CRISTAUX REPULSIFS OU NEGATIFS

Apalite. Idocrase.

Arsenîate de cuivre. McHite.

Ai-séniate de plomb. Mica.

A!*séniate de potasse. Molybdale de [iloiiib.

Béryl. Néphéline.

Carbonate de chaux et de magnésie. Octaédrite.

Carbonate de chaux et de fer. Phosphate de chaux.

Chlorure de calcium. Phosphate de plomb.

Chlorure do slrontiiiiii. Phosphate de plomb arsf'iiintr.

Cinabre. Rubellitc.

Corindon. Rubis.

Émeraude. Saphii

CR1STAL\ RÉPLLSirs Ot NRGATIKS. (sriTE. )

Spath (risloudc. Sulfate de nickel et de cuivre.

SoiiB-phosphate de potasse. Tourmaline.

Strontiane hydratée. Vernérite.

Il existe dans les cristaux à un axe une relation remarquable entre les vitesses du rayon ordinaire et celles du rayon extraordinaire. Dans ces milieux Téqualion de la nappe ellipsoïdale de la surface de Tonde est en effet

en désignant par p la longueur du rayon vetteur de cette nappe pI par X, /i, v les angles que le rayon vecteur fait avec les axes, l'équation précédente devient

I û" cos^ X H- b^ (cos' fl 4- cos- v]

d'où, en renq)larant cos*-jtjt+cos'-v par i — cos-X, I aVos*X-h6*sin*X i a*— h* . .,

et enfin

L'é([uation (6) traduite en langage ordinaire conduit à cette loi :

Dans les milieux cristallisés à un axe, la différence des carrés de* inverses des vitesses de propagation du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire est proportionnelle au carré du sinus de F angle que fait le rayon extraordinaire avec l'axe du cristal.

Cette proposition est due à Biot, qui en a donné un énoncé un peu différent de celui qui précède, car, dans la théorie de l'émission, la vitesse du rayon ordinaire est représentée par t et celle du rayon extraordinaire par- •

La relation que nous venons d'établir entre les vitesses des deux rayons réfractés a été vérifiée par Biot dans ses recherches nur la

CIUSTAUX À U« AXE. 523

j)olarisatioii cliromalique, et plus tard par Fresnel au moyen d'un procédé fondé sur les interférences des rayons polarisés et que noub avons fait connaître plus haut (1 1 0).

1^3. Direelloii des vlbratloiMi mur le rayon ordHnalre.

— La direction des vibrations sur un rayon qui se propage dans un milieu biréfringent s'obtient, comme nous l'avons vu (128), en projetant le rayon sur le plan tangent à la surface de l'onde au point où elle est rencontrée par ce rayon; mais cette règle ne suffit pas pour déterminer la direction des vibrations sur le rayon ordinaire, qui, dans les milieux cristallisés à un axe, est toujours normal à la nappe sphérique de la surface de l'onde, nappe à laquelle ce rayon correspond. Il faut alors avoir recours à la considération directe de l'ellipsoïde (E) de Fresnel, dont l'équation ,. dans le cas (les cristaux à un axe, devient

(loupons cet ellipsoïde par un plan passant par son centre et perpendiculaire à la direction du rayon ordinaire sur lequel il s'agit de trouver la direction des vibrations. Ce plan étant parallèle à l'onde plane qui correspond à ce rayon ordinaire, les vibrations seront parallèles à l'un des axes de la section elliptique ainsi déterminée. Or. comme parmi les rayons vecteurs de l'ellipsoïde (E) le rayon éfjuatorial a toujours une longueur maximum ou minimum, l'un des axes de cette section se trouve toujours contenu dans le plan

des 5(2 et a pour longueur ^1 et, puisque toutes les ondes planesordinaires se propagent avec une vitesse constante et égale à b, c'est à celui des axes de la section elliptique qui est situé dans lo plan des yz que sont parallèles les vibrations sur le rayon ordinaire. (]es vibrations sont donc perpendiculaires à la fois au rayon et à l'axe des x, c'est-à-dire à l'axe du milieu, d'où il résulte que sur le rayon ordinaire les vibrations sont perpendiculaires au plan mené par ce rayon et par l'axe, et que, par conséquent , si l'on admet avec Fresnel que les vibrations s'effectuent perpendiculairement au plan de polarisation , le plan de polarisation du rayon ordinaire est celui qui passe par ce rayon et par l\ixe.

52/1 DOUBLE REFRACTION.

I kk. Relatioii entre les plans de ] rayons réffraetés dans les eristoux à un axe. — Nous allons nous occuper maintenant de chercher la relation qui existe, dans les milieux cristallises à un axe, entre les positions des plans de polarisation des deux rayons réfractés provenant d'un même rayon incident.

Supposons en premier lieu que le plan d'incidence soit une section principale. Le rayon ordinaire est alors, d'après ce que nous venons de voir, polarisé dans le plan de la section principale; le rayon extraordinaire est aussi contenu dans ce plan , ainsi que sa projection sur le plan tangent à la nappe ellipsoïdale de la surface de Tonde. Les vibrations sur le rayon extraordinaire s'effectuent donc parallèlement au plan de la section principale, et par suite ce rayon est polarisé dans un plan perpendiculaire à celui de la section principale. Donc, lorsque le flan d'incidence est une secùan principale, les deux rayons réfractés sont polarieés à angle droit.

II est facile de s'assurer qu'il en est de même toutes les fois que le rayon incident est normal à la face d'incidence; car, dans ce cas, les deux rayons réfractés sont compris dans un plan passant par le rayon incident et par l'axe, et l'on se trouve par suite ramené au cas précédent.

Mais dans le cas général, c'est-à-dire lorsque le plan d'incidence n'est pas une section principale, il n'existe aucune relation nécessaire entre les plans de polarisation des deux rayons réfractés. Seulement, comme, dans tous les milieux biréfringents connus, les deux rayons réfractés sont peu écartés l'un de l'autre, et que les plans qui passent par un rayon vecteur de la surface de l'onde et par les deux directions des vibrations qui peuvent se propager suivant ce rayon vecteur sont toujours rectangulaires (129), les plans de polarisation des deux rayons réfractés sont, dans tous les cas, à peu près perpendiculaires l'un à l'autre.

Il est à remarquer que le plan de polarisation du rayon extraordinaire ne passe pas en général par ce rayon , du moins quand on prend pour plan de polarisation, comme le faisait Fresnel, le plan mené [>«rpendiculairement à la direction de la vibration.

11 est un seul cas où la direction des vibrations et par suite celle

ciij plan de polarisation restent indéterminées dans les cristaux à un axe, c'est le cas où le rayon est parallèle à l'axe du cristal.

1/l5. Iiol de IHaliui ou du carré du cmiIuus. — Lorsque le plan d'incidence est une section principale, les vibrations du rayon ordinaire s'effectuent perpendiculairement à ce plan, tandis que celles du rayon extraordinaire lui sont parallèles. Si donc on désigne par a l'angle du plan de polarisation du rayon incident avec la section principale, les vibrations du rayon incident feront avec celles du rayon réfracté ordinaire un angle égal à a, et avec celles du rayon extraordinaire un angle égal à 90°— a. Par conséquent , on prenant pour unité ram|)lilude des vibrations sur le rayon incident, l'amplitude des vibrations du rayon réfracté ordinaire sera représentée par cosa, et celle des vibrations du rayon extraordinaire par sina; l'intensité lumineuse étant proportionnelle au carré de l'amplitude, on aura, en désignant respectivement par I, 0, E les intensités du rayon incident et des rayons réfractés ordinaire et extraordinaire,

0 = Icos^a,

E-=Isin2a.

On retrouve ainsi la loi dite de Malus ou du carri du cùs{nwf^^\ loi qu'Arago a soumise à de nombreuses vérifications expérimentales à l'aide d'un procédé photométrique dont nous aurons occasion de parler ultérieurement ^^l

La loi du carré du cosinus, rigoureusement vraie lorsque le plan d'incidence est une section principale, doit dans tous les cas donner avec une assez grande approximation les intensités des deux rayons r<^fractés, puisque les plans de polarisation de ces rayons sont toujours à peu près rectangulaires.

1 46. "VéwkÛmaMowÈM expértmentelM dM loi» de 1» douMe wéÊrmmUon dans !•• crtotiMim k un »me. — Huyghens se contenta de vérifier l'exactitude de sa construction dans un certain

^'^ Malus, Théorie de la double rêfrartimi, p. 90 5. ■** Œuvre» romplètet d^Arafro, t, X , p. 1 68.

5â6 DOUBLE RÉFRACTION.

nombre do cas simples et ne prit presque pas de mesures nuni#rif|ues^'L

[^es Idées de Huyghens étaient presque tombées dans l'oubli lorsque Wollaston entreprit, en i8of»^^^ une série de recherches destinées à établir expérimentalement les lois de la double réfraction. Le procédé employé par Wollaston consistait k mesurer les angles sous lesquels se produisait la réflexion totale du rayon ordinaire ou du rayon extraordinaire. En mettant successivement le cristal biréfringent en contact avec différents liquides, il obtint ainsi un grand nombre de résultats numériques qui présentèrent un accord satisfaisant avec ceux qui se déduisent par le calcul de la construction de Huyghens.

Quelques années après, en 1808, l'Académie àes sciences de Paris proposa comme sujet de concours la théorie de la double réfraction, et ce fut le mémoire de Malus qui remporta le prix ^ Dans ce travail Malus fait connaître deux procédés qui lui ont seni à vérifier les lois de la double réfraction. Le premier de ces procédés consiste à tailler dans le corps biréfringent un prisme dont les arêtes soient parallèles à Taxe, et à mesurer par la méthode du minimum de déviation les indices ordinaire et extraordinaire du cristal en faisant tomber un rayon lumineux sur l'une des faces latérales du prisme, de façon que le plan d'incidence soit perpendiculaire à l'axe.

Le second procédé de Malus est beaucoup plus générai : il est fondé sur l'emploi de cristaux à faces parallèles. Sur une règle en cuivre blanchie on trace un triangle rectangle ABC (fig. 9/4) Iresallongé, dont l'hypoténuse AC et le grand coté AB sont divisés en millimètres. Cette règle est placée sur une table horizontale, et sur la règle on pose un cristal éjiais de spath à faces parallèles. En visant avec la lunette d'un théodolite un point (î de la surface supérieure du cristal, on aperçoit deux images ahc et n'b'c' du triangle. L'hypoténuse ûV de l'une de ces images coupe le côlé ah de Tautr^e image en un point g. Les divisions tracées sur les cotés du triangle foni ronnattre immédiatement les longueurs ng nt ng. Si Ton porte sur

'■'^ Traité fie la Lumière n chap. v.

^'' Phil. Tiflwji., 1802, p. 38 1.

•^^ Titéorip Ae ht double réfraction. Pans, 181 o.

le côté AB du triangle réel une longueur AE égaie à ag, et sur l'Iiv-

polénuse A(\ une longueur A F égale à a g, on aura deux points K et F tels que deux rayons , l'un ordinaire et l'autre extraordinaire, partantde ces deux points et aboutissant tous deux au point (î ( fig. 90), donnent naissance à un seul rayon émergent GH, dont la direction est celle de la lunette. Réciproquement, si un rayon incident était dirigé suivant HG, ce rayon, en pénéirant dans le cristal, se réfracterait sui-

Fig. 0'«.

^^^:^> ^mi

Kiif. 95

vaut les deux droites GFi et GF. La |)osition du point G à la surface supérieure du cristal étant déterminée et l'épaisseur du cristal étant connue, on déduit facilement des positions occupées par les points K et F les angles de réfraction des deux rayons, ainsi que l'angle que forme le plan de réfraction du rayon extraordinaire avec la section principale. L'angle d'incidence est d'ailleurs égal à l'angle formé avec la verticale par l'axe de la lunette, et le plan d'incidence est celui dans lequel se meut cet axe. On a donc tous les éléments nécessaires [)Our comparer les résultats donnés par rex|)é-

rience avec ceux qu'on déduit, par le calcul, de la construction de Huyghens.

Le point G est ordinairement le point de croisement de deux fils tendus sur la surface supérieure du cristal. Pour pouvoir prendre plusieurs mesures sans déranger le théodolite, on place la règle Ac cuivre et le cristal sur une petite plate-forme horizontale pouvant tourner autour d'un axe vertical, et on s'arrange de façon que le point G, auquel on vise toujours avec la lunette, se trouve sur Taxe de rotation, condition facile à réaliser en déplaçant les fils à la surface du cristal jusqu'à ce que leur point de croisement occupe dans le champ de la lunette une position constante pendant le mouvement de rotation.

Les observations de Malus ont porté surtout sur le spath. En calculant d'après plusieurs séries d'expériences les valeurs de /i et de 6 pour ce cristal, il est arrivé aux nombres suivants.

NATDRR DES OBSERVATIONS.

1* Prismes taillés parallèlement  Taie

2* Face d'incidence inclinëe sur Taxe; plan d'incidence parallèle à la section principale

3" Face d'incidence inclinée sur Taxe; plan d'inddence perpendiculaire à la section principale

A** Face d'incidence perpendirulairc à l'axe

L'accord entre les valeurs trouvées pour a et 6 au moyen d'expériences exécutées dans des conditions différentes est évidemment une confirmation de la théorie. Dans les nombres donnés par Mahis cet accord ne se maintient que jusqu'à la seconde décimale, mais il ne faut pas oublier qu'il opérait avec la lumière blanche.

Pour les cristaux autres que le spath. Malus s'est contenté de déterminer les deux indices à l'aide de prismes taillés parallèlement à l'axe; aussi la distinction des cristaux attractifs et répulsifs lui a-t-elle complètement échappé.

Biot, après avoir démontré au moyen des phénomènes de la polarisation chromatique l'existence des cristaux à deux axes , entreprit

CKISTAUX À (IN A\H. r>29

aussi de vérifier directement les loi$ de la double rëfraction dans un grand nombre de cristaux. La méthode qu'il suivit est analogue à celle de Malus. Le cristal taillé en prisme était placé sur un support horizontal H (fig. 96), de façon que sa face inférieure dépas$ât

un peu le bord du support. Ce support était mobile le long d'une règle horizontale graduée L, sur laquelle était fixée une autre règle R verticale et divisée en millimètres. Lorsque le plan d'incidence était une section principale, les deux images de la règle R se trouvaient sur le prolongement l'une de l'autre, et par conséquent on pouvait donner au support une position telle, qu'une division de l'image ordinaire fût exactement en coïncidence avec une autre di-* vision de Timage extraordinaire. On avait ainsi les positions de deux points A et B tels, que deux rayons, l'un ordinaire et l'autre extraordinaire, partant de ces deux points, donnent, après avoir traversé le prisme, un seul rayon émergent CD, ou, ce qui revient au même, les positions des points où vont aboutir sur la règle R les deux rayons réfractés provenant du rayon incident CD. La direction du rayon CD était déterminée à l'aide d'une lunette avec laquelle on visait un point C de la face d'incidence.

Lorsque le plan d'incidence n'était pas une section principale»

Vebdrt, V. -^ Oph'(|iief F. 3^

iViO DOUBLE RÉFRACTION.

Biol se servait d une seconde règle divisée R', fixée en un point de la, règle R et pouvant faire avec celle-ci un angle variable; il s'arrangeait alors de façon à faire coïncider l'image ordinaire d'une division de la règle R avec l'image extraordinaire d'une division de In règle R'.

I /|7. Empériences relatives à la %'ltrmic du rajoit arëânalre. — La théorie de Fresnel montre que la vitesse du rayou ordinaire dans un cristal à un axe doit être indépendante de sa direction. Cette loi fondamentale a été soumise par plusieurs physiciens au contrôle de l'expérience.

Brewster^*^ accola l'un à l'autre par la base deux prismes de spath, d'angles réfringents exactement égaux, mais dont le premier avait ses arêtes parallèles à l'axe tandis que les arêtes du second fîtaient perpendiculaires à l'axe. En regardant à travers ce prisme composé une mire parallèle à l'arête réfringente, il constata que les deux parties de l'image ordinaire de cette mire se trouvaient exactement dans le prolongement l'une de l'autre, ce qui prouvait que dans les deux prismes le rayon ordinaire, bien que suivant des directions diversement inclinées par rapport à t'axe, avait éprouvé des réfractions égales, (le procédé n'est autre que celui dont s'est servi Fresnel pour faire voir que dans les cristaux à deux axes il n'existe pas de rayon ordinaire.

Quelques années après les expériences de Rrewster, M. Swan'mesura directement l'indice ordinaire du spath au moyen de prismes taillés dans différentes directions. Tl employait la méthode du minimum de déviation et opérait avec la lumière monochromatique de l'alcool salé. Il obtint ainsi les résultats suivants :

INDIIIE ORDI.NAIRR Dr SPATB.

Rayon réfracté parallèle à l'axe i, 658367

perpendiculaire à l'ave i.6o8366

incliné de /i5 degrés sur Taxe. ... i ,658385

incliné de 6o degi'és sur Taxe. ... i ,658389

• iJ'* Rep, ofBrit. Aê«of„ p. 7.

^*> Edinh. Trmis.. XVI, .^75.

Les dilFérences que l'on constate entre les indices ainsi détermines sont assez faibles pour pouvoir être attribuées aux erreurs d'observation; elles ne portent, en effet, que sur la cinquième décimale, et il faut tenir compte de ce que la lumière employée n'est pas rigoureusement monochromatique.

DOÏîBLE RÉFRACTION DANS LES CRISTAUX \ DEUX AXES.

148. Forme de te surfoee de Tonde dans leo-cristMn à deum ornes. Les cristaux à deux a\os sont ceux qui n'appartiennent ni au système cubique ni au système rhomboédriquo. Dans ces cristaux les vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux Irois axes d'élasticité, vitesses que nous avons représentées par a, h, c, sont inégales, et la surface de l'onde a pour équation

Lorsque a, h, c ont des valeurs différentes, comme cela arrive pour les cristaux s^ deux axes, la surface de Tonde est une surface du quatrième degré h deux nappes, indécomposable en surfaces du second degré. Pour nous faire une idée de la forme de celte surface, nous allons considérer ses sections par les trois plans des coordonnées. Nous supposerons que l'on ail

l'axe des x est alors ce qu'on appelle l'axe de plus fprande élasùciti: l'axe des z est l'axe de plujt petite élaHicité et l'axe des y est l'axe àe moyenne élasticité.

En faisant successivement, dans l'équation delà surface de l'onde,

on voit que la section de la surface |)ar le plan des yz se compose d'un cercle

et d'une ellipse

It^y^+êz^-V^c^,

la section par le plan des xz se compose d'un cercle

CRISTAIX À DEUX AXES, et d'une ellipse

enfin la section par le plan des xy se compose d'un cercle

et d'une ellipse

x^ -h yf^ = C^y

a'x'-i-bY=^a^\

Il résulte de là que dans le plan des yz le cercle est extérieur à l'ellipse, tandis qu'au contraire dans le plan des xy l'ellipse est extérieure au cercle. Dans le plan des xz, c'est-à-dire dans le pian perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité, le cercle et l'ellipse se coupent en quatre points qui sont deux à deux diamétralement opposés; ces quatre points d'intersection sont, comme nous le verrons, des points singuliers de la surface de l'onde.

La figure 97, où l'on a pris

0^- 0A'-«, OB^ OB'--/;, OC^OC^c,

montre la forme que présentent les sections faites dans la surface

de l'onde par les trois plans des coordonnées. Ces trois sections se nomment les seclions principales de la surface de l'onde, et cette surface est symétrique par rapport au plan de chacune des trois sections principales.

La bissectrice de l'angle aigu des rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de l'onde Fig. 97. s'appelle la ligne moyenne»

Cette ligne moyenne peut se confondre soit avec l'axe de plus grande élasticité, soit, au contraire, avec l'axe de plus petite élasticité.

bU DOUBLE RÉFRACTION.

149. liOlM de la dlaublc réfiractlon dans le» criatavm à deum âmes. — Lorsque le plan d'incidence est peqiendiculaire à l'un des trois axes d'élasticité, c'est-à-dire se confond avec une section principale, la construction de Huyghens devient plane, et par suite les deux rayons réfractés restent dans le plan d'incidence. De plus, dans ce cas, l'une des courbes suivant lesquelles la surface d<* l'onde est coupée par le plan d'incidence se trouve toujours être nn cercle, d'où il résulte que l'un des deux rayons réfractés suit la loi des sinus ; ce rayon prend le nom de rayon ordinaire. L'indice de

réfraction du rayon ordinaire est égal à - dans le plan des jz, à ^ dans le plan des xz, à 7 dans le plan des xy. Les trois quantités -179-7 sont ce qu'on appelle les trois indices frindpaux du cristal. Ces trois indices peuvent être déterminés par la méthode du minimum de déviation, au moyen de trois prismes taillés parallèlement aux trois axes d'élasticité du cristal, et la connaissance de ces indices suffit pour définir le cristal au point de vue optique.

Lorsque , dans un cristal à deux axes , la face d'incidence est perpendiculaire à l'un des axes d'élasticité et que le rayon incident est normal , les deux rayons réfractés suivent la même direction , mais ces rayons se propagent dans le cristal avec des vitesses différentes; d'où il suit que, si la face d'émergence n'est pas parallèle à la face d'incidence, les deux rayons émergents ont des directions différentes. Les axes d'élasticité dans les cristaux à deux axes ne jouissent donc pas des mêmes propriétés que l'axe unique dans les cristaux à un axe.

En se reportant à la forme des sections faites dans la surface de l'onde par les trois plans des coordonnées, il est facile de voir que. si le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de plus grande élasticité, le cristal à deux axes se comporte comme un cristal à un axe attractif; si, au contraire, le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de plus petite élasticité, le cristal à deux axes présente les propriétés d'un cristal à un axe répulsif; enfin, si le plan d'incidence est perpendiculaire à l'axe de moyenne élasticité, c*est-idire coïncide avec le plan des j?z, comme dans ce plan le cercle el l'ellipse se coupent, le cristal à deux axes, suivant l'incidence, se montre analogue à un cristal attractif ou à un cristal répulsif.

CIUSTAUX À DEUX A\KS. 535

Pour dëliuir d'une mauière abs>olue le signe d'un cristal à deux axes, c'esi-à-dire pour le rauger dans la classe des cristaux attractifs ou dans celle des cristaux répulsifs /on remarque que, si l'angle des deux rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de Tonde tend vers zéro y le cristal à deux axes se rapproche do plus en plus par ses propriétés d'un cristal à un axe, lequel sera répulsif si les deux rayons vecteurs se confondent avec Taxe de plu» grande élasticité, c'est-à-dire si b devient égal à c; attractif si ces rayons vecteurs se confondent avec l'axe de plus petite élasticité, c'est-à-dire si b devient égal à a. Il est donc naturel de dire qu'un cristal à deux axes est attractif ou positif lorsque la bissectrice de l'angle aigu des deux rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de l'onde, bissectrice qui porte le nom de ligne moyenne, coïncide avec l'axe de plus petite élasticité, et de considérer le cristal comme répulsif ou négatif lorsque la ligne moyenne tombe sur l'axe de plus grande élasticité. On voit qu'il est un cas oii le signe du cristal reste indéterminé : c'est celui où les rayons vecteurs qui passent par les points singuliers de la surface de l'ondë sont perpendiculaires l'un à l'autre.