....-i- Utf
représentera le rapport du nombre de répétition de l'évéueirient E au nombre des épreuves. Pour appliquer à ce cas notre dernier théorème, désignons par
les probabilités de l'événement K, dans la V, 2*, S% . . . . N""" épreuve; les espérances mathématiques des quantités
et de leurs carrés
Uî\ U/, f/3^.... U/
s'exprimeront, d'après notre notation, par
J\.l -i-(l~Pi).0; P,.l -i-(l— P,).0; P3.I -+^(1— P3).0;.... Pi.P-i-(l— P.l.O^ I\.V-i-(l—P^).0'] p3.P-i-(l— Pg).02;....
D'oii l'on voit que ces espérances mathématiques sont
et que la moyenne arithmétique des N premières espérances est Pi-i-P2-t-Pa-i-,..,-i-Pjv
c'est-à-dire la moyenne arithmétique des probabilités Pj, P^, P^,. . . . Pg.
Par suite de cela, et eu vertu du théorème précédent, nous arrivons à la cODClusion suivante:
Lorsque le nombre des é^preuves devient infini, on obtient une probabilité, aussi rapprochée que l'on veut de Vunité, que la différence entre la moyenne arithmétique-- des probabilités de cet événement, pendant ces épreuves, et le rapport du nombre des répétitions de cet événement au nombre total des épreuves, est moindre que toute quantité donnée.
Dans le cas particulier où !a probabilité de l'événement reste la même pendant toutes les épreuves, nous avons le théorème de Bernoulli.
BULLETIN m hl CLASSE PHYSICO^MÂTHEMATÏQU^g : L'ACADÉMIE IfflPÊRIALE DES SCIENCES
ANNÉES i853-i858.
Lettre de M. le professeur Tehébyeliev à M. Fuss, sur un nouveau théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes
4?i-+-l et 4M-t-B.
11 (23) MAES 1853.
(Bnll. pbys.-mathém., T. XI, p. 208).
La bieKveillauce, avec laquelle vous avez toujours agréé mes recherches, m'engage à vous présenter un nouveau résultat relatif aux nombres premiers et que je viens de trouver. En cherchant l'expression limitative des fonctions qui déterminent la totalité des nombres premiers de la forme 4»i~i- 1 et de ceux de la forme 4ra-i-3, pris au-dessous d'une limite très grande, je suis parvenu à reconnaître que ces deux fonctions diffèrent notablement entre elles par leurs seconds termes, dont la valeur, pour les nombres 4«-+- 3, est plus grande que celle pour les nombres 4«h- 1; ainsi, si de la totalité des nombres premiers de la forme 4n-+- 3, on retranche celle des nombres premiers de la forme 4nH- 1, et que l'on divise ensuite cette
différence par la quantité t—^, on trouvera plusieurs valeurs de a: telles, que ce quotient s'approchera de l'unité aussi près qu'on le voudra. Cette différence dans la répartition des nombres premiers de la forme 4n -i- 1 et én-1-3, se manifeste clairement dans plusieurs cas. Par exemple, 1) à mesure que c s'approclie de zéro, la valeur de la série
s'approche de -+- oo; 2) la série f(3)f{6)-,-f(7)-Hr(n)--A'13)-f(17)-i-f(19) + /-(23)-
où f{x) eat une fonction constamment décroissante, no pont être convergente, à moins que la limite du produit x^ f{x), pour x = co, ne soit zéro. Je suis parvenu à ces résultats en traitant une certaine équation, relative ans nombres premiers, et qui comprend, comme cas particulier celle que M. A. de Polignac et moi, indépendammeut l'un de l'autre, nous avons trouvée dans nos recherches sur les nombres premiers.
Agréez etc.
Signé: P. Tchébycliev.
Sur rintég-ration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré.
20 JANVIER {1 février) 1854.
(Bull, pliys. mathém,, T. XII, p. 315-S16).
Dans ce Mémoire, l'Auteur doune uiie méthode géuérale et directe pour cette intégration, en taut qu'elle est possitle sous forme finie. D'après ses recherclies, publiées, en 1853, dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées, de M. Liouville, cette intégration se réduit à la détermination des fonctions entières et des nombres qui vérifient certaines conditions. Bans le Mémoire présent il donne une méthode pour trouver ces inconnus, tant qu'il s'agit de l'intégi'ation des différentielles en question, ce qu'il parvient à faire au moyen d'une certaine réduction de ses équations, d'après laquelle leur solution se réduit à un problème résolu par Abel {Oeuvres complètes, T. I, p. 33). L'auteur remarque que cette réduction de ses équations est indispensable aussi pour simplifier l'intégration des différentielles plus compliquées, et qu'elle peut être avantageusement employée dans d'autres recherches d'Analyse Transcendante, et dans la Théorie des nombres elle-même, oii cette méthode donne un procédé à l'aide duquel on trouvera la représentation des nombres par les formes quadratiques. Quant aux différentielles qui contiennent une racine carrée d'une fonction du quatrième degré, cotte méthode de réduction fournit un rapprochement très intéressant de la construction des valeurs irrationnelles, avec la règle et le
compas, et l'intégration des différentielles sous forme finie. En terminant son Mémoire, l'auteur fait le résumé des procédés qui, d'après ses recherches, constituent la méthode générale d'intégration des différentielles contenant une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré, en tant que cette intégration est possihie sous forme finie.
Sur une formule d'Analyse.
20 OCTOBBE (1 novembee) 1854.
(Bull. pl!y8.-mathém., T. XIII, p. 210— 2U).
Si l'on représente par f(x) nue fonction entière du degré», et que l'on connaisse ses n-i-l valeurs
f{af^), f(x\ f{x"), .... f{x\
la formule de Lagrange donne cette expression de f{x)
(x~x-){x~x").... j., .. [x^,f^)(x~x")..-. f,^;. . {xO—x')(3fl—x").... ' ^'^ > {x'—afi)[x'—a:").... I 'y't^^- ■ ■•
Cette valeur de f(œ) peut être représentée sous différentes formes; Tune des plus remarquables est la suivante:
où A', A", A'", .... désignent les coefficients de x dans les quotients de la fraction continue
résultante du développement de
et <];, (x) ijjg (x), .... les dénominateurs des fractions convergentes qu'on en tire.
Cette formule a l'avantage de doiiuer f{x) sous la forme d'nue fonction entière, dont les termes, en général, présentent une série sensiblement décroissante. Dans le cas particulier de
et n infiniment grand, cette formule fournit le développement de f{x) suivant les valeurs de certaines fonctions, que Legendre a désignées par X*" (Exer. Partie V, § 10), et qui sont déterminées ici par laréduction de l'expression log ^-^-i en fraction continue.
Mais la propriété la plus précieuse de cette formule est celle-ci: Si l'on ne prend dans cette formule que les premiers termes en nombres quelconque m, on trouve une valeur approchée de f{x) sous la forme d'un polynôme du degré m — 1 et avec les coefficients indiqués par la méthode des moindres carrés, dans la supposition que les valeurs données de
fix% fix), f(x"),.... fix")
sont atfectées d'erreurs de même nature.
Dans peu de temps, j'aurais l'honneur de présenter à l'Académie un Mémoire, où l'on verra, en outre, le parti qu'on peut tirer de cette formule pour l'Analyse.
Extrait d'un Mémoire sur les fractions
continues.
12 JANVIER 1855 r.
(Bull, phys.-matliém., T. Xllf, p. 287—238).
Dans une Note, lue le 20 octobre de rannée passée, M. Tchébichev a préseuté une certaiue formule d'interpolation qui a l'avantage de donner l'expression de la fonction cherchée avec les coefficieuts indiqués par la méthode des moindres carrés. Dans le présent Mémoire, il traite ce sujet dans sa forme la plus générale, savoir: en supposant que les valeurs de la fonction cherchée sont .affectées d'erreurs dont les lois de probabilité sont différentes, et, dans cette hypothèse, il montre comment, à l'aide du développement d'une certaine expression en fraction continue, ou parvient à trouver la valeur approchée de la fonction cherchée avec la moindre erreur à craindre. Pour la détermination de cette valeur il donne trois formules différentes, dont l'une comprend, comme cas particulier, celle qui a été l'objet de sa Note, citée plus haut. En définitive, il montre d'après ces formules les propriétés remarquables des expressions déterminées par le développement de certaines fonctions rationnelles en fraction continue.
Ainsi, en désignant par
'M^), 'l'ii^), ']>2i^), —
les dénominateurs des fractions convergentes, résultantes du développement de l'expression
en fraction continue, où x^, ic^, x^,. . . . x^ sont des valeurs réelles, différentes entre elles, et û{x) une fonction entière qui ne s'annule pas pour a; = tCo, ic,, œj^,....x^, il montre que les fonctions '^^ix), ^^(x),...., parmi toutes celles du même degré, qui auraient le même coefficient de la plus haute puissance de x, se distinguent des autres par la moindre valeur
D'un autre coté, si l'eu dénote par 9„(«) la fonction
]/)|%,„^ l^i) 0^ (Xi) et qu'en prenant ses valeurs pour
iT^aîp, z^, a;^,. . . ., «„, m^=0, 1, 2, . . . on figure le carré
ÇaK^î 92(^1)) 9d^s\----^ 92 (^«)>
on trouvera que ce carré vérifie les conditions suivantes :
1) la somme des carrés des termes d'une ligne verticale ou horizontale quelconque est égale à 1; 2) la somme des produits des tei-mes correspondants de deux lignes quelconques, soit verticales soit horizontales, est égale à 0.
Donc, cette fonction fournit la solution du problème, qui a été l'objet des recherches d'Euler dans son Mémoire: ProUema algébraicum ad affectiones prorsim singulares memorahïle. N. Comm. T. XV.
Le Mémoire de M. Tchébichev, rédigé en russe, sera imprimé dans les YnerniH 3anucKu.
Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions.
