AA

A'a;«a'b+ba;=^i

d*où il résulte que les distances normales des différents points de la surface réfringente à la surface sphérique qui a pour rayon 0A| et à Tonde réfractée sont entre elles dans le rapport constant de v a i/, rapport qui est égal à l'indice de réfraction du second milieu relativement au premier. L*onde réfractée n est dono autre que la surface normale aux rayons réfractés , définie par le théorème de Gergonne.

Les lois de la réflexion s'obtiennent d'une façon tout à fait analogue, et il est inutile d'entrer dans aucun détail à cet égard. Nous devons seulement faire remarquer que les raisonnements de Huyghens ne sont pas bornés aux seuls milieux isotropes ; ils sont en effet complètement indépendants de la forme des ondes élémentaires, et peuvent s'appliquer aux milieux où ces ondes ne sont pas sphériques, h condition de considérer dans les explications précédentes , au lieu d'une onde sphérique d'un rayon donné, une onde élémentaire correspondant à un certain temps. C'est en se laissant guider par les principes que nous venons d'exposer que Huyghens découvrit les lois de la double réfraction, lois trop complexes pour' qu'il eût été possible de les tirer de l'expérience sans l'appui de la théorie.

12. CMtlQue 4e la théorie 4e HuysMen». — Le principe des oncles enveloppes, sur lequel est fondée toute la théorie de Huyghens, est incontestablement vrai en lui-même, car tous les phénomènes de la réflexion et de la réfraction simple ou double en fournissent une démonstration a posteriori; aussi, ce que nous nous proposons d'examiner maintenant, ce n'est pas la valeur de ce principe, mais bien la rigueur des aperçus par lesquels Huyghens a cru le démontrer. Afin d'éviter toute complication dans les calculs, nous ne considérerons que des ondes planes, ce qui est suffisant pour le but que nous avons eu vue. Soient donc (fig. i6) deux plans AB,

A'B', parallèles et situés à une distance infiniment petite A Fun de l'autre. Imaginons que chacun des points de la couche comprise entre ces deux plans devienne le centre d'une onde sphérique élémentaire ; au bout d'un temps f , si la manière de voir de Huyghens est exacte » le mouvement lumineux devra être circonscrit dans une région comprise entre deux plans infiniment voisins AjBi et A{B{, situés respectivement h une distance des plans AB et A'B' égale à vt, V étant la vitesse de propagation de la lumière dans le milieu : nous désignerons cette distance par B. Ceci posé, menons une droite MT perpendiculaire aux plans A^Bj et A^Bj', et cherchons quels sont les points qui, à l'instant considéré, envoient des impulsions lumineuses k la portion MM' dé la droite qui est limitée par ces deux plans. Ces points sont évidemment compris dans la calotte sphérique PTP' que le plan AB retranche de la sphère décrite du point M'

comme centre avec un rayon égal à R. Prenons maintenant sur la perpendiculaire MT, mais en dehors de la région A|Bi A(B{ , un élément NN' dont la longueur soit égale à MM', c'est-à-dire à h. Il est facile de délimiter la région où sont compris les points qui envoient des impulsions lumineuses en NN' au moment dont il s'agit : il su£Bt pour cela de décrire, des points N et N^ comme centres, des sphères de rayon R , et de considérer le solide compris entre les surfaces de ces deux sphères et entre les deux plans AB, A'B\ solide qui peut être regardé comme engendré par la rotation de la figure OQ'RR', qui diffère infiniment peu d'un parallélogramme, autour de la droite MT. Pour que les raisonnements de Huyghens fussent rigoureux, il faudrait que ce second volume fût infiniment petit par rapport à celui tie la calotte sphérique PTP'. Or c'est ce qui n^a pas lieu. On voit en effet immédiatement , en remarquant que l'on à

PH' = /i(3R-A), que le volume de la calotte sphérique est égal à

ffA(aR-A)J,

ou, en négligeant le terme en A^, à

airfc'R

Quant au second volume, il s'obtiendra , d'après U théorème de Goidin , en multipliant l'aire QQ'RR' par la circonférence que dé* crit le centre de gravité de cette aire. Or on a, en représentant la distance MN par î,

Q0'=HQ'-H0=Y/R^^-(R-(f-A)^-y/R2-(R-rf)%

d'où, en remarquant que QQ' peut être considérée comme la différentielle de y/R2 (R rf) 2,