OA'' + A"P)-(OA' + AT

(OA"' + A"'P)- (OA^ + A^Pj^-/

Les raisonnements par lesquels nou^ avons déterminé l'action d'une onde linéaire de forme quelconque sur un point extérieur sont applicables ici, puisque ces raisonnements sont uniquement fondés sur les propriétés des maxima et des rainima. Les longueurs des arcs élémentaires de la droite MN vont donc en décroissant à partir du pôle, d'abord très-rapidement, puis de plus en plus lentement, de façon que ces arcs, lorsqu'ils sont séparés du p61e par un grand nombre d'éléments, sont très-petits par rapport à ce qu'ils sont dans le voisinage du pôle. 11 résulte de là (|ue l'action de la droite MN

316 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

sHr le point P se réduit à celle d'une fraction des deux premiers arcs élémentaires situés de part et d'autre du p6le A.

Si maintenant nous décomposons le plan réfléchissant en bandes infiniment étroites, parallèles au plan normal OAP qui contient le point lumineux et le point éclairé, nous pourrons raisonner sur chacune de ces bandes comme sur la droite MN , et par suite l'action de chaque bande se réduira à celle d'une très-petite longueur de cette bande ayant pour milieu le point de la bande pour lequel la somme des distances au point lumineux et au point éclairé a une valeur minimum. L'action du plan réfléchissant tout entier sur le point P se trouve ainsi ramenée à celle d'une bande Z, dont nous allons chercher à déterminer la forme et la largeur.

Prenons pour plan de figure le plan réfléchissant: soient o et;? les projections sur ce plan du point lumineux et du point éclairé (fig. Â9), et posons

Oo = A, Pp=-k, op==L

Choisissons pour axe des x la droite op, qui n'est autre que lu trace sur le plan de la figure du plan normal OAP, et peur axe des y

Fig. 49.

une perpendiculaire à cette droite menée par le point 0 ; soit enfin CD une des droites parallèles à MN qui limitent les bandes infiniment étroites dont nous avons supposé le plan réfléchissant formé.

Proposons-nous de déterminer sur la droite CD un point Q tel, que la somme des distances de ce point aux points 0 et P soit minimum : les coordonnées de ce point doivent satisfaire à la condition

comme y conserve une valeur constante sur la droite CD, il suffit de différentier l'expression entre parenthèses par rapport à x, ce qiii

donne

X / — ut-

En élevant au carré, on -a

d'où

[y^+h^){l-xf^x''{y^ + k^).

Cette équation, si on y considère a: et y comme variables, représente une courbe qui est le lieu des points jouissant de la ménie propriété que le point Q sur les droites parallèles à CD, courbe qui forme l'axe de la bande étroite Z, à l'action de laquelle se ramène celle que le plan réfléchissant exerce sur le point P.

En tirant de Téquaiion de cette courbe la valeur de x, on a

si on y fait y ~ o, cette expression devient

Ih

et donne l'abscisse du point A où lu courbe rencontre la droite MN. * Si y prend utie valeur infinie, on a

la droite menée par le milieu de op parallèlement à l'axe des y est

il8 LUMIÈRE NON PULARISÉE.

donc asymptote à la courbe, qui, par suite, a une forme telle que AQO'.

Si nous décomposons cette courbe ÂQQ' en arcs élémentaires tels, que, pour les deux extrémités d'un même arc, les sommes des distances au point lumineux et au point éclairé diffèrent de -t et que

par les points de division nous menions des parallèles à CD, la bande efficace Z se trouvera partagée en zones élémentaires. Les arcs élémentaires de la courbe AQQ' décroissent très-rapidement à partir di^ point A, mais, pour démontrer qu'il en est de même des vitesses envoyées au point P par les zones élémentaires, il faut comparer les surfaces de ces zones dans le voisinage du plan normal OAP et à une certaine distance de ce plan. Or la bande Z est comprise dans l'intérieur d'une autre bande TI limitée par deux courbes qui sont le lieu des extrémités des premiers arcs élémentaires des droites parallèles è CD, arcs qui sont situés sur chacune de ces droites de part et d'autre du point analogue au point Q; de plus, les surfaces des zones élémentaires des bandes Z et Tl qui correspondent à un même arc élémentaire de la courbe AQQ' sont dans un rapport sensiblement constant : il suffira donc de voir comment varient les surfaces des zones élémentaires de la bande Z'.

Soit Q| l'extrémité du premier arc élémentaire de la courbe AQQ', et désignons par s la longueur de Varc AQ^ , par a la longueur du premier arc élémentaire de la droite MN à partir du point A : la surface de la première zone élémentaire de la bande Tl sera de l'ordre du produit as. Or, en appelant R la somme des distances d'un point quelconque du plan réfléchissant au point lumineux et au point éclairé, on arrive, en suivant la même marche que pour déterminer la grandeur dels arcs élémentaires voisins du pôle dans le cas d'une onde linéaire de forme quelconque, à l'équation

la valeur de ^-i étant celle (jui correspond au point A.

Comme on a d'ailleurs

il vient

(x'^f-^h')* [{i-xy-^f-^k']

En remplaçant dans celle expression x et y par les coordonnc^es dn

hTk'

point A, qui sont y = o et x= ^ — j-, elle devient

dx' d'où

fcfc[/*-f(*4-il)«]'

Les quantités h, k, l sont du même ordre de grandeur, et par suite la fraction qui multiplie X sous le radical est de l'ordre de la première puissance d'une quelconque de ces quantités; (7 est donc de l'ordre de i/AX, et la surface de la première zone élémentaire de l'ordre de i i/AX. Quant à la vitesse envoyée par cette zone, comme elle est inversement proportionnelle au produit des distances de la zone au point lumineux et au point éclairé , elle est de l'ordre de la quan-

hk Considérons maintenant une zone élémentaire de la bande Z' séparée du point A par un grand nombre d'arcs élémentaires : soient l' l'arc élémentaire de la courbe AQQ' qui sert de base à cette zone , et <r' la longueur du premier arc élémentaire de la droite parallèle i CD qui limite la zone. Lorsque y augmente, x tend vers une li-

mile égale à -i et 3^ vers une limite' égale à -; à une grande distance du pôle A^ la surface d'une zone élémentaire est donc de

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320 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

l'ordre de s! UXy, et, comme les distances de cette zone au point éclairé et au point lumineux diffèrent alors peu de y, la vitesse envoyée par cette zone au point P est de l'ordre de * ^, -^ • Cette dernière quantité est très-petite par rapport à la quantité ^^ , qui

/lie

indique l'ordre de grandeur de la vitesse envoyée par la première zone élémentaire. Donc, malgré l'élargissement de la bande Z\ les vitesses envoyées par les différentes zones élémentaires de cette bande au point P décroissent très-rapidement à mesure qu'on s'éloigne du pôle A, et par suite il en est de même des vitesses provenant des zones élémentaires de la bande efficace Z.

L'action du plan réfléchissant sur le point P se réduit en définitive à celle d'une très-petite région comprenant le point A , et l'éclairement du point P peut être regardé comme provenant sensiblement du point A. Or A est dans le plan normal passant par le point lumineux 0 et le point éclairé P, et les droites OA et AP font des angles égaux avec la normale menée en A au plan réfléchissant; la loi de la réflexion régulière se trouve donc démontrée pour le cas d'une surface réfléchissante plane et illimitée. *

58. Réflexion pur une vurilRce eoiirlic« — Lorsque la surface réfléchissante est courbe, l'action de cette surface sur un point extérieur se réduit encore à celle d'une très-petile région comprenant le pôle : pour le démontrer on raisonnera , si la surface est illimitée, comme dans le cas d'une surface réfléchissante plane; si elle est limitée par une courbe, tout^n ayant une étendue assez considérable pour comprendre un grand nombre d'arcs élémentaires, comme dans le cas d'une onde sphérique (53) ou d'une onde limitée de forme quelconque (54). Mais, quand la surface réfléchissante est courbe, on devra considérer comme pôle tout point de la surface pour lequel la somme des distances au point lumineux et au point éclairé est un maximum ou un minimum; il peut par conséquent y avoir plusieurs pôles, c'est-à-dire que la lumière peut se propager par plusieurs chemins différents, du point lumineux au[)oint éclairé, en touchant la surface réfléchissante.

H est facile de voir que la condition qui détermine sur la surface rt^fléchissantc les points où a lieu la réflexion, étant donnés le point lumineux et le point éclairé, conduit à la loi de la réflexion régulière. Soient en efl'el (fig. 5o) S le point lumineux, P le point éclairé, 2 la surface réfléchissante, A le point de cette surface qui

renvoie en P la lumière venant de S , ou un des points jouissant de cette propriété s'il y en a plusieurs. Au point A, d'après ce que nous venons de dire, U somme SA + AP a sur la surface 2 une valeur minimum ou maximum. Ceci posé, menons en A un plan tangent T à la surface 2; '^ '^^ prenons sur la surface 2 et

sur le plan tangent deux points M et B dont les distances au point A soient des infiniment petits du premier ordre. Il résulte de la définition ménje du point A que la différence entre SM+MP et SA + AP est un infiniment petit du second ordre; d'ailleurs, la distance d'une surface à son plan tangent est, pour un point de cette surface infiniment voisin du point de contact, un infiniment petit du second ordre; donc la différence entre SM + MP et SB-f BP est un infiniment petit du second ordre, et, par suite, il en est de même de la différence entre SB + BP et SA + AP. Sur le plan tangent la somme des distances au point lumineux et au point éclairé doit donc être maximum ou minimum au point A, et il est évident qu'elle ne peut être que minimum. La loi de la réflexion régulière est ainsi satisfaite au point A sur le plan tangent , et par suite aussi sur la surface 2.

On voit que, dans le cas d'une surface courbe, la loi de la réflexion régulière n'astreint pas toujours la lumière à s.uivre le chemin le plus court pour aller du point lumineux au point éclairé en touchant la surface réfléchissante; la lumière peut dans certains cas suivre, au contraire, le chemin le plus long. Ainsi, concevons un

222 LUMIÈRK NON POLARISÉE.

ellipsoïde de révolution ayant pour foyers le point lumineux S et le point éclairé P, et prenons sur la surface de cet ellipsoïde un point quelconque A : pour toute surface tangente à Tellipsoide en A la loi de la réflexion régulière est satisfaite en ce point; mais, tandis que sur la surface de l'ellipsoïde la somme SA + AP est constante, cette somme est minimum en A pour toute surface tangente extérieurement à Tellipsoîde en ce point, maximum pour toute surface tangente intérieurement. Si ia surface réfléchissante est illimitée, elle ne peut d'ailleurs présenter de p6le correspondant à un maximum sans qu'il y ait sur celte surface au moins un autre p61e correspondant à un minimum ^^\

59. C?onatra««ioii de ronde réflécMc. — Soient 2 (6g. 5i) une surface réfléchissante quelconque, S le point lumineux : considérons sur la surface 2 une série de points voisins A, A', A^... ; joignons ces points au point S et menons les rayons réfléchis qui correspondent aux rayons incidents SA, SA', SA',...; sur ces rayons prenons des longueurs AP, AT', AT^... telles, que les* chemins SA+AP, SA'-f-A'F, SA^+A'P",... soient égaux. Les points P, P', P\... peuvent être regardés comme recevant respectivement leur éclairement du point lumi- Fig 5i. neux S par l'intermédiaire des points

A, A', A",... de la surface réfléchissante: le mouvement vibratoire^ emploie donc des temps égaux pour se propager du point lumineux S aux points P, P', P,...; déplus, si, par le fait de la réflexion, il se produit un changement de phase, on peut supposer que ce changement est sensiblement le

(0 La propriété qui définit le pôle A d^une surface réfléchissante par rapport à deui points donnés S et P consiste, à proprement parler, en ce que, si Ton passe de ce pôle A à un point«infiniinent voisin sur la surface, la variation de la somme SA + AP est un infiniment petit d^un ordre supérieur au premier, et, dans certains cas particuliers , cette somme peut n'être ni maximum ni minimum au point A; c^est ce qui arrivera si la surface réfléchissante a au point A un contact d'ordre pair avec Tellipsoïde de révolu • lion ayanl pour foyers les points S et P et passant en A. (L.)

même aux points A, A', A'', . . . , puisque ces points sont voisins. 11 résulte de lÀ que, sur une petite étendue de la suffaee R qui est le lieu des points P, P', P', . . . , les mouvements vibratoires de ces points peuvent être regardés comme concordants : nous pouvons donc considérer cette surface comme étant l'onde réfléchie. Il est facile d'ailleurs de faire voir que la surface R est l'enveloppe des sphères décrites des points A, A', A',... comme centres, avec des rayons égaux respectivement à AP, A'P', AT*', .. et de justifier ainsi le principe des ondes enveloppes dans le cas de la réflexion. Supposons en effet qu'au point A sur la surface 2 la somme SA' -f- A'P soit un minimum : on aura alors

SA + AP'>SA' + A'P', et comme

il viendra

d'où