IV
= y snia--( -
Proposons-nous maintenant de trouver les valeurs des composantes de la vitesse du mouvement vibratoire en un point M , dont la distance à Toriginc 0 est égale à K. Si cette distance est assez petite pour qu'on puisse faire abstraction de raitaiblissement qu'éprouve l'intensité lumineuse lorsqu'on passe du point 0 au point M, le mouvement en M au temps ( est identique à ce qu'il est on 0
au temps / — rr' V étant la vitesse de propagation de la lumière.
On a donc, pour les composantes de la vitesse au point M,
/SsinaTTi
m .--- y sm*?7r\ — .p
Kii rc-niar(|iiaiit que
cl (Ml posant
il \itMil, pour li*s coinposniites de la vitesse en 0. w == a sin îiTT ( , 'l\ .
pI pour les coiiiposanles de la vitesse en M,
a -=-- a sin -jw f ,-p — '^-s— j ,
Les quantités (p, x» 4^ «" P«'nt t)- ? + v' X + v' ^"^V ''" point M, sont ce «pi'on appelle les phases des vitesses composantes en ces points.
On voit que. si R est égal à un nombre pair de demi-longueurs ([ondulation, les composantes u, v, tv' sont respectivement égales aux composantes u, c, tv et de même signe; si R est égal à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation, les composantes n, V, w' seront égales en valeur absolue aux composantes m, r, w, mais de signes contraires.
'iG. É%-AluAtioii de rintenalté lumineuse. — Nous avons \u(29) que rinlensité lumineuse à un instant donné a pour mesure le carré de la vitesse du mouvement \ibratoire: il suit de là qu'en désignant cette vitesse par I , l'intensité lumineuse jîendanl l'unité
170 LUMIÈRE NO.N POLARISÉE,
(ie temps sera re[)i'ésentée par
connue on- a toujours
l'intégrale qui sert de mesure à l'intensité lumineuse a pour valeur
t/0 Jo Jo
(ionsidërons séparéineiil Tuikî de ces trois intégrales, par exemple I u^(ll\ en remplaçant u- par sa valeur, elle devient
Jo
Or, si T désigne la durer d'une vibration , on a
L'intégrale qui représente l'intensité lumineuse est donc égale, si on la prend entre les limites zéro et T, à
L'unité de temps comprenant toujours un nombre immense de vibrations, on peut admettre sans erreur sensible qu'elle est' an multiple exact de la durée d'une vibration , et poser
l'intensité lumineuse pendant l'unité de temps aura alors pour mesure
Les intensités de deux mouvements vibratoires ayant même période sont donc entre elles comme les sommes des carrés des trois coefficients des composantes de la vitesse, ces intensités étant évaluées pendant le même temps pour les deux mouvements.
Supposons maintenant qu'il s'agisse de comparer les intensités lumineuses de deux mouvements vibratoires ayant des périodes différentes. Soient T et T' les durées de ces périodes; les intensités lumineuses des deux mouvements évaluées pendant la durée d'une période seront respectivement
pl
mais si on évalue ces intensités pendant l'unité de temps, elles auront pour mesure
et
Donc, que dfjux mouvements vibratoires soient de même période ou de périodes différentes, leurs intensités sont toujours proportionnelles à la somme des carrés des coefficients de la vitesse, ces intensités étant évaluées pendant un même temps pour les deux mouvements.
Â7. C^mposifioii ûem mouvements vibratoires. — Imaginons qu'en un même point 0 arrivent un nombre quelconque de mouvements vibratoires . ayant tous même période, mais différant par la phase et par l'intensité : nous allons faire voir que le mouvement résultant de leur superposition sera encore un mouvement vibratoire ayant même |)érlode que les mouvements composants.
Soient en effet u, v, w, v!, v', w\ ..., les composantes parallèles aux axes des vitesses apportées en 0 par les différents mouvements
172 LUMIÈRE NON POLARISÉE,
vibratoires (jui i>e rencontrent en ce point : nous aurons
M=a sinîi7rLj,--|j, «'^^ a' sina^r^s; — ^\
el ainsi de suite.
Désignons par U, V, W les composantes de la vitesse du mouvement résultant : nous aurons
ou
[j ^ siu'îWq-, (a cos 2îr|-|-a' cosaw^ + . . .j
— cos!iîr,-p (a sin 3 7r| + a' sin9ir"j-i| j ,
\ =^.sin'!7r,j^iS cosîiTT^ + iS' cos37r-*H )
cosîm-fjS sin îiîr|-f-/5' sinawt+...j, W --sinî>7r;|i [y cos 37r4-f-y'cosaîryH j
— cos îiTT rp [ y sm aTT -s- I- y sm *J7r -y + . . . j •
Il est facile do dc'MnonIrer que les quantités V , V et W peuvent élrc mises sous la forme
U^Asin.iir(l-^),
\ H siU'iTT (r., — y)i
\\.^Csin.7r(.;.-|).
Si on identifie, en effet, cette dernière valeur de U avec relie qui a Mé trouvée plus haut, on obtient les deux conditions
A cos 97r y ^ ia cos aw y,
Asin'ïTr <-- = 2asinQ7r4i
le signe 2 désignant une somme de quantités analogues; de là on tire immédiatement
A^=-- f2a C0S2WV-J 4- fSot sinQTT vj'* Q 2a sin aw y
>./• rnc n*tr iL
la cos ottt
Les valeurs trouvées pour les quantités A et G étant toujours réelles, on voit que U peut toujours se mettre sous la forme indiquée plus haut : il en est évidemment de même des composantes V et W. Donc le mouvement résultant de la composition d'un nombre quelconque de mouvements vibratoires* de même période est aussi un mouvement vibratoire dont la période est la même que celle des mouvements composants et dont l'intensité est égale n
42 + B*^ + C2, cVst-à-dire à
(2acos97r|)'+(2asin^7r|)'+(2/Scos37r^)' .
+ f2/Ssîn 97ryj^+ fSycosaTr vj^+ f2ysin 'itt v j"-
/|8. Applientloii des formuleB préeédentea aux phénomènes d*ihterférenee. — Les formules que nous venons d'établir permettent de résoudre dans tous les cas les problèmes relatifs à l'interférence des rayons lumirteux et de calculer l'intensité lumineuse résultant de la rencontre en un mênie point d'un nombre
174 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
quelconque de rayons dans des conditions données. Noos nous bornerons à traiter le cas le plus simple, qui est en même temps celui qui se trouve le plus souvent réalisé dans les expériences; nous supposerons que deux rayons partis de la même origine et ayant parcouru des chemins différents se rencontrent en un certain point en faisant un angle très-petit, de sorte qu'à l'intensité près la relation entre les deux mouvements vibratoires apportés en ce point est la même que celle qui existe entre les mouvements de deux molécules situées sur un même rayon à une distance S égale à la différence des chemins parcourus par les rayons interférents.*
Les composantes des vitesses des deux mouvements vibratoires interférents auront pour expression, d'après ce que nous avons vu.
r = jSsm27rL-p — ^ )' v = jS smairl rf jj- 1,
(i k\ , f ' (t k'hS\ , tt? = ysm2îr( ^-- j^ Il îr=y smaTrLj, T")'
En appliquant les formules démontrées plus haut (&7), il vient
A*^=fa cos 3ir^ + a' cosqît'^-j-- r + fasin *^^|^+ «'«in qw-^-j— j"
■■= a^ + a *^ + 9aa' cos 97r j- '
et de même
B2==..e^+/S'2+5iiS/3'cosQ7r|,
L'intensité du mouvement résultant a donc pour valeur
+ 9 {aa + /SjS' + yy') cos a w j • dette expression se compose de deux parties, dont la première
est indépendante de la différence de marche S. Si les coefficients a, jS, y ont respectivement les mêmes signes que les coefficients a\ /8', y', c'est-à-dire si les rayons interférents n'ont eu à subir que des variations d'intensité et non des changements de signe dans la vitesse du mouvement vibratoire, comme peut en produire la réflexion, l'intensité du mouvement résultant sera maximun ou minimum suivant qu'on aura
nu
ros*î7r r=--— n
c'est-à-dire suivant que la différence de marche S sera égale à un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation. Si la quantité aa'-l- j8iS' + yy' a une valeur négative, ces conditions sont renversées.
Considérons spécialement le cas où les vibrations des rayons interférents sont rectilignes et dirigées suivant la même droite : soient alors u et u' les vitesses des deux mouvements vibratoires, U la vitesse du mouvement résultant; on aura
U = A sin sifl- f rp — '^-j— ) '
et les quantités A et e seront déterminées par les équations
et
A^ = «2+ a'2 + uaet cos ^n j^
tf , , . q-hS a sinâîrY+ « sinan —^— «-ne A A tanff 9 TT - >— = K '
acosa^r j+ a cos27r^-T— dont la dernière se réduit à
a singfl-T-
tang9U5^ = — j
a + a' cosaiTy
176 LUMIERE NON POLARISEE.
La valeur maximum de riiilensité A^ est (a-f a')^, el sa valeur minimum (a — a y. Par suite, si les deux rayons inlerférenb ont même intensité, le minimum de l'intensité qui résulte de leur superposition est nul et. le maximum de cette intensité est égal au quadruple de l'intensité de chacun des rayons. ,
Si , les vibrations étant toujours rectilignes et parallèles sur les doux rayons, on a •
S eos9W5-=o.
c'est-à-dire si la différence de marche S est égale à un nombre impair de quarts de longueur d'ondulation , il vient
donc, dans ce cas, les intensités des rayons interférenls s'ajoutent. Réciproquement, tout mouvement vibratoire recliligne peut être remplacé par deux mouvements vibratoires de même période, s'effectuant suivant la même direction et présentant une différence de marche égale à un quart de longueur d'ondulation, pourvu que U somme des intensités de ces mouvements composants soit égale à l'intensité du mouvement donné.
La formule qui donne l'intensité A^ du mouvement vibratoire résultant est exactement la même que celle qui fait connaître la grandeur de la résultante de deux forces appliquées en un même point, proportionnelles à a et h a , et faisant entre elles un angle égal à
9?r y II existe donc une analogie remarquable entre la composition
des forces concourantes et celle des mouvements vibratoires recti- 1 ignés et parallèles.
Nous.avons supposé jusqu'à présent les deux rayons qui se croisent en un m^me point émanés d'une source unique; examinons maintenant le cas où ces rayons proviennent de deux sources physiquement distinctes. F^a différence de phase change alors continuellement,
et, par suite, cosqtt t passe dans un temps très-court par toutes les
valeurs comprises entre + i et — i ; la valeur moyenne de cette quantité est donc sensiblement nulle, el l'expresssion de l'intensité du
mouvement vibratoire résultant se réduit à la partie constante qui est égale à la somme des intensités des mouvements composants. Nous retombons ainsi sur cette loi, que Téclairement produit en un point par plusieurs sources distinctes est toujours égal à la somme des éclairements que produirait chacune de ces sources prise isolément, et il en résulte une confirmation a posteriori du principe de la proportionnalité de rintensité lumineuse au carré de la vitesse du mouvement vibratoire, principe qui a servi 4^ base à nos raisonnements et que nous avons admis en nous laissant guider par l'analogie sans en donner, à proprement parler, une démonstration rigoureuse.
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