PROPOSITION I

Théorème. — Soit une équation donnée, dont a f 6, c, ... sont les m racines. Il y aura toujours un groupe de permutations des lettres a, b, c, . . . qui jouira de la propriété suivante:

i ° Que toute /onction des racines, invariable ( ■) par les substitutions de ce groupe, soit rationnellement connue;

a° Réciproquement, que toute fonction des racines, déterminable rationnellement, soit invariable par les substitutions.

(Dans le cas des équations algébriques, ce groupe n'est autre chose que l'ensemble des 1.2 .3... m permutations possibles sur les m lettres, puisque, dans ce cas, les fonctions symétriques sont seules déterni inables rationnellement.)

( Dans le cas de l'équalion — — - r= o, si Ton suppose a = /*,

b = rt, c -^z r** f . . . , g étant une racine primitive, le groupe de permutations sera simplement celui-ci :

abed. ...A,

bed ka %

câ. ..kab %

kabc 1;

dans ce cas particulier, le nombre des permutations est égal an degré de l'équation, et la même chose aurait lieu dans les équations dont toutes les racines seraient des fonctions rationnelles les unes des autres.)

Démonstration. — Quelle que soit l'équation donnée, on pourra trouver une fonction rationnelle V des racines, telle que toutes

(') Nous appelons ici invariable non seulement une fonction dont la forme est invariable par les substitutions des racines entre elles, mais encore celle dont la valeur numérique ne varierait pas par ces substitutions. Par exemple, si Fx = o est une équation, Fx est une fonction des racines qui ne varie par aucune permutation.

Quand nous disons qu'une fonction est rationnellement connue, nous voulons dire que sa valeur numérique est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de l'équation et des quantités adjointes.

les racines soient fonctions rationnelles de V. Cela posé, coosidé-» rons l'équation irréductible dont V est racine (lemmes III et IV). Soient V, V' f V , . . . , V*"" les racines de cette équation.

Soicnl yV, ci V, y-V, ... ! ç.,.! V les racines de la proposée.

Écrivons les n permutations suivantes des racines :

...» f«-iV,

• ••» fj«— iV' f . . . , f «--g V%

(V<— «X <?V<— 1\ o t Vt— •% ?t V<— « t .... ©„-,*'*-«:

je dis que ce groupe de permutations jouit de la propriété énoncée. En effet :

i° Toute fonction F des racines, invariable par les substitutions de ce groupe, pourra être écrite ainsi : F = <j* V, et Ton aura

La valeur de F pourra donc se déterminer rationnellement.

a° Réciproquement, si une fonction F est dé termina Lie ration* nellcmenl, et que Ton pose F = $V, on devra avoir

puisque l'équation en V n'a pas de diviseur commcnsurable etqne V satisfait à l'équation F = <|*V, F étant une quantité rationnelle. Donc la fonction F sera nécessairement invariable par les substitutions du groupe écrit ci-dessus.

Ainsi, ce groupe jouit de la double propriété dont il s'agit dans le théorème proposé. Le théorème est donc démontré.

Nous appellerons groupe de t équation le groupe en question.

Scolie I. — 11 est évident que, dans le groupe de permutations dont il s'agit ici, la disposition des lettres n'est point à considérer, mais seulement les substitutions de lettres par lesquelles on passe d'une permutation à l'autre.

Ainsi l'on peut se donner arbitrairement une première perron* talion, pourvu que les autres permutations s'en déduisent toujours par les mêmes substitutions de lettres. Le nouveau groupe ainsi formé jouira évidemment des mimes propriétés que le premier,

puisque, dans le théorème précédent, il ne s'agit que des substitutions que Ton peut faire dans les fonctions.

Scolie II. — Les substitutions sont indépendantes même du nombre des racines.