cos air >- cos qtt — v

ha-hd) sin S ( 3a -♦- ad) sin S — cos 9w r cos air

cos 3ir ^'> Die BeugungêerMcheinungenfUaukwi^ i833*

Y [yjfl-4-(yt— •i)f/]sin<y]*f

DIFFRACTION. 279

La réduction des tenues contenus dans ies crochets se fait à l'aide des formules qui donnent la somme d'une série de sinus ou de cosinus dont les arcs sont en progression ariilimétique; ces formules sont

sina-f sin (a + j8) + sin (a+ a^S) + . . • + sin [a + (« - i) /3]

sm -p sm I a -+- -'/S i

sin^

cosa 4- cos(a + ^) + cos ( a+ a/S) + . . . -f f o.s [a + ( w - i ) /S]

. «fi I ("--0/Q sm -^ cos a -*- î^ P

-rj

sm-

On y arrive aisément en remplaçant les sinus et les cosinus par des exponentielles imaginaires; on obtient ainsi des progressions géométriques dont on effectue la sommation, puis on revient aux lignes trigonométriques.

En faisant usage de ces formules, il vient

. « /*(a-+-rf)sinJ

^w'sin*^ • 2 (a 4- d) sin 5 sm-'w i ^

v.if- [2a4-(/i-i)(a-+-rf)] sinJ . (n — i) (rt+.d)sin^'V X J sm TT ' ^ ^ smw j^ — J

, r (m — i)(û + d)sin^ [3a-f(/i — i)^aH-f/)]sin ^V)

-r COSTT -^ ^ COSTT ^^ -r |

sin^ MTT

(a-hrf)»in^

3 COS ÎITT

4w*sin'J . o (fl-»-c/)sin^ sm is r

. « (a-h(/)sin S

., sm^rtw {— . .

A A. . ^ a sm S

SJIi TT ^

280 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

(l'uii enfiii, en uiultipliant et divisant par a^,

. „ flsin^ . ., (a-f r/)sin<^ sin-Tr— T — sin-WTT {

L'intensité est donc représentée par le produit de trois facteurs dont le premier est constant; le second facteur, que, pour abréger, nous

désignerons par P, est de la forme — i- ; nous en avons déjà étudié

les variations en traitant du cas d'une fente unique; ([uant au troisième facteur, il prend, en posant

la forme— J-TT-; nous le désignerons par Q.

Pour trouver les valeurs de z qui rendent Q maximum ou minimum, égalons à zéro la dérivée de Q par rapport à 2, ce qui

donne

sin nz(n sin z cos m — cos z sin nz)

équation qui se décompose en deux autres,

/ \ sin nz

^ ^ sm2

n sin z cos nz — cos z sni nz

Les racines de l'équatiou (1) sont données par la formule

k étant un nombre entier qui ne soit pas un multiple de n : si eu effet k était divisible par n, la quantité —^ prendrait la forme -^

et, en cherchant les dérivées du numérateur et du dénominateur, on voit facilement que la véritable valeur de cette quantité serait alors égale à w. Les racines de l'équation (1) annulent le facteur Q

DIFFRACTION. 281

et (ioniient par suite à ce facteur des valeurs iiiininia ; ces racines correspondent à des déviations représentées par la fonnulc

Sind— jy

où k est un nombre entier non divisible par n : sur toutes les direclions dont les déviations satisfont à cette relation, le facteur Q est nul, et par suite il en est de même de l'intensité lumineuse.

Les valeurs maxima du facteur Q correspondent aux racines dç IVquation (îi). (|ui, puisque le dénominateur du premier membre ne peut jamais être nul , se réduit à

(•)) langw2 = ntang^.

fies valeurs de z que détermine cette dernière équalion se divisent en deux groupes : les unes, qui sont données par la formule

wi étant un nombre entier quelconque, annulent à la fois tang/f^et lang : ; les autres n'annulent aucune de ces deux quantités. Les racines du |)reraier groupe correspondent à des déviations représentées par la formule

elles font prendre au facteur Q la forme-- Mais, en remarquant (|ue ce facteur est égal à ^^'"^^ j , on voit que sa véritable valeur

s'obtiendra, toutes les fois que sin nz et sinz sont nuls simultanément, en cherchant la valeur de l'expression f ~r~r~") 5 donc, lorsque

z est égal à mn, le facteur Q est toujours égal à w^. Les maxima du facteur Q qui correspondent aux racines du premier groupe sont par suite tous égaux à n^, et ces maxima sont équidistants : nous les appellerons maxima principauœ.

Considérons maintenant les racines de l'équation (â) appartenant au second groupe, et cherchons d'abord celles qui sont comprises entre les deux racines zéro et ir qui font partie du premier groupe.

Quand z croît de zéro à — i iangnz croît de zéro à+ ex? en conser-

28i> LUMIKKK NON POLAHISEK.

vani toujours une valeur supérieure h celle de wlang^; il n'y a donc

pas (le r«lcine dans cet intervalle. Mais, pendant (pie z varie de

à --, i'dii^r fiz croît de — oc à + 00 et «tangz croît aussi dW

manière continue : il y a donc une racine dans cet intervalle, el. en Irarant les courbes qui représentent la marche des fonctions

Fig. 63.

uIquq: el iaiiguz, il est facile de s'assurer qu'il ne peut y en avoir qu'une seule. La ligure 63 a été construite en supposant n égala 5,

Fig. 64.

et la ligure 6/1 en supposant n égal à 6; les abscisses représentent les valeurs de c. les coordonnées les, valeurs cori*cs[iondàntes de5

DIFFHACTION. 283

deux fonctioiii» n langz et tangnz. En se bornant à faire varier z de zéro à ir, ou obtient deux courbes : la première , formée de deux branches infinies OM et MT, indique la marche de la fonction Htangz; la seconde, formée d'une série de branches 0^1 , 1N^\*,... au nombre de n + 1 , correspond à la fonction tangitz. Les points d'inlersection de ces deux courbes ont des abscisses égales aux racines de Féquation (a). On voit ainsi quil y a une racine, et une seule,

dans l'intervalle compris entre — et — » et {jénéralement dans l'in-

lervalle compris entre (îî/7 — Oï^^'U*^i^+ O^ii'/' ^^'^^^ "" nombre entier tel que ap + i soit plus petit que w. On serait porté « croire d'après cela qu'il y a /< -- i racines du second groupe entre zéro cl ir; mais riiis|)ection des ligures 63 et 6^4 montre qu'il n'y en a que n— tjt : cela tient à ce que, si n est pair, il n'y a pas de racine

comprise entre- — ^ et ^+ j^' tandis que, si n est impair, les

deux racines comprises entre et - H se confondent et

r a 3« a aw

sont toutes deux égales à - •

L'équation (?î) a donc « — a racines entre xéro et tt : nous re^ r;îsenterons ces racines par Zj, Zj» -s»--» ^«2* ^^ augmentant l'une d'entre elles de ^tt, ^ étant un nombre entier quelconque, on aura encore une racine de l'équation, d'oii il résulte qu'entre qir et (y+i)7r il existe encore w — a racines égales respectivement à Zj-f-yw, Z2 + 9^> ^3 + 9^,..., z,2 + î^- ^^^^ appellerons ktfjriVmi secondaires les valeurs du facteur Q qui correspondent aux racines de l'équation (a) appartenant au second groupe; il est facile de voir que ces maxima secondaires sont tous beaucoup plus petits <|ue les maxima principaux. Pour le démontrer, mettons l'équation (a) sous la forme

1 — sin* z 1 — sin*n^ ' on en tirera

sin*2 i-*-(n' — i)sin*z ' donc, pour toutes les valeurs de z qui vérifient l'équation (a), on a

^ i+(w'-i)5in'z*

284 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Il résulte de là que les valeurs de Q ([ui correspondent aux racines de réquation (-j) pour lesquelles sin'^;r ne s'annule pas, c'est-à-dire aux racines du second groupe, sont toutes beaucoup plus petites que u- si n a une valeur un peu considérable. On voit encore que les niaxima secondaire? du facteur Q compris entre deux maxima principaux vont en décroissant d'autant plus rapidement que n est plus {jrand, depuis le premier maximum principal jusqu'au milieu de l'intervalle qui sépare les deux maxima principaux, puis en croissant depuis ce milieu jusqu'au second maximum principal; ces

maxima secondaires ne sont pas équidistants , mais ils sont disposés symétriquement par rapport au milieu de l'intervalle entre les deux maxima principaux , et ceux qui sont également éloignés de ce milieu ont *''if-^^ des valeurs égales. On

conq)rendra du reste facilement la marche de la fonction Q à l'aide de la figure 65; la courbe tracée sur celte figure représente les variations de Q quand z croit de zéro à Stt, n étant supposé égal à 6. En résumé, le facteur 0 présente :

i" Des minima tous nuls et équidistants correspondant aux dévialions représentées par la formule

sm d = — z — —,7 1

où k est un nombre entier non divisible par n:

»j° Des maxima principaux, tous équidistants cl égaux à ;r, correspondant aux déviations représentées par la formule

• t mX smd= ,,

où m est un nombre entier. quelconque;

3° Des maxima secondaires au nombre de n — a entre deux maxima principaux consécutifs, inégaux, non équidistants et tous

DIFFRACTION. :285

beaucoup plus pelils que les maxima principauv dès que le nombre (les ouvertures est tant soit peu considérable.

On peut conclure de ce qui pn?cède que. si l'intensité ne dépondait que du facteur Q, on verrait une série de bandes brillantes correspondant aux niaxima principaux ; ces bandes auraient toutes lomèrne éclat, et leurs déviations seraient entre elles comme la suite ries nombres entiers : ces déviations étant indépendantes de w, les |)osi(ions occupées par les bandes brillantes ne changeraient pas avec le nombre des ouvertures. Les espaces compris entre ces bandes brillantes seraient sillonnés de raies beaucoup moins brillantes que les bandes et correspondant aux maxima secondaires: ces raies seraient très-resserrées lorscpit* le nombre des ouvertures serait considérable, et par suite les espaces intermédiaires entre les bandes brillantes présenteraient alors à l'œil une teinte foncée unifr)rme.

Vax réalité, les variations de Tintensité lumineuse dépendent non- M»ulcment du facteur Q, mais encore du facteur P. Lorsque l'intervalle opaque d a une largeur considérable par rapport à celle (le l'intervalle transparent a, comme cela a lieu dans les conditions ordinaires de l'expérience., P varie beaucoup plus lentement que Q. Les déviations pour lesquelles P a une valeur minimum sont en effet données par la formule

sin ô^-- — -• a

tandis que les maxima principaux de Q correspondent à des dévialions représentées par la formule

sm <y- r— >•

Si a est petit par rapport à d, le facteur Q passera donc par un [j[rand nombre de maxima principaux avant que le facteur P ne passe par son premier minimum, et les maxima les plus apparents do l'intensité lumineuse se manifesteront sur les directions qui correspondent aux maxima principaux du facteur Q.

dépendant l'influence du facteur P se fait sentir par deux esjMVes (l-efTels : . .

:à86 LUMIERE i\()N POLARISEE.

j^de l'acteur décroissant très-rapidement, les inaxinia de Tintensité lumineuse, bien que coïncidant avec les maxima principaux du facteur Q, s'affaiblissent de plus en plus à niesui*e qu*on s'éloigne de la bande centrale.

^'^ Les minima du facteur P étant nuls, toutes les fois (|uun maximum principal de Q coïncide avec un minimum de P, Tintensilé est nulle au lieu de passer par un maximum. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que Ton ait

mX m'X

I» ^ ou

par conséquent, si le rapport -.qui existe entre la largeur d'un intervalle transparent el celle d'un intervalle opaque peut s'exprimer par une fraction dont les deux termes soient des nombres entiers, la bande brillante dont le rang serait égal à la somme des deux termes de cette fraction fera défaut.

Il est facile maintenant de se rendre compte de l'aspect que présentent les phénomènes dans la lumière blanche; il existe alors trois ordres de spectres : les spectres de première classe, qui proviennent de la variation du facteur P; les spectres de seconde classe, qui correspondent aux maxima principaux du fîicteur Q, et les spectres de troisième classe, qui correspondent aux maxima secondaires de ce môme facteur et qui sont compris entro les spectres de seconde classe. Mais, lorsque le nombre des ouvertures est considi^ rable, les spectres de troisième classe sont tellement resserrés qiril est impossible de les distinguer, et les spectres de première classe ne manifestent leur existence que par l'affaiblissement graduel des spectres de seconde classe, el, lorsque le rapport -, de la lai^jeurde rinlérvalle transparent h celle de l'intervalle opaque est égala '. h et k étant des nombres entiers, par la disparition complète il»

DIKFIIACTION. 287

sjieetre de seconde classe de rîuî({ // + /;. IiOrs(|ue le nombre des ouvertures au{(mente, les sjieclres de seconde classe fendent donc à prédominer entièrement el à devenir seuls visibles; en m^me lemps, ces spectres s'épurent de plus en plus, el on finit par y dislingiier les mies de Frauenhofer. Le phénomène présente alors l'aspect suivant : au centre, une bande blanche brillante; de chaque? coté de cette bande, un espace obscur assez large, puis une série de spectres tournant leur extrémité vioielte vers la bande centrale et s'affaiblissant rapidement ; ces s|)ectres sont de plus en plus étalés il mesure (pron s'éloigne delà bande centrale, et en même temps les espaces obscurs qui séparent deux spectres consécutifs se resserrent de plus en plus.

Supposons le nombre des ouvertures assez grand pour que les .spectres de s<»conde classe soient seuls visibles : les déviations d'une même couleur ou d'une même raie dans les difiérents spectres seront alors données par la relation

011, si l'angle S est Irès-pelit,

\ étant la longueur d'ondulation de cette couleur- ou de cette raie, et m le rang du spectre. On peut tirer de cette formule les con- M»quences suivantes :

i" Les déviations d'une même couleur dans les différents spectres sont entre, elles comme la suite des nombres entiers.

•?• Ces déviations ne dépendent pas du nombre des ouvertures qui constituent le réseau.

3® Les longueurs des spectres successifs ou les distances entre deux de leurs raies de même nom sont en^re elles comme la suite lies nombres entiers.

V Les positions des sj^ectres ne dépendent que de la sonmie^i+</ des largeurs de l'intervalle opaque et de l'intervalle transparent, somme qui constitue ce qu'on appelle un MntenI du réseau; si le

rapport -1 vient à changer, la somme n + d restant constante, les

i)88 LLMIKHE NOI\ POLARISÉE.

s|)(M'trps conservent leurs positions, mais leur éclat augmente ;i mesure que a devient plus grand par rappori à d.

(les lois sont précisément celles rpie Frauenhofer a établies, par (U» nombreuses ex|)ériences.

Il résulte encore de ce qui précède que, lorsque le nombre des fentes égales et équidistantes qui forment Touvertune diffringenle est supérieur à deux , il existe toujours trois ordres de spectres et jamais davantage. Lorsque le nombre des fentes est peu considérable, on peut, en opérant avec une lumière intense, distinguer le> spectres de troisième classe compris entre ceux de seconde classe, surtout dans le voisinage de la bande centrale : ces spectres, qui avaient échappé à Frauenhofer à cause de leur peu d'éclat, ont été aperçus pour la première fois par Schwerd, et c'est même cette observation qui a été le [)oint de départ des travaux de ce dernier physicien sur la diffraction. A mesure que le nombre des fentes augmente, les spectres de troisième classe se resserrent de plus en plus et deviennent de plus en plus difficiles à distinguer, tandis que les spectres de seconde classe, tout en s'épurant, conservent les mêmes positions.

Nous terminerons l'étude théorique des réseaux en disant quelques mots des modifications (pie subissent les phénomènes lorsque Ich rayons incidents, au lieu de tomber normalement sur le réseau,

comme nous l'avons supposi* jusqu'ici , rencontrent le réseau sous une incidence oblique.

Soit AB (fig. 66) la section du réseau par un plan perpendiculaire à ce réseau et passant par la direction des rayons incidents; désignons pari fangh' d'incidence et par S l'angle que fait avec la direction des rayons incidents celle suivant laquelle '^' * on veut estimer l'intensité lu-

mineuse. Prenons un point M sur Tune des ouvertures du réseau H représentons par x la distance AM: soit P un point situé ai unr

81 n on

DII^PRAGTION. 289

très-grande distance sur la direction considéri^e; abaissons du point A deux perpendiculaires AQ et AR sur les parallèles menées par le point M à la direction des rayons incidents et à la direction AP. Si la vitesse envoyée en P par l'élément correspondant au point A est représentée par

celle qu'envoie en P l'élément correspondant au point M sera

// MQ+MRN ,^ 3^^ __jr/.r

r^ .Tsini4-a?sin(^--î*)"| j sinsiTT q-, j^ — ^ dx.

Les calculs qu il faudra effectuer pour déterminer la valeur de rintensité lumineuse en P seront identiques à ceux que nous avons développés pour le cas de l'incidence normale, mais sinisera remplacé par sint+ sin(^— t). Lorsque les angles t et S sont petits, cette dernière expression se réduit sensiblement à % + S—t, c'est-àdire à S. Les lois du phénomène , lorsque l'angle d'incidence est petit, sont donc les mêmes que dans le cas de l'incidence normale, pourvu qu'on convienne de compter la déviation non pas à partir de la normale au réseau, mais à partir de la direction des rayons incidents. Il n'est pas nécessaire que la déviation soit très-petite, car, tant que l'angle d'incidence a une valeur peu considérable, on a sensiblement, quel que soit ^,

sin 1 -f- sin {^— - 1) = sin S.

Les déviations, d'après le procédé qu'on emploie pour les mesurer, sont toujours rapportées h la direction des rayons incidents : on peut donc conclure de ce qui précède que ces déviations, toutes les fois que l'angle d'incidence est petit, sont soumises aux raémes lois que dans le cas de l'incidence normale; par suite, lorsqu'on fait servir les réseaux à la détermination des longueurs d'ondulation^ il n'est pas indispensable que les rayons incidents soient rigoureusement normaux au plan du réseau.

VeiDET, V. — Optique, î. ^ i q

i90 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

73. Détermiiuitlaii dM Unsueurii iTeiidiilAttoM mi wnmj^n dea réfiMMix. — La formule

. •» mX a -+-r/

qui représente les déviations d'une même couleur ou d'une niéme raie dans les spectres successifs , permet de déterminer la longueur d'ondulation X lorsqu'on connaît la déviation ^etla quantité a+d qui est la somme des largeurs d'un Jntervalle opaque et d'un intervalle transparent. La mesure des longueurs d'ondulation se fait avec beaucoup plus de |)récision au moyen des réseaux qu'à l'aide des phénomènes d'interférence ; car, lorsque le réseau est formé d'ouvertures suffisamment nombreuses et suffisamment rapprochées, les spectres deviennent assez purs pour laisser distinguer les raies, et les mesures peuvent être rapportées à ces raies, ce qui est impossible quand on se sert des franges d'interférence; dans ce dernier cas, la lumière qu'on emploie n'est jamais complètement homogène, et les résultats obtenus correspondent à des régions du spectre qu il est impossible de définir exactement.

Frauenhofer, après avoir reconnu les lois des phénomènes des réseaux, les a appliquées h la détermination des longueurs d'ondulation. Les réseaux qu'il employait dans ses premières expériences avaient élé construits en enroulant un grand nombre de fois un til métallique très-fin sur deux vis de même pas disposées parallèlenienh il obtint ensuite des réseaux plus parfaits, soit en collant sur une plaque de verre une feuille d'or et en enlevant le métal sur des lignes parallèles et équidistantes, soit en traçant sur une lame de verre, au moyen d'une pointe de diamant mise en mouvement par une machine à diviser, des traits sensiblement opaques, égaux et équidistanls : ce dernier procédé est le plus usité aujourd'hui, et d'habiles constructeurs, parmi lesquels il faut citer M. Nobert de Barth, réussissent à tracer plus de mille divisions dans un millimètre.

La largeur d'un élément du réseau, c'est-à-dire la quantité a 4- </. est égale, lorsque le réseau est formé d'un fil tendu entre deux vis, au |)as de ces vis: quand le réseau se compose de traits opaques tracés sur une lame de verre, il faut, pour obtenir la largeur d'un

hlFKR ACTION.

*2yi

l'Ieinenl, mesurer la dislance des deiiv traits extrêmes et compter le nombre des traits.

La mi^lhode employée |)ar Frauenholer pour mesurer les di^vialions consistait à fiver le réseau au centre iYim cercle gradué, sur la rirconTérence duquel pouvait se mouvoir une lunette; il visait avec cône lunette la même raie dans deux spectres de même rang placés il droite et à gauche de la bande centrale, et Tangle des deux positions de la lunette lui donnait alors le double de la déviation de celte raie.

Deux séries d'expériences ont été exécutées par Frauenhofer pour mesurer les longueurs d'ondulation des principales raies du spectre solaire. Les nombres obtenus dans la première de ces séries sont ronsignés dans le mémoire publié en \S*>.^ dans les Asironottimlie .ibhmiiUuiigen de Schumacher, et où Frauenliofer s'est surtout attaché a déterminer les lois expérimentales des phénomènes des réseaux: '•e sont ces nombres ipi'on rite ordinairement en France et mi^me «Ml Vlleniagne dans les traités de physique. Quelques années après la [mblication de son premier mémoire, Frauenhofer présenta à l'Académie de Munich ^'' un travail spécialement entrepris dans le l)ul de déterminer les longueurs d'ondulation et dont les résultats méritent par conséquent plus de confiance que ceux de ses premières expériences. Les nombres trouvés par Frauenhofer dans ces deux séries d'expériences sont reproduits dans le tableau suivant.

DÉTERMINATION DKS KONIil F.DRS DO^DM.^TION PAR FR\UK\HOFKR.

IIAIKS.

' LONC.IEIRS D'ONDliLATIOX |

tS IHt-MiLUO^lBMS» DB MlLLIllÎTIC. Il

1 i" série.

»• «sHe.

T^^GT}

'iHôfi

; 3()fi3

<>î DenkMchrifien dfr Mimchim' Akadmit. t. VllI. — GUberfs Àtmahn. FAXIV, 337.

29â LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Frauenhofer n'a jamais pu distinguer la raie A dans les spectres des réseaux; dans la seconde série, la longueur d'ondulation delà raie B n'a pas été mesurée.

^f . Mascart a entrepris récemment des recherches destinées à contrôler et à compléter les résultats obtenus par Frauenhofer ^^l II s'est servi d'un goniomètre de Babinet construit par M. Brunner et avec lequel les angles pouvaient être évalués h 5 secondes près. Le réseau était fixé sur la plate-forme centrale du goniomètre; la circonférence du cercle gradué portait un collimateur destiné à rendre parallèles les rayons incidents et une lunette servant à mesurer les déviations. M. Mascart a remarqué que les spectres fournis par les réseaux présentent un minimum de déviation comme les spectres prismatiques , et a utilisé cette propriété pour la mesure des Ion* gueurs d'ondulation. Voici comment on peut rendre compte de l'existence de ce minimum de déviation : la déviation qui correspond au W'*"* spectre est donnée, d'après ce que nous avons vu, parla formule

smt+sin(^-t) = j;^, î désignant l'angle d'incidence; on tire de là

^ sin - (

X = -—-— ' sin I cos f î j ;

lu déviation sera donc minimum lorsqu'on aura

c'est-à-dire lorsque le plan du réseau sera bissecteur de l'angle que forme le rayon incident avec le rayon diffracté. Si l'on place le réseau dans la direction qui correspond au minimum de déviation, la longueur d'ondulation sera donnée par la formule

X = -^ sm - •

Il y a tout avantage à observer dans la position du minimum de déviation : la netteté des raies se trouve alors considérablement aug- 0) Ami. de VÉcole lim/i., l. I et IV. -^ C. fl., LVI , 1 38 ; LVIN , 1 1 1 1 .

DIFFIUCTION.

iiientée, et l'on n'est pas astreint à placer le réseau noruialenienl aux rayons incidents.

Les résultats auxquels M. Mascarl est parvenu en employant plusieurs réseaux différents sont réunis clans le tableau suivant, ou les longueurs d'ondulation sont exprimées en cent-millionièmes de millimètre.

DETERMINATION DES LONGUEURS o'oNDULATION PAR M. MASCART.

JlAiES.

■B8BAlIll''l.

Bé8BAtl«''9.

RiSBAUN''3.

RÉ8BAUh''4.