PROPOSITION II

Théorème (•). — Si l'on adjoint à une équation donnée la racine r d'une équation auxiliaire irréductible, i # i7 arrivera de deux choses l'une : ou bien le groupe de l'équation ne sera pas changé, ou bien il se partagera en p groupes appartenant chacun à F équation proposée respectivement quand on lui adjoint chacune des racines de l'équation auxiliaire; a* ces groupes jouiront de la propriété remarquable, que Von passera de l'un à l'autre en opérant dans toutes les permutations du premier une même substitution de lettres.

i° Si, après l'adjonction de r, l'équation en V, dont il est question plus haut, reste irréductible, il est clair que le groupe de l'équation ne sera pas changé. Si, au contraire, elle se réduit, alors l'équation en V se décomposera en p facteurs, tous de même degré et de la forme

/(V,r)x/(V,r';x/(V,Ox...,

r, r', r*, . . . étant d'autres valeurs de r. Ainsi, le groupe de l'équation proposée se décomposera aussi en groupes chacun d'un même nombre de permutations, puisque à chaque valeur de V correspond une permutation. Ces groupes seront respecti-

(*) Dans l'énoncé du théorème, après ces mois: ta racine r d'une équation auxiliaire irréductible, Galois avait mis d'abord ceux-ci : de degré p premier, qu'il a effacés plus tard. De même, dans la démonstration, au lieu de r, r\ r", . . . étant d'autres valeurs de r, la rédaction primitive portait : r, r\ r* t . . . étant les diverses valeurs de r. Enfin on trouve à la marge du manuscrit la note suivante de l'auteur :

« Il y a quelque chose à compléter dans cette démonstration, le n'ai pas le temps. »

Cette ligne a été jetée avec une grande rapidité sur le papier; circonstance qui, jointe ans mots : « Je n'ai pas le temps », me fait penser que Galois a relu son Mémoire pour le corriger avant d'aller sur le terrain. * (A. €■.)

veinent ceux de l'équation proposée, quand on lui adjoindra successivement r, i* f r% • • . . •

a° Nous avons vu plus haut que toutes les valeurs de V étaient des fonctions rationnelles les unes des autres. D'après cela, supposons que, V étant une racine de/(V, r) = o, F(V) en soit une autre ; il est clair que de même si V est une racine de/(V, 1^=0, F( V) en sera une autre; car on aura

/lF(V),r] s une fonction divisible par /(Y; r).

Donc (lemme 1)

/[P( V), r'] = une fooetion divisible par /( V\ r*).

Cela posé, je dis que Ton obtient le groupe relatif à r 9 en opérant partout dans le groupe relatif à r une même substitution de lettres.

En effet, si Ton a, par exemple,

on aura encore (lemme I),

Donc, pour passer de la permutation [F(V)] à la permutation [F(V')], il faut faire la même substitution que pour passer de la permutation (V) à la permutation (V).

Le théorème est donc démontré.

proposition m.

TiitoftfeME. — Si l'on adjoint à une équation toutes les racines d'une équation auxiliaire, les groupes dont il est question dans le théorème 11 Jouiront, de plus, de cette propriété que les substitutions sont les mêmes dans chaque groupe.

On trouvera la démonstration ( f )•

(') Dans le ma Datent, l'énoncé dn théorème qu'on vient de lire se trouve en marge et en remplace an aatre qae Galois ayait écrit avec sa démonstration tons le même titre : Proposition III. Voici le teite primitif : TnÉoRim. — Stféçma-