PROPOSITION V

Problème. — Dans quel cas une équation est-elle soluble par de simples radicaux?

J'observerai d'abord que, pour résoudre une équation, il faut successivement abaisser son groupe jusqu'à ne contenir plus qu'une seule permutation. Car, quand une équation est résolue, une fonction quelconque de ses racines est connue, même quand elle n'est invariable par aucune permutation.

Cela posé, cherchons à quelle condition doit satisfaire le groupe d'une équation, pour qu'il puisse s'abaisser ainsi par l'adjonction de quantités radicales.

Suivons la marche des opérations possibles dans celte solution, en considérant comme opérations distinctes l'extraction de chaque racine de degré premier.

tion en r est de ta forme /*= A, et que les racines pt*-" de l'unité se trouvent au nombre des quantités précédemment adjointes, les p groupes dont il est question dans le Théorème II jouiront, de plus, de cette propriété que les substitutions de lettres par lesquelles on passe d'une permutation à une autre dans chaque groupe soient les mêmes pour tous les groupes. Eu effet, dan» ce cas, il revient au même d'adjoiodre à l'équation telle ou telle râleur de r. Par conséquent, sei propriétés doivent être les mêmes après l'adjonction de telle ou telle valeur. Ainsi son groupe doit être le même quant aux substitutions (Proposition I, scolie). Donc, etc.

Tout cela est effacé arec soin; le nouvel énoncé porte la date i83a et montre, par la manière dont il est écrit, que l'auteur était extrêmement pressé, ce qui confirme l'assertion que j'ai avancée dans la Note précédente. (A. Cm.)

Adjoignons à l'équation le premier radical extrait dans la solo* lîon. Il pourra arriver deux cas : ou bien, par l'adjonction de ce radical, le groupe des permutations de l'équation sera diminué; ou bien, celle extraction de racine n'étant qu'une simple préparation, le groupe restera le même*

Toujours sera-t-il qu'après un certain nombre fini d'extractions de racines, le groupe devra se trouver diminué, sans quoi l'équation ne serait pas soluble.

Si, arrivé à ce point, il y avait plusieurs manières de diminuer le groupe de l'équation proposée par une simple exlraclion déracine, il faudrait, pour ce que nous allons dire, considérer seulement un radical du degré le moins haut possible parmi tous les simples radicaux, qui sont tels que la connaissance de chacun d'eux diminue le groupe de l'équation.

Soit donc p le nombre premier qui représente ce degré minimum, en sorte que par une extraction de racine de degré />, on diminue le groupe de l'équation.

Nous pouvons toujours supposer, du moins pour ce qui est relatif au groupe de l'équation, que, parmi les quantités adjointes précédemment à l'équation, se trouve une racine p*"* de l'unité, a. Car, comme celle expression s'obtient par des extractions de racines de degré inférieur à />, sa connaissance n'altérera en rien le groupe de l'équation.

Par conséquent, d'après les théorèmes II et 111, le groupe de IVquatiowdevra se décomposer en p groupes jouissant les uns par rapport aux autres de celte double propriété : i*que l'on passe de l'un â l'autre par une seule et même substitution; a* que tous contiennent les mêmes substitutions.

Je dis réciproquement que, si l.e groupe de l'équation peut se partager en p groupes qui jouissent de cette double propriété, on pourra, par une simple extraction de racine />*••, et par l'adjonction de cette racine />**■■•, réduire le groupe de l'équation à l'un de ces groupes partiels.

Prenons, en effet, une fonction des racines qui soit invariable pour toutes les substitutions de l'un des groupes partiels, et varie pour toute autre substitution. (H suffit, pour cela, de choisir une fonction symétrique des diverses valeurs que prend, par toutes les

permuUtions de l'un des groupes partiels, une fonction qui n'est invariable par aucune substitution.)

Soit cette fonction des racines.

Opérons sur la fonction • une des substitutions du groupe total qui ne lui sont pas communes avec les groupes partiels. Soit ft| le résultat. Opérons sur la fonction t t la même substitution, et soit ftj le résultat, et ainsi de suite.

Comme p est un nombre premier, cette suite ne pourra s'arrêter qu'au terme •/.§; ensuite Ton aura t,= Q|, G /+ , = 0,, et ainsi de suite.

Cela posé, il est clair que la fonction

sera invariable par toutes les permutations du groupe total et, par conséquent, sera actuellement connue.

Si Ton extrait la racine p* mm de cette fonction, et qu'on l'adjoigne à l'équation, alors, par la proposition IV, le groupe de l'équation ne contiendra plus d'autres substitutions que celles des groupes partiels.

Ainsi, pour que le groupe d'une équation puisse s'abaisser par une simple extraction de racine, la condition ci-dessus est nécessaire et suffisante.

Adjoignons à l'équation le radical en question ; nous pourrons raisonner maintenant sur le nouveau groupe comme sur le précédent, et il faudra qu'il se décompose lui-même de la manière indiquée, et ainsi de suite, jusqu'à un certain groupe qui ne contiendra plus qu'une seule permutation.

Scolie. — Il est aisé d'observer cette inarche dans la résolution connue des équations générales du quatrième degré. En effet, ces équations se résolvent au moyen d'une équation du troisième degré, qui exige elle-même l'extraction d'une racine carrée. Dans la suite naturelle des idées, c'est donc par cette racine carrée qu'il faut commencer. Or, en adjoignante l'équation du quatrième degré cette racine carrée, le groupe de l'équation, qui contenait en tout vingt-quatre substitutions, se décompose en deux qui n'en contiennent que douze. En désignant par <?, b y c, d les racines,

voici Ton de ces groupes :

abcd % acdb % adbe,

badc, eabd 9 dacb,

cdab, dbac, bcad %

dcba % bdca t cbda %

Maintenant ce groupe se partage lui-même en trois groupes, comme il est indiqué aux théorèmes II et III. Ainsi, par l'extraction d'un seul radical du troisième degré, il reste simplement le groupe

abcd,

bade 9

cdab,

debax

ce groupe se partage de nouveau en deux groupes :

abedf cdaby bade, deba.

Ainsi, après une simple extraction de racine carrée, il restera

abcd, bade;

ce qui se résoudra enfin par une simple extraction de racine carrée.

On obtient ainsi, soit la solution de Descartes, soit celle d'EuIer; car, bien qu Y après la résolution de l'équation auxiliaire du troisième degré ce dernier extrade trois racines carrées, on sait qu'il suffit de deux, puisque la troisième s'en déduit rationnellement.

Nous allons maintenant appliquer cette condition aux équations irréductibles dont le degré est premier.

Application aux ébattions irréductibles de degré premier.