COSI

= /i (ncosr — cosi) = /<(i/w*^ -sin-i — cos>), y//r — sm'f + cosi

Cette expression, qui représente la différence de phase produite jiar une aspérité de hauteur A, ne s*annule pour aucune valeur de i; elle crott avec l'angle d'incidence t\ et sa valeur minimum , qui est égale à A (w — 1 ), correspond à l'incidence normale.

Ainsi , dans le cas de la réfraction , il n'est pas toujours possible, comme cela a lieu pour la réflexion, de faire disparaître l'influenco des aspérités de la surface de séparation par une inclinaison convenable des rayons incidents, et, lorsque la quantité A(n — i) n'est pas une très-petite fraction de la longueur d'ondulation dans le premier milieu, la réfraction ne peut s'opérer d'une manière régulière sous aucune incidence.

63. Couleur» ûem lames é|mlfl«e». — Descripiion et toUi dmm pliénoménea. — Les couleurs dites des lames épaisses provenant, comme nous le verrons plus loin, des interférences des rayons diffusés par la première face de la lame, leur étude se rattache au sujet que nous venons de traiter.

La découverte des anneaux colorés des lames épaisses est duc à Newton (*^ qui les observa dans les circonstances que nous allons décrire. Un trou pratiqué dans le volet d'une chambre obscure

<') O/ili^iMf, liv. n,part. IV.

laissait pénétrer dans cette chambre un faisceau de niyons solaires qui étaient reçus sur un miroir concave en verre étamé ; les rayons, avant d'arriver au miroir, rencontraient un carton blanc percé d'une ouverture très-petite, laquelle coïncidait aussi exactement que possible avec le centre du miroir. Ce carton arrêtait la plus grande partie du faisceau lumineux et ne laissait passer qu'un cône de rayons divergents qui allaient tomber normalement sur le miroir. Les rayons réfléchis régulièrement par le miroir revenaient passer par l'ouverture du carton, et autour de cette ouverture on apercevait une série d'anneaux, colorés dans la lumière blanche, alternativement obscurs et brillants dans la lumière homogène. Newton , en mesurant les diamètres de ces anneaux, trouva qu'ils étaient soumis aux lois suivantes :

i"" Ces diamètres varient comme ceux des anneaux transmis formés par une lame mince, c'est-à-dire que les carrés des diamètres des anneaux brillants sont proportionnels à la suite des nombres pairs 0, a, â, 6,..., et les carrés des diamètres des anneaux obscurs à la suite des nombres impairs i, 3, 5, 7,....

a"" Si Ton produit successivement les anneaux des plaques épaisses avec de la lumière homogène de différentes couleurs, ils vont en s élargissant à mesure que la réfrangibilité de la lumière diminue, et les rapports entre les diamètres que présente un même anneau, lorsqu'on fait varier la couleur, sont les mêmes que pour les anneaux des lames minces.

S"* Les diamètres des anneaux des plaques épaisses sont sensiblement proportionnels au rayon de courbure du miroir, c'est-à-dire à la distance du miroir à l'ouverture.

&'' Ces diamètres sont en raison inverse de la racine carrée de l'épaisseur du miroir.

5"* Les anneaux sont d'autant plus larges que l'indice de réfraction du verre qui forme le miroir est plus considérable.

Newton reconnut en outre que, si on enlève l'étamage de la face postérieure du miroir, les anneaux deviennent très-peu intenses , et qu'ils disparaissent complètement avec un miroir métallique, ce qui prouve que les deux faces du miroir de verre concourent à la production des anneaux.

nu LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Les apparences que présente le phénomène lorsque les rayons incidents cessent de tomber normalement sur le miroir ont été également décrites par Newton. Si on incline un peu le miroir sur la direction des rayons incidents, et si on place l'écran de façon qu'il soit rigoureusement perpendiculaire à Taxe du miroir, les rayons réfléchis régulièrement iront former sur l'écran une image de l'ouverture qui occupera une position symétrique de celle de l'ouverture par rapport au point où l'axe du miroir rencontre l'écran. On voit alors un anneau blanc qui passe par l'ouverture et par son image : cet anneau est en réalité de forme elliptique, mais, lorsque Tinclinaison du miroir sur les rayons incidents est peu considérable, il est sensiblement circulaire ; les faisceaux lumineux incident et réfléchi forment deux taches lumineuses en deux points diamétralement opposés de cet anneau. A l'intérieur et à l'extérieur de l'anneau blanc se montrent des anneaux colorés ou les teintes se succèdent dans le même ordre h partir de l'anneau blanc. A mesure cpie l'on augmente l'inclinaison du miroir, les anneaux s'élargissent, et en mémo temps ils présentent un maximum d'éclairement de plus en plus marqué dans le voisinage du point oii se forme l'image de l'ouverture. Dès que l'inclinaison du miroir atteint i o ou 1 5 degrés, les anneaux ne sont plus visibles que dans leur partie la plus éclairée; on n'aperçoit plus alors que des bandes colorées qui se rapprochent d'autant plus de la forme rectiligne que le miroir est plus incliné.

Enfin Newton constata qu'on peut voir directement les anneaux en supprimant le carton et en plaçant l'œil à l'endroit où les anneaux viennent se peindre le plus distinctement sur l'écran.

Frappé de l'analogie qui existe entre les couleurs des plaques épaisses et celles des lames minces, Newton s'efforça de les rattacher à la même cause et d'expliquer la formation des premières par la théorie des accès. Suivant lui, les anneaux colorés des plaques épaisses sont dus à ce que les rayons diffusés par la seconde face de la plaque sont réfléchis ou transmis par la première suivant qu'ils se trouvent, au moment où ils rencontrent cette première face, dans un accès de facile réflexion ou de facile transmission. Cette explication est contredite par les faits, car la surface étamée du miroir

dont se servait Aewtoo ne pouvait diffuser la lumière d'une façon sensible» et, de plus, de nombreuses expériences ont montré que les anneaux présentent d'autant plus d'éclat que la première face du miroir a un pouvoir diffusif plus grand et la seconde face un pouvoir réflecteur plus considérable, et que, par conséquent, c'est aux rayons diffusés à ta première face qu'il faut attribuer le phénomène. Newton lui-même avait vu les anneaux devenir moins intenses lorsque la seconde face du miroir n'était plus étamée. Quant h l'influence du pouvoir diffusif de la première face, la découverte en est due au duc de Gbaulnes^'^ qui se servait, pour produire les anneaux, d'un miroir métallique concave devant lequel il plaçait une lame de verre ou de mica. Ayant par hasard soufflé sur cette lame, il remar^ qua que les anneaux devenaient beaucoup plus distincts. Pour aug^ menter l'éclat des anneaux d'une manière permanente^ il étendit sur la face antérieure de la lame une couche très-mince de lait additionné d'une grande quantité d'eau; par l'évaporation, il se dépose sur la lame des globules de caséine de grosseurs différentes, qui en ternissent la surface et lui font acquérir un pouvoir diffusif considérable.

Biot ^^) et M. Pouillet ^^K qui ont répété toutes les expériences de Newton sur les couleurs des lames épaisses et vérifié l'exactitude des lois qu'il avait assignées à ces phénomènes, ont constaté également l'influence du pouvoir diffusif de la première face en se servant de miroirs en verre. Lorsque la surface antérieure du miroir est bien polie, les aniïeaux sont à peine visibles; ils deviennent au contraire très-nets lorsque cette surface est simplement doucie, ou lorsqu'on la ternit, soit au moyen de l'haleine, soit en la couvrant d'une poussière fine, soit enfin en employant le procédé du duc de Ghaidnes; mais, quand on répand de la poussière sur la surface du miroir, il faut avoir soin que cette poussière ne soit pas formée, comme celle de lycopode par exemple, de grains réguliers et égaux, car, s'il en était ainsi , des phénomènes de diffraction viendraient masquer en partie ceux qu'on veut observer.

(*) Mém.deVanc. Acad. dênc, 1755, p. i36. ^*> Traité de Phyêique, t. IV, p. 1/19. '^) Afm, de chim. et de pAyf ., ( si ) 1 I « 87.

!23G LUMIÈTRE NON POLARISÉE.

Newton croyait qu'il fallait nécessairement se servir d'un miroir concave pour apercevoir les anneaux des plaques épaisses ; mais les expériences de Biot et de M. Pouillet ont montré que ces anneaux peuvent aussi se produire avec des miroirs convexes, et même avec des lames de verre à faces parallèles : il faut seulement s'arranger de façon que les rayons réfléchis régulièrement, dont l'intensité est bien supérieure à celle des rayons diffusés, ne se superposent pas à ceux-ci, ce qui ferait disparattre les anneaux.

Lorsque les rayons qui tombent sur le miroir sont divergents, comme cela avait lieu dans les expériences de Newton, si l'on substitue au miroir concave un miroir plan, les rayons réfléchis régulièrement deviennent divergents et vont rencontrer l'écran dans la région où devraient se former les anneaux : il n'y a donc rien d'étonnant à ce que , dans de telles circonstances, on n'observe pas d'anneaux. Mais on pourra obtenir des anneaux avec un miroir plan, à condition que les rayons incidents soient parallèles, ce qu'on réalisera facilement en faisant passer ces rayons à travers deux ouvertures égales et placées à une grande distance Tune de l'autre.

Les anneaux que donne un miroir plan sont toujours beaucoup moins brillants que ceux qu'on observe avec un miroir concave : lorsqu'on se sert d'un miroir plan, il faut en effet que le faisceau incident soit très-étroit, sans quoi le phénomène devient tout h fait confus, et on a par suite un éclairement beaucoup moins grand qu'avec le faisceau conique divergent dont un miroir concave permet l'emploi. Enfin, si le miroir est convexe, le faisceau incident doit être assez convergent pour que les rayons réfléchis régulièrement forment également un faisceau convergent.

6à. Théorie dea ««uleiuw des lames épalMiee. — Nous venons de voir en quoi l'explication donnée par Newton des couleurs des lames épaisses est défectueuse et quelles sont les raisons qui doivent faire chercher l'origine de ces couleurs dans la diffusion exercée par la première face de la lame. Young est le premier qui ait essayé de rendre compte des phénomènes présentés par les lames épaisses au moyen de la théorie des ondulations et de les déduire

du principe des interférences ^*^ ; mais il s*est coptentë d'un simple aperçu. J. Herschei ^^^ est entré plus avant dans l'explication des anneaux des plaques épaisses et a appliqué le calcul au cas de l'incidence normale : cette théorie a été complétée en plusieurs points et étendue au cas de l'incidence oblique par M. Stokes^^' et par M. Schâfli^^^; nous allons l'exposer en suivant la marche indiquée par ces derniers auteurs.

Considérons un faisceau de rayons tombant sur une lame transparente dont la première face est douée d'un pouvoir diffusif assez considérable» tandis que la seconde présente un poli suffisant pour ne pas diffuser sensiblement la lumière. Une première partie de la lumière incidente est réfléchie régulièrement par la face antérieure de la lame : l'expérience doit être disposée de façon que ces rayons réfléchis ne troublent pas le phénomène; nous n'avons donc pas ù nous en occuper. Une autre partie de la lumière incidente est diffusée par réflexion sur cette même face : nous la désignerons par R'; elle contribue à l'éclairement de la région de l'écran où l'on observe les anneaux colorés. Une troisième partie p des rayons incidents se réfracte régulièrement, et enfin une dernière partie p' est diffusera par réfraction. Les rayons p et p' rencontrent la face postérieure de la lame et y sont réfléchis régulièrement; ils viennent tomber alors sur la première face de la lame» où ils sont en partie diffusés et en partie réfractés régulièrement. Mais, une .double diffusion affaiblissant considérablement la lumière, on peut se borner à considérer ceux des rayons p' qui sont réfractés régulièrement à la première face : nous les désignerons par p". Parmi les rayons p, ceux qui en revenant à la première face sont diffusés par réfraction sur cette face ont une intensité comparable à celle des raypns p^ : nous les désignerons par çT. Il existe donc en définitive t^ois systèmes de rayons diffusés :

(» On the Theory of Light and Coloura (PAtï. 7r., i8oa, p. Ai. — MUcell. Worh, L I, p. i&o).

(*) Traité de la lumière (traduction de Verhulst et Quetelet), t. I, p. 6/io.

W Camhr. Tram,, IX, 1/17. — PkiL Mag., (4), II, ûig.

^*) GrwkfrCt Arekiven, XIII, 399. — Mittheihmgm der Nalur/oncher^GeielUchaft in Bem, i848,p. 177.

â38 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

i"" Les rayons R' diffusés par réflexion h la première face de la lame ;

9"* Les rayons p'' diffusés par réfraction à la première face, réfléchis régulièrement par la seconde et réfractés régulièrement en retombant sur la première;

3"* Les rayons p'^ réfractés régulièrement à la première face, réfléchis régulièrement par la seconde et enfin diffusés par réfraction en émergeant de la lame.

Les rayons R' ne peuvent interférer avec les autres, car la différence de marche entre ces rayons R' et les rayons p" ou p" est de Tordre du double de Tépaisseur de la lame ; nous n'avons donc à nous occuper que des rayons p" et p". Malgré cette première simplification , le phénomène semble encore devoir être très-complic[ué : chaque point de l'écran reçoit en effet une infinité de rayons diffusés appartenant aux systèmes p' et p"* ; car, si on prend sur Técran un point quelconque, on voit qu'à chaque rayon incident correspond un couple de rayons diffusés aboutissant en ce point et faisant partie, l'un du système p', l'autre du système p"'. Cette difficulté disparaît si l'on a égard à un principe posé par M. Stokes et qui consiste en ce que deux rayons diffusés ne peuvent interférer qu'à cmditian Savoir été diffusés au même point. La raison théorique de ce principe est facile à comprendre : deux rayons qui ont été diffusés en deux points différents présentent en effet une différence de phase qu'il est impossible d'assigner à l'avance et qui peut avoir une valeur complètement différente pour deux rayons diffusés en des points très-voisins de ceux où ont été diffusés les deux premiers ; de là doit résulter, comme nous l'avons déjà vu (28), un éclairement sensiblement uniforme et la disparition de tout phénomène d'interférence. 11 n'en est plus de même lorsque deux rayons ont été diffusés en un même point et qu'ils ont des directions peu différentes; ces rayons présentent alors une différence de phase qu'on peut calculer et qui a à peu près la même valeur pour des couples de rayons diffusés en des points très-voisins les uns des autres. Le principe de M. Stokes est du reste confirmé par plusieurs faits faciles à constater. Si, par exemple, on produit des franges d'interférence au moyen de deux fentes, comme le faisait Young, et qu'on vienne

à placer devant ces fentes une lame de verre dépoli, les franges disparaissent complètement. Une seconde expérience, qui prouve également qu'il ne peut y avoir interférence entre des rayons qui ont été diffusés en des points différents, consiste à faire tomber un faisceau lumineux sur une lame de verre à faces parallèles, dépolie sur ses deux faces , et à constater qu'il ne se produit aucun phénomène d'interférence sur un écran placé derrière cette lame, bien qu'il y ait sur cet écran rencontre entre les rayons diffusés à la première et à la seconde face. Si quelques physiciens, et entre autres M. Babinet ^^\ ont aperçu des anneaux colorés dans les conditions que nous venons d'indiquer, c'est que, pour donner aux deux faces delà lame un pouvoir diffusif considérable, ils les avaient recouvertes d'une poussière à grains réguliers et égaux, comme la poudre de lycopode, et qu'il se produisait alors des phénomènes de diffraction complètement distincts de ceux qui nous occupent en ce moment. Après avoir montré quels sont les rayons diffusés qui , en interférant, peuvent donner naû^sance aux anneaux des plaques épaisses,

nous allons aborder la théorie de ces anneaux en commençant par le cas le plus simple, celui d'une lame à faces planes et parallèles sur laquelle tombe normalement un faisceau de rayons incidents. Considérons en particulier un rayon incident SI et un point P de l'écran (fig. 56); parmi les rayons diffusés provenant de SI et qui aboutissent en P, il n'y en a, comme, nous venons de le voir, ^'K-^^- que deux qui peuvent inter-

férer : celui qui pénètre dans la lame en se réfractant régulièrement suivant IF, se réfléchit régulièrement suivant li et est diffusé par réfraction en 1 dans la direction IP, et celui qui est diffusé par réfraction en I dans la direction IR, réfléchi régulièrement en R sui-

iliO LUMIÈRE NON POLARISÉE.

vant RR', et réfracU' régulièrement en R' de façon à ëmerçer dans la direction R'P.

La différence des temps employés par ces deux rayons pour atteindre le point P est égale à

ip 2n;/RT am\

V et v' désignant les vitesses de propagation de la lumière dans l'air et dans la substance de la lame. Par suite, il y aura maximum ou minimum d'intensité en P suivant que la quantité

IP + 2nir-(R'P + 2nIR) sera égale à 9/:-ouà(9fc+i)-» n étant l'indice de réfraction de la lame par rapport à l'air, X la longueur d'ondulation dans l'air, k un nombre entier quelconque ; cette quantité peut être regardée comme la différence de marche des deux rayons rapportée à l'air : nous la désignerons par S.

Pour calculer cette différence de marche, posons

IV^e, SP==y, Sl^d

et appelons t l'angle formé par R'P avec la normale au miroir, r l'angle formé par RR' avec cette même normale; nous auron<i immédiatement

Pour trouver la valeur de R'P, prolongeons les droites R'P et HR' jusqu'à leur rencontre en E' et en E avec la droite SI ; il viendra alors

E'P=\/ y^+sF'=v/y'+(^+iE>'-

11 reste donc à chercher l'expression de lE' et celle de R'E'; on trouve facilement

R'E' = — = ^^ , sini ncosr'

lR' = (Il' + rE)tangr=9Hangr,

,«/ irtf . • taner aecosi

DlFFUSrON. 241

en substituant ces valeurs dans l'expression de <^, il vient

cosr

Celte expression se simplifie considérablement, car, les angles t et r étant Irès-petits lorsque le point P se trouve dans la région où Ton observe les anneaux, les termes d'un ordre supérieur à sin^t ou à sin^r sont négligeables; on a donc, avec un degré suflisant d'approximation,

= (i — sin^r) '= iH — sin^r,

cosr \ / 2

2PC0SI ie f • o'.;/ • 0 \~? 2e / 1 . „ 1 ■ o A

n cosr nV 'V / nVa a /^

('{, on remarquant que la quantité ^ est le carré de la tangente de

l'angle PIS qui diffère peu de l'angle i, que, par conséquent, celle quantité est de l'ordre de sin^i, et que, de plus, y est très-pelit |)ar rapport à d,

Y \ '* cosr/ n cosr /, aecos/N

\ « cosr/

La valeur de S devient, en y introduisant ces simplifications.

\ n cosr/

cos i

En remplaçant dans le dernier terme ^^ par l'unité, on ne supprime que des ternies qui sont de l'ordre du produit de y^ par sin^i' ou parsin^f, c'est-à-dire des termes négligeables, lorsqu'on se contente du degré d'approximation que nous avons adopté : il vient alors

Les deux rayons interférenls subissant chacun une seule réflexion

Vhrdet, V. — Optique, I. i (>

Mi LUMIÈRE NON POLARISÉE.

sur la seconde face de la lame, les conditions d'interférence ne dépendent que de la différence de marche, et il y aura maximum

ou minimum d'intensité en P suivant que S sera égal à îïA -ou à (ai + t)-, c'est-à-dire suivant qu'on aura

aAXfirf

{'xh-h\)Xnd((l'^~]

On voit par là que Tintonsilé est la même en tous les points pour lesquels y a la même valeur, c'est-à-dire on tous les points également éloignés du point S où le rayon incident rencontre le plan do l'écran; les anneaux ont donc la forme circulaire, et leur cenin» est le point S. Les formules précédentes montrent encore que les carrés des diamètres des anneaux sont entre eux comme la suite des nombres pairs pour les anneaux brillants, comme la suite des nombres impairs pour les anneaux obscurs. Si l'épaisseur e du miroir est négligeable vis-à-vis de la distance d de l'écran au miroir, comme cela a lieu dans les conditions oii se fait ordinairement l'expérience, il résulte de la valeur trouvée pour y^ que les diamètres des anneaux sont proportionnels à la distance d et en raison inverse de la racine carrée de l'épaisseur du miroir, que de j)lus ;/ augmente avec Tindice de réfraction n et aussi avec la longueur d'ondulation A. Les lois expérimentales de Newton sont donc toutes confirmées par la théorie.

Nous avons supposé dans ce qui précède les rayons incidents parallèles, et nous n'avons considéré qu'un rayon unique; mais en réalité chacun des rayons qui composent le faisceau incident donne naissance à un système d'anneaux ayant pour centre le point où ce rayon rencontre l'écran. Pour que ces systèmes d'anneaux se superposent sensiblement et que le phénomène ait quelque netteté, il fjuil donc que le faisceau incident soit très-étroit, ce qui montre combien est désavantageux l'emploi d'un miroir plan pour la producti<Mi

niFFCSIOR. 243

(|(\s iiniipaux (les plaques épaisses. Avec un miroir sphérique coaciwo \p même inronvénient n'est pas à craindre : dans ce cas, en cffol, les rayons peuvent être divergents, ce qui permet de conserver au faisceau incident une intensité assez considérable, bien que Touverture qui limite ce faisceau ait de très-petites dimensions et (jue, par conséquent, les centres des différents systèmes d'anneaux correspondant aux rayons qui forment ce faisceau soient très-voisins los uns des autres.

Nous allons maintenant passer au cas de l'incidence oblique : pour plus de simplicité dans les calculs, nous supposerons le miroir

plan et à faces parallèles, et l'écran parallèle au miroir; nous admettrons de plus que les rayons incidents sont parallèles. Considérons en particulier un rayon incident SI (fig. 57) : ce rayon, après s'être réfracté régulièrement en I et réfléchi régulièrement en R sur la seconde face de la lame, vient rencontrer de nouveau la première face en V. Prenons sur l'écran un ^'^S' 57. point P qui ne soit pas trop

«'loigné du point H, où la normale TH menée au miroir par le point r rencontre l'écran : parmi les rayons provenant de Rl'et diffusés au point I' par réfraction , il y en aura un qui ira passer par le point P. En ce même point arrive un autre rayon IT provenant (lu rayon incident ST, qui s'est diffusé par réfraction en V suivant l'O, réfléchi régulièrement en Q suivant QF et réfracté régulièrement suivant FP. Les deux rayons IT et TP ayant été diffusés au même point !' sont susceptibles d'interférer. Si du point I on abaisse une perpendiculaire IK sur ST, on voit que la différence de marche de ces deux rayons rapportée à l'air, diflerence que nous désignercms par S, est égale à

244 LUMIÈRE- NON POLARISÉE.

Pour calculer cette différence de marche, posons

rH=é/, HP=y;

appelons e l'épaisseur de la lame, i et r les angles que font avec la normale au miroir les rayons SI et IR, i' et r' les angles que font avec cette même normale les rayons I"P et VQ. Il vient immédiatement

V ^ cosr ^ cosr

rK=irsinî = 9e tangrsinf.

Par un calcul tout h fait identique à celui que nous avons Fait pour le cas de l'incidence normale, on obtient

Y" \ n cosr/ Il

cosr En substituant ces valeurs dans l'expression de S, elle devient

r 1 • • , 2/1^ , rZ T] 2é?C0SI \* 20

j^fîetangrsmi-f -, + k / «^-f- ( r/n y ] -,

" cosr Y ^ " ^^^^ / ncmr

2 ne

cos

et, (în négligeant les termes dont la petitesse est d'un ordre supérieur à celle du carré des sinus des angles i, t\ r et r , ce qui <'sl permis puisque ces angles sont très-petits,

^=-sin2î+ ^

Il y aura maximum ou minimum en P suivant que J sera égal à ini nondjre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation, cVsl-à-diiv suivant qu'on aura

= aA:--}--sm^

ou

= (qA'+ i)- + -sin''^i.