PRINCIPES

Je commencerai par établir quelques définitions et une suilede lemraes qui sont tous connus*

Définitions. — Une équation est dite réductible quand elle admet des diviseurs rationnels; irréductible dans le cas contraire.

11 faut ici expliquer ce qu'on doit entendre par le mot rationnel, car il se représentera souvent.

Quand l'équation a tous ses coefficients numériques et rationnels, cela veut dire simplement que l'équation peut se décomposer en facteurs qui aient leurs coefficients numériques et rationnels.

Mais quand les coefficients d'une équation ne seront pas tous numériques et rationnels, alors il faudra entendre par diviseur rationnel un diviseur dont les coefficients s'exprimeraient en fonction rationnelle des coefficients de la proposée.

Il y a plus : on pourra convenir de regarder comme rationnelle toute fonction rationnelle d'un certain nombre de quantités déterminées, supposées connues a priori. Par exemple, on pourra

choisir une certaine racine d'un nombre entier, et regarder comme rationnelle toute fonction rationnelle de ce radical.

Lorsque nous conviendrons de regarder ainsi comme connues de certaines quantités* nous dirons que nous les adjoignons à l'équation qu'il s'agit de résoudre. Nous dirons que ces quantités sont adjointes à l'équation.

Cela posé, nous appellerons rationnelle toute quantité qui s'exprimera en fonction rationnelle des coefficients de l'équation et d'un certain nombre de quantités adjointes à l'équation et convenues arbitrairement.

Quand nous nous servirons d'équations auxiliaires, elles seront rationnelles, si leurs coefficients sont rationnels en notre sens.

On voit, au surplus, que les propriétés et les difficultés d'une équation peuvent être tout à fait différentes suivant les quantités qui lui sont adjointes. Par exemple, l'adjonction d'une quantité peut rendre réductible une équation irréductible.

Ainsi, quand on adjoint à l'équation

où /t est premier, une racine d'une des équations auxiliaires de M. Gauss, celte équation se décompose en facteurs et devient, par conséquent, réductible.

Les substitutions sont le passage d'une permutation à l'autre.

La permutation d'où l'on part pour indiquer les substitutions est toute arbitraire, quand il s'agit de fonctions; car il n'y a aucune raison pour que, dans une fonction de plusieurs lettres, une lettre occupe un rang plutôt qu'un autre.

Cependant, comme on ne peut guère se former l'idée d'une substitution sans se former celle d'une permutation, nous ferons, dans le langage, un emploi fréquent des permutations, et nous ne considérerons les substitutions que comme le passage d'une permutation à une autre.

Quand nous voudrons grouper des substitutions, nous les ferons toutes provenir d'une même permutation.

Comme il s'agit toujours de questions où la disposition primitive des lettres n'influe en rien dans les groupes que nous considérerons, on devra avoir les mêmes substitutions, quelle que toit

la permutation d'où l'on sera parti. Donc, si dans un pareil groupe on a les substitutions S et T, on est sûr d'avoir la substitution ST.

Telles sont les définitions que nous avons cru devoir rappeler.

Lemme I. — Une équation irréductible ne peut avoir aucune racine commune avec une équation rationnelle, sans la diviser.

Car le plus grand commun diviseur entre l'équation irréductible et l'autre équation sera encore rationnel ; donc, etc.

Lemme II. — Étant donnée une équation quelconque, qui n'a pas de racines égales, dont les racines sont a, b, c, . . . , o/i peut toujours former une fonction V des racines, telle qu*aucusie des valeurs que Von obtient en permutant dans cette fonction les racines de toutes manières, ne soit égale à une autre.

Par exemple, on peut prendre

V = Aa + B^ + Cc+...,

A, B, C étant des nombres entiers convenablement choisis.

Lemme III. — La fonction V étant choisie comme il est indiqué dans C article précédent, elle jouira de cette propriété, que toutes les racines de F équation proposée s'exprimeront rationnellement en fonction de V.

En effet, soit

ou bien

Multiplions entre elles toutes les équations semblables, que l'on obtient en permutant dans celles-ci toutes les lettres, la première seulement restant fixe; il viendra une expression suivante :

symétrique en 6, c, </, ..., laquelle pourra, par conséquent, s'écrire en fonction de a. Nous aurons donc une équation de la

forme

Or je dis que de là on peut tirer la valeur de a. II suffit pour cela de chercher la solution commune à cette équation et à la proposée. Cette solution est la seule commune, car on ne peut avoir,

par exemple,

cette équation ayant un facteur commun avec l'équation semblable, sans quoi Pune des fonctions ?(<i, •••) serait égale k Tune des fonctions cp(6, . . .); ce qui est contre l'hypothèse.

H suit de là que a s'exprime en fonction rationnelle de V, et il en est de même des autres racines.

Celte proposition (•) est citée sans démonstration par Abel, dans le Mémoire posthume sur les fonctions elliptiques.

Lemxe IV. — Supposons que l'on ait formé V équation en V, ci que Von ait pris l'un de ses facteurs irréductibles^ en sorte que V soit racine d'une équation irréductible. Soient V, V, V\ ... les racines de cette équation irréductible. Si a =f(V) est une des racines de la proposée, /(V) de même sera une rwcine de la proposée.

En effet, en multipliant entre eux tous les facteurs de la forme V — <p(tf, b, c. . . .,</), où l'on aura opéré sur les lettres toutes les permutations possibles, on aura une équation rationnelle en V, laquelle se trouvera nécessairement divisible par l'équation en question; donc V doit s'obtenir par l'échange des lettres dans la fonction V. Soit F(V, <i) = o l'équation qu'on obtient en permutant dans V toutes les lettres, hors là première. On aura donc F(V', b) = o y 6 pouvant être égal à a, mais étant certainement Tune des racines de l'équation proposée; par conséquent, de même que de la proposée et de F(V, a) = o est résulté «=/(V r ), de même il résultera de la proposée et de F(V, £) = o combinées, la suivante 6 =/(V).

(•) Il est remarquable que de cette proposition o» peut conclure que tonte équation dépend d'une équation auxiliaire telle, que toutes les racines de cette nouvelle équation soient des fonctions rationnelles les unes des antres; car l'équation auxiliaire en V eu dans ce cas.

Au surplus, celte remarque est purement curieuse. En effet, une équation qui a cette propriété n'est pas, en général, plus facile à résoudre qu'une autre.