M,A^ AA, AB "AA,~BB

Or on déduit facilement des équations (i), (3) et (3)

BB, AA, BB' Att - BB' B jS - BB' BjS

ce qui montre que

BB.^tt^AA, "b^ V Aa'

AA, Aa

AA,-bB, Aa-BjS'

Les deux points fx et M, n'en forment donc qu'un seul, et par conséquent les deux plans CajS et CA,Bi ^'oupent le plan réfringent sui-

vant la méine droite lor5k|ue AP est ie rayon rëfracté correspondant au rayon incident SA.

Un raisonnement tout à fait analogue s'appiii|ae à la réflexion: mais dans ce cas la surface de l'onde décrite du point A comme centre et tangente au plan CA|B, est relative au premier milieu, de même que celle qui est tangente au plan Ca/3.

139. CoBStruclloii de Huyfflieiia. — Nous venons de voir que, si du point d'incidence comme centre on décrit deux surfaces de Tonde relatives, l'une au premier, l'autre au second milieu, et correspondant au même temps, les plans tangents menés à ces surfaces aux points oij elles sont rencontrées, la première par le prolongement du rayon incident, la seconde par le rayon réfracté, coupent le plan réfringent suivant la même droite : de là se dédait immédiatement, pour déterminer la direction des rayons réfractés, la construction suivante, qui n'est que la généralisation de celle qui a été indiquée par Huyghens^*^ pour le cas particulier des cristaux à un axe.

Du point d'incidence comme centre, on décrit deux surfaces de l'onde relatives au premier et au second milieu et correspondant à un même temp^; on prolonge le rayon incident jusqu'au point où il rencontre la surface de l'onde relative au premier milieu , et par ce point on mène à cette surface un plan tangent; par La droite d'intersection de ce plan tangent avec la surface plane qui sépare les deux milieux, on mène autant de plans tangents que cela est possible à la portion de la surface de l'onde relative au second milieu qui est comprise dans ce second milieu : les droites qui joignent les points de contact de ces plans tangents au point d'incidence sont les rayons réfractés.

Quant aux rayons réfléchis, on les obtient en menant par la même droite d'intersection autant de plans tangents que cela est possible à la portion de la surface de l'onde relative au premier milieu qui est comprise dans ce premier milieu, et en joignant les points de contact au point d'incidence.

Si la surface réfléchissante ou réfringente est courbe, on peut.

'>) Traité de la lumière y cliap. V.

CONSTRUCTION DK HUYliHEiNS. 513

comme nous l'avons vu dans le cas des milieux isotropes (58), la remplacer par le plan qui lui e^i tangent au point d'incidence, et la construction précédente subsiste sans aucune modification.

Cette construction montre que, lorsque la lumière passe d'un milieu isotrope dans un milieu biréfringent, il y a en général, par suite de l'existence d'une surface de l'onde à deux nappes dans ce dernier milieu, deux rayons réfractés; mais, d'ans certains cas, la construction peut devenir impossible , soit pour les deux rayons réfractés , soit pour un de ces rayons seulement , ce qui correspond au phénomène de la réflexion totale qui, dans les milieux biréfringents, peut avoir lieu soit pour les deux rayons n»fractés. soit pour un seul de ces rayons.

Si le premier milieu est biréfringent comme le second, la construction donne en général quatre rayons réfractés pour chaque rayon incident; mais ces rayons peuvent manquer soit en totalité, soit en partie, ce dont on est averti par l'impossibilité d'effectuer la construction pour un ou pour plusieurs des rayons réfractés.

On voit enfin que, si la lumière se réfléchit dans un milieu biréfringent, chaque rayon incident donne naissance en général à quatre rayons réfléchis. La construction indiquée plus haut montre que, de ces quatre rayons réfléchis, il y en a deux qui existent toujours : ce sont les rayons réfléchis qui correspondent à la même nappe de la surface de l'onde du milieu que le rayon incident dont ils proviennent, c'est-à-dire les rayons tels, (|ue les deux plans tangents qui coupent In surface réfléchissante suivant une même droite soient tangents è la même nappe de la surface de Tonde. Les deux autres rayons réfléchis, c'est-à-dire ceux pour lesquels les deux plans tangents touchent des nappes différentes de la surface de l'onde, peuvent manquer, car la construction qui donne ces derniers rayons peut devenir impossible ^^^

La construction de l'onde réfléchie ou réfractée, telle que nous

(*) li y a là en réalité deux espèces bien dislinctes de réflexions, et, au point de vue de Toptique [géométrique, le phénomène qui se produit lorsque les rayons incidents et les rayons réfléchis ne correspondent pas à la même nappe de la surface de Tonde ressemble plus à la réfraction qa^à la réflexion proprement dite. Aussi serait-il utile, pour éviter toute confusion, de donner à chacune de ces deux espèces de réflexions une dénomination particulière, de les appeler, par exemple, réflexion htmologfie et rijflcxion antihgne. (L.)

Vkrdkt, V. — Optique, ï. 33

biU DOLBLE RÉFRACTION.

TavoDs fait connatlre pour les milieux isotropes (59 et 60), sVleml facilement aux milieux biréfringents, et, au moyen «Kun raisonnement tout à fait analogue à relui que nous avons employé prérédemnieiit, on voit que, dans un milieu biréfringent, l'onde réflécbie ou réfractée est l'enveloppe des ondes élémentaires émanées des différents poinls de la surface réfléchissante ou réfringente, considérées dans les positions qu'elles occupent au même instant. Le principe des ondes enveloppes est donc applicable à toute espèce de milieu homogène; mais dans les milieux biréfringents les ondes élémentaires ne sont plus sphériques, et, par conséquent, les rayons réfléchis ou réfractés ne sont plus en général normaux à Tonde ^^'.

^'^ Il e&islp rependanl, rlans un milieu liomogèno quelconque, une relation définie enln' la direction d^in rayon et relie du plan langent à Inonde au point où elle est reoron(r«v par ce rayon. ( t..)

nOlBLK RKFRACTlO^ DANS LKS CRISTAUX \ U> AXK.

lAO. Forme de la mirfaee de Tonde doM leo eriotaux

m un orne. — Pour les milieux cristaliis('\s h un axe, l'équation de la surface de l'onde se décompose, comme nous l'avons vu (126), en deux équations (|ui sont , en supposant l'axe des x parallèle à l'axe du cristal ,

(l) .ri + y^ + z2/,2^

( îO n^^f^ + h' (f + z^j - - fi^^h'^.

La surface de l'onde est donc formée dans ces milieux d'une nappe sphérique dont le rayon est égal à b, et d'une nappe ayant la foKme d'un ellipsoïde de révolution tangent à la sphère aux deux extrémités de l'axe de révolution. L'ellipse méridienne de la seconde nappe a pour demi-axe polaire h et pour demi-axe équatorial n.

Si a<Zh, comme cela a lieu pour le quartz, la nappe sphérique est extérieure à la nappe ellipsoïdale, et l'axe de révolution de cette dernière nappe est le grand axe de l'ellipse méridienne. Si au contraire a>A, comme cela arrive pour le spath d'Islande, la nappe sphérique est intérieure à la nappe ellipsoïdale, et cette dernière est de révolution autour du petit axe de l'ellipse méridienne.

141. liOlo de to double réffraetloii dmwku leo ortatoux à un axe. — En appliquant aux cristaux à un axe la construction de Huyghens, il est facile de retrouver les principales lois que l'expérience a fait connaître pour la double réfraction dans ces milieux. (Nous supposerons, dans ce qui va suivre, que la lumière passe de l'air dans le cristal biréfringent et que la vitesse de la lumière dans l'air est prise pour unité.)

i" L'une des nappes de la surface de l'onde étant sphérique, l'un des rayons réfractés suit toujours la loi de Descaries. Ce rayon se nomme le rayon ordinaire, et son indice de réfraction est ce qu'on

5J6 DOUBLK HKFKACTlOiN.

appelle Tindice ordinaire du crislal. Nous d<^si{jnerons cet indice par n,.

îi** Lorsque le plan d'incidence est une section principale , c'esl-àdire contient la direction de Taxe du cristal, lout est symétrique par

Mjr. f)o.

rapport à ce plan , et la construction qui sert à trouver la direction des rayons réfractés devient plane, comme le montre la figure 90,

Klg.Ç)!.

oii SI représente le rayon incident, IR le rayon réfracté ordinaire, IR' le rayon réfracté. extraordinaire et IP la direction de l'axe. Dans

ce cas les deux rayons réfractés restent donc dans le plan d'incidence, mais le rayon extraordinaire ne suit plus en général la loi des sinus.

3° Supposons la face d'incidence parallèle à l'axe et le plan d'incidence perpendiculaire à l'axe. Le plan d'incidence détermine alors dans les deux nappes de la surface de l'onde décrite du point d'incidence comme centre deux sections circulaires dont les rayons sont b pour la nappe sphérique, a pour la nappe ellipsoïdale (fig. 91). 11 en résulte non-seulement que les deux rayons réfractés restent dans le plan d'incidence, mais encore que le rayon extraordinaire suit dans ce cas la loi des sinus comme le rayon ordinaire. L'indice avec lequel se réfracte le rayon extraordinaire, lorsque le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe, se nomme l'indice extraordinaire du. cristal ; nous le désignerons par w,.

La vitesse du rayon ordinaire étant toujours égale à 6 et celle du rayon extraordinaire étant égale à a lorsque ce rayon est perpendiculaire à l'axe, on a

4* Si la face d'incidence est parallèle à l'axe et que de plu« le plan d'incidence contienne l'axe, la construction est encore plane

(fig. <j!i), et les deux rayons réfractés restent dans le plan d'incidence.

51« DOUBLE REFRACTlOiN.

11 est facile*, dans ce cas, de trouver une relation entre les angles de réfraction du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire , angles ({ue nous désignerons par r et par r\ Supposons en eiïet qu'il s'agisse d'un cristal oii, comme dans le spath d'Islande, on ait aZ>h, L'intersection PP' de la face d'incidence avec le plan d'incidence, intersection qui est parallèle à l'axe du milieu , est alors le petit axe de l'ellipse suivant laquelle le plan d'incidence, pris pour plan de ligure, coupe la nappe ellipsoïdale de la surface de l'onde; le cercle GRD, suivant lequel le même plan coupe la nappe sphériqup, est décrit sur le petit axe CD de l'ellipse comme diamètre : les deu\ points R et R\ où les deux tangentes 6R et BR' qui déterminent les directions des deux rayons réfractés touchent le cercle et l'ellipse, se trouvent donc sur une même perpendiculaire à CD, el l'on a

IVQ "a'

Coinuie

ailleurs

il vient

tangr IVQ tangr l\Q'

tang; r a n, tauff/' " b n.

La même relation subsiste dans le cas oii Ton a a<Ch, mais CD est alors le grand axe de l'ellipse.

3" Lorsque la face d'incidence est perpendiculaire à l'axe, tout plan d'incidence est une section principale , et par conséquent les deux rayons réfractés restent toujours dans le plan d'incidence.

On peut établir dans ce cas une relation remarquable entre l'angle d'incidence et l'angle de réfraction du rayon extraordinaire. Prenons en effet pour plan de figure le plan d'incidence (fig. gS), et soient SI le rayon incident et IP la direction de l'axe qui est perpendiculaire à la droite BË suivant laquelle le plan de la figura coupe la face d'incidence. La section de la nappe ellipsoïdale par le plan de la figure est alors une ellipse CR'D ayant son grand axe dirigé suivant BE, et la construction de Huyghens devient plane. Pour obtenir la direction du rayon réfracté extraordinaire, il suflil Je

CRISTAUX A UN AXE. 5iî)

flécrire du point 1 comme rentre un cercle EAF avec un rayon égal à l'unité, de prolonger le rayon incident SI jusqu'à sa rencontre en A avec ce cercle, et enfin de mener une tangente BR' à l'ellipse

Fi(j. 93.

par le point B, où la tangenle menée au cercle en A rencontre la droite BE. IR' est le rayon réfracté extraordinaire et l'angle PIR' est Tangle de réfraction r'.

(]eci posé, décrivons du point i comme centre, et avec un rayon égal à «, un cercle CR'^D, et menons par le point B une tangente BR'' à ce cercle ; les deux points R' et R'^ se trouveront sur une même perpendiculaire à BE, et, en désignant le pied de cette perpendiculaire par 0 et l'angle R^IP par ff, nous aurons

lang r' R"Q «

(^omme d'ailleurs

sin 9^ a sin i ,

I étant l'angle d'incidence, il vient tang r'

hcosO 6v/i-fl'sin*i

et enfin

(o) langr

/i,0i'- sin^i

6° Lorsque la face d'incidence est perpendiculaire à l'axe et que le rayon incident est normal, les deux rayons réfractés se confondent et sont dirigés suivant l'axe, et, dans ce cas, quelle que soit la direction de la face d'émergence, il n'y a jamais qu'un seul rayon émergent.

On voit encore que, quelle que soit la direction de la face d'incidence, toutes les fois que l'un des rayons réfractés est parallèle à l'axe, les deux rayons réfractés se confondent. Dans les cristaux à un axe, l'axe est donc essentiellement caractérisé par cette propriété que, suivant sa direction, il ne peut jamais y avoir double réfraction.

Les lois que nous venons d'énoncer se rapportent à des cas particuliers de la construction de Huyghens et donnent lieu à des vérifications expérimentales. Dans le cas général il est toujours possible, en s'appuyant sur cette construction, de déterminer l'angle de réfraction du rayon extraordinaire et l'angle que fait le plan de réfraction de ce rayon avec la section principale , en fonction de l'angle d'incidence, de l'angle formé par le plan d'incidence avec la section principale, et enfin de l'angle que la face d'incidence fait avec l'axe du cristal. Un calcul assez long est nécessaire pour établir les formules qui définissent la direction du rayon extraordinaire; nous ne nous y arrêterons pas, car il n'y a là qu'une simple question de géométrie analytique.

142. IHatliietloii des cristaux attracUlài et répulslfii.— Retotloift entre les vitesses du rayon ordinaire et eeUes dn rayon eiLtraordinaire. — Lorsque , dans un cristal à un axe, l'indice extraordinaire est plus grand que l'indice ordinaire , c'est-à-dire lorsque i> a, le rayon extraordinaire se rapproche plus de l'axe que le rayon ordinaire et semble par conséquent attiré par l'axe. Lorsqu'au contraire l'indice ordinaire est le plus grand, c'est-à-dire lorsque û>i, le rayon extraordinaire est celui qui s'écarte le plus de l'axe et semble être repoussé par cet axe. De là la division que Biot a faite des cristaux à un axe en cristaux attractifs et en cristaux répuhifs^ suivant que l'indice extraordinaire est plus grand ou plus petit que l'indice ordinaire. Fresnel a proposé de remplacer ces dénomination^ tirées du système de l'émission par celles de cristaux

positifs et de cristaux négatifs. Dans les cristaux attractifs, en effet, la différence entre la vitesse du rayon ordinaire et celle du rayon extraordinaire est toujours positive, tandis que dans les cristaux répulsifs cette différence est négative.

11 existe entre les propriétés des cristaux attractifs et celles des cristaux répulsifs plusieurs autres différences , que la construction de Huyghens met facilement en évidence :

i*" Dans les cristaux attractifs, l'angle de réflexion totale est toujours plus petit pour le rayon extraordinaire que pour le rayon ordi* naire; dans les cristaux répulsifs, c'est l'inverse qui a lieu.

s" Dans les cristaux attractifs, un rayon ordinaire donne toujours naissance à deux rayons réfléchis, tandis que, sous certaines incidences, l'un des deux rayons réfléchis correspondant à un rayon extraordinaire peut manquer; dans les cristaux répulsifs, les choses se passent d'une manière opposée.