V . 2 Ucos^sinft

aw'cos^^sm'^ a

LVxpression de Tintensité prend par suite la forme / Àl\ faw . nros(psin« d(t

/ . HcoH^.sin6' / ,__ sm*>w — ~?

f'R-^ ^---.to

\ ./o •.iirl'icosa.siiiÔ ^

. ., l\cos(9sin6 \ 2

:m LUMIÈRE NON POLARISÉE.

Kn |)osant

7rRsin0

il vient délinitivoment

Ijo amros(p ^^ ajo '^ m«cos*(p ^r j

Aucune des deux intégrales qui figurent dans le second membre de cette dernière équation ne peut être évaluée en termes finis; mais l'intégration peut s'effectuer au moyen du développement en séries. On a en effet

sinrc ^ x'* . x'' X* ,

et ces séries sont convergentes pour toutes les valeurs de x inf(^rieures à Tùnité.

En développant les quantités ^-^^7-?^- et '""J'^q^^^ en séries d'après cei> formules, il vient

(jo L 1.2.3 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6.7 J ^

2 2'(mcos^)* 2*(mcos^)*

a'(mcos^)' 1 . |i

1. « .1» r^'' ^j>. i.3.5...(an-i (i ou , en remarquant que I on a 1 ros" ^a<p = — 7-^^

a^m' 1.3.5 NI

i.2.3.'4.5.6.7.8* 2.4.6"^* * yj

l)lFFR4(:tI()\. 30à

e( oniin

w* . nt^ w" m* 12

La sme contenue enlro crocliels lUanl l'ormcM; de tenues alternaliveinenl positifs et négatifs, pour d«*niontrer (ju'elle devient cou- \or{jente à partir d'un certain terme, il suffit de faire voir que les ternies suivants vont en décroissant d'une manière continue. Or les tonnes de rangs n et w 4- 1 ont respectivenient pour expression

Il .i..'^...;«— 1^1*1*

el

IfMir rapport esl donc égal à . — :» quantité (|ui devient inférieure

à Tunité dès qu'on an^ + ii^w^; d'où Ton peut conclure que la M'rie, quelle que soit la valeur de m, devient convergente à parlir (l'un certain terme dont on peut calculer le rang à l'aide de la condition que nous venons de trouver.

En calculant la valeur de la série pour diîs valeurs croissantes (le m, on trouve qu'elle change plusieurs fois de signe, d'où il résulte (pie l'intensité luuiineuse jirésente des maxima el des minima alternatifs, et que ces derniers sont nuls. Les formules ordinaires d'inlerpolalion permettent de déterminer exactement les valeurs de m qui donnent les maxima et les minima d'intensité; les déviations correspondantes s'obtiennent à l'aide de la relation

tr I\ sin 6 m =

d'où l'on tire

On peut remarquer que le sinus de la déviation pour laqufdle on observe un maximum ou un minimum d'un ordre déterminé, el par suite la déviation elle-même si elle est petite, esl en raison inverse du rayon de l'ouverture.

Le tableau suivant contient les valeurs de — qui correspondent

aux premiers maxima et aux premiers minima, ainsi que les valeurs

Yerdct, V. — Opliqiio, î. 90

iù6

LUMIÈRE NON POLARISÉE.

maxima de l'intensité; ces dernières ont été calculées en prenant pour unité la valeur de l'intensité sur la direction normale à l'ouverture.

IISTEXSITK.

Premier maximum

o 0,610 0,819 i.ti6 1,333 ^619 yMi

0,00/jl.^

0,00 iG5

Premior minimum

DouxièiiiP maximum

Deuxième minimum

Troisième maximum

Troisième minimum

Quali'ième maximum

Quatrième minimum

Cinquième maximum

Cinquième minimum

On voit par l'inspection des nombres contenus dans ce tableau que la différence entre les valeurs de m qui correspondent à deux minima

consécutifs tend à devenir constante et égale à -, et que les maxima

de L'intensité décroissent très-rapidement.

Antérieurement aux travaux de M. Knochenbauer, Schwerd avait déjà obtenu les résultats numériques que nous venons de faire connaître ^'^ mais la méthode de calcul qu'il employait était trèspénible. Il remplaçait le cercle par un polygone régulier de 36o {'oU*> et, en abaissant des sonunets des perpendiculaires sur un diamètre passant par deux sommets opposés, il divisait ce polygone en trapèzes; il cherchait ensuite la vitesse envoyée par chacun de cts trapèzes et arrivait, en combinant ces vitesses suivant les règles ordinaires, à déterminer l'effet total produit |)ar l'ouverture.

L'aspect que présentent les phénomènes sur nn écran trèséloigné de l'ouverture circulaire ou au foyer d'une lunette peut être prévu d'après la théorie précédente. Dans la lumière homogène on observera au centre du phénomène une tache circulaire brillante

^'' Dif RfMfjUHfififefiirlwwmigm, p. 67.

DIFFRACTION. ao7

entourée crun anneau obscur, puis une s^rie d'anneaux circulaires alternalivement brillnnls et obscurs; l'éclat de ces anneaux s'affaiblira (rès-rapidement h partir du centre, et, si la source lumineuse est peu intense, il pourra arriver que la tache centrale soit seule visible : It^ diamètre de cette tache centrale sera d'ailleurs, suivant une remarque que nous avons faite plus haut, en raison inverse du diaiiièlre de l'ouverture. Dans la lumière blanche on aura encore une tache centrale blanche et brillante, entourée d'un anneau noir, mais les anneaux suivants seront colorés : l'éclat de ces anneaux décroîtra très-rapidement, et on ne pourra en distinguer un certain nombre que si la source lumineuse a une intensité considérable.

Frauenhofer et Schwerd ont observé les phénomènes de diffraction produits par une ouverture circulaire : ils ont mesuré les déviations des anneaux, et les résultats qu'ils ont obtenus, le premier (Ml opérant avec la lumière blanche, le second en se servant d'une lumière rouge sensiblement homogène, viennent confirmer la théorie de In manière la plus éclatante.

7K. AyyllMitioM de to théorie de» phénoBièMe» yvodiiita par uMe ••averture elreiiflaire m la tmwtmmâimm des tauices ëaM» htm kwm$ruwnemtm d'optique* — Le travail des miroirs em- ]do\és dans les télescopes est aujourd'hui si parfait, les verres des hmettes et des microscopes sont si heureusement combinés, que les aberrations qui résultent des lois de l'optique géométrique peuvent rMre presque entièrement évitées. Il semble donc que les rayons ])artis d'un point lumineux doivent, dans ces instruments, conver^ |[er rigoureusement en un même point ; cependant il n'en est rien , i*ar dans les meilleurs télescopes l'image d'une étoile conserve un diamètre apparent sensililc. La théorie que nous venons d'exposer fournit l'explication de cette anomalie apparente : le faisceau incident étant limité par un diaphragme dont Fmiverture a une forme circulaire, l'image d'un point lumineux devra toujours se composer, même en supposant que les lentilles ou les miroirs de l'instrument forment un système rigoureusement nplanétique. d'une tache circulaire brillante entourée d'une série d'anneaux. Le nombre des anneaux visibl^'s dépend de Téclat du point lumineux; mais le

508 LUMIERE NON POLARISEE,

rliâmèlre de la tache centrale est toujours en raison inverse de celui de l'ouverture ^*^ On comprend d'après cela pourquoi l'image d'une «Çtoile vue dans une lunette ou dans un tt^escope se dilate à mesure qu'on rétri^cit l'ouverture du diaphragme. On ne peut donc pas espérer de perfectionner indéfiniment les instruments d'optique en faisant disparaHre les aberrations géométriques par l'emploi de diaphragmes a ouverture de plus en plus petite; car on se trou>e bientôt arrêté par l'apparition d'une nouvelle aberration qui devient (le plus en plus sensible et qu'il est impossible d'éliminer.

L'image d'un point lumineux étant toujours une tache de grandeur finie, il faut, pour que deux points puissent être distingués l'un de l'autre à l'aide d'un instrument, que les images de ces points n'empiètent pas l'une sur l'autre , et pour cela il est nécessaire que le diamètre apparent de la droite qui joint les deux points lumineui; soil supérieur à une certaine limite; l'inverse de cette limite est ce que M. Foucault a appelé pouvoir optique de l'instrument ^^^. L'étendue de la partie visible de l'image d'un point lumineux dépend de l'éclat de ce point, de l'acuité de la vision de l'observateur et de beaucoup d'autres circonstances : le pouvoir optique d'un instrument n'est donc pas une quantité constante; mais, toutes choses égales d'ailleurs, ce pouvoir optique est proportionnel au diamètre de l'ouverture par laquelle les rayons incidents pénètrent dans l'instrument.

La théorie précédente permet de déterminer une limite inférieure du pouvoir optique. Soient en effet deux points lumineux dont les images ont leurs centres aux points A et A'; supposons qu'il n'y ail pas de lumière sensible dans chacune de ces images au delà du premier anneau hrillant : il faudra alors, pour que les deux images n'empiètent pas l'une sur l'autre, que la distance AA' soit au moins égale au double du rayon du premier anneau brillant, et, par suite, que le diamètre apparent de la droite qui joint les deux points lumineux soit au moins égal au double de la déviation du premier

''' C«»8 piiénomènes ont élé observés pour la première fois parW. Ilerschel ( TriBl*» J' la Liimièt^dei, Herscliel, (raduclion de Yerhulst et Quetelet, I. I, p. 5oi). Hs oni ^\r élndjés par Am|70, qui les décnt dans m Noiice sur la scintillation.

'•^ M*»moir*»s sur la confllniction des télescopes {Annnlfi» (/*» rOb»n'i^toire, t. V).

DIFFIIACTION. 309

anneau brillant. Kn désignant rrttc (lcWiali«*ii par ^y, - ^ sera nue limite inférieure du pouvoir optiijue.

La déviation ^j) correspondant au deuxième niaxiniuni, on aura. fFaprès la valeur trouvée plus haut.

TrRsin&i ^

y^ =0,ni(|7r,

(roii

Prenons pour X la valeur moyenne o'""',ouo5 et supposon.s f|ue Touverturedu diaphragme ait un diamètre de lo centimètres; nous aurons

sniû^-^ 0,0 1() - 5^- *•

(1011 nous conclurons (|ue Tangle acû est égal à 3 secondes environ. M. Foucault, en se plaçant dans les conditions que nous avons supposées remplies, c'est-à-dire en se servant d'une lunette dont J objectif était muni d'un diaphragme présentant une ouverture de 10 centimètres de diamètre, a trouvé le pouvoir optique de Tinsirument bien supérieur à la limite que nous venons de déterminer; car, en regardant avec celte lunette une mire placée à une distance connue et qui était divisée en demi-millimètres par des traits noirs, il a pu distinguer des traits dont la distance était vue sous un angle

d'environ 0 de seconde.

De la valeur obtenue expérimentalement par M. Foucault pour le pouvoir optique de l'instrument qu'il employait, on peut déduire l'étendue qu'avait dans cet instrument la partie visible de l'image d'un point lumineux, il suffit pour cela de renqdacer. dans l'équa* fioii

siiiO parsin-ôi on trouve ainsi

' m — OjOoStt:

iVoii il résulte cjue, dans les expériences de M. Foucault, le rayon

;nO LLMIÈKK NON IMIL^RISKK.

rie Ici partit' visible de Tiiiiage d'un poinl liiiiiirieux élciil ègaX à [k'U piTs h la moitié du rayon du premier anneau obscur.

Les considérations «jue nous venons de développer peuvent elrc élc'udues à l'œil; mais l'état de Torgane joue un rôle tellement important dans la formation des images sur la rétine, que le pouvoir opli(|uc de l'œil varie considérablement d'un individu à l'autre, el chez le même individu, suivant les circonstances dans lesquelles s'opère la vision.

L'image d'un point lumineux ayant toujours une étendue sensible, il est facile de voir que l'image d'un objet dont le diamètre apparent est appréciable ne doit présenter un éclairemeut constant qu'à partir d'une certaine distance de ses bords; par suite de la su- [)erposition des petites taches circulaires qui correspondent aux différents points de l'objet lumineux, l'image géométrique sera bordw d'une bande dont la largeur sera égale au rayon de ces taches et par suite variera en raison inverse du diamètre de l'ouverture, et dont l'intensité ira en décroissant graduellement, comme cela a lien sur chaque tache à partir du centre. Cependant l'observation montre que, tandis que l'image d'une étoile vue dans une lunette ou dans un télescope se dilate à mesure que l'ouverture du diaphragme se rétrécit, les images du soleil et de la lune diminuent simplenieni d'éclat dans ces circonstances sans (|ue leur grandeur apparente varie. Ce résultat, qui semble contraire à la théorie, s'explique par la faible intensité de la lumière incidente; la dilatation de l'image d'un objet n'est possible en effet qu'autant que la partie visible de l'image de chaque point de cet objet a une étendue assez sensible, ce (|ui exige une lumière très-intense; or la lumière de la lune n offre pas un très-grand éclat, et celle du soleil est affaiblie au moyen de verres colorés lorsqu'on observe cet astre à l'aide d'un instrument d'optique. De plus, l'image solaire ou lunaire présente toujours des bords parfaitement tranchés, au lieu d'être, comme le veut la théorie, entourée d'une bande lumineuse d'intensité graduellement décroissante; ceci tient à ce que l'œil est incapable de percevoir aucune impression lorsque l'intensité lumineuse devient inférieure à une certaine limite, d'où résulte dans la sensation visuelle une discontinuité qui n'existe pas dans là réalité : c'est ainsi qne des obj't>

DIFFRACTION. 311

(iabttrd conipléleiiieiil invisibles deviennent subitement visibles par lin très-léger accroissement survenu dans leur éclat.

79. IHflMctioBi pmr un fframi membre d'ettvertwrea circulaires ou de 4iM|tte» eireuleiree de même rayon et irrégulièrement espacée* — Explication des ceuronnce. —

A la théorie des efl'ets produits par les ouvertures diffringentes de forme circulaire se rattache l'explication d'un phénomène naturel (|U on désigne sous le nom de couronnes et qu'on a assez fréquemment occasion d'observer. Les couronnes sont des cercles colorés qui se montrent autour du soleil et de la lune lorsque des nuages trèsh^gers passent devant ces astres et les voilent d'une sorte de gaze ; ces cercles sont immédiatement en contact avec le disque du soleil uu de la lune, ce qui les distingue des halos, et leurs couleurs sont disposées dans l'ordre caractéristique des phénomènes de diffraction, c'est-à-dire le violet en dedans et le rouge en dehors. Pour apercevoir les couronnes autour du soleil, Il faut regarder cet astre à travers un verre noir, afin d'atténuer le trop grand éclat de sa lumière, ou encore, comme le faisait Newton , examiner son image \\ie par réflexion dans l'eau.

M. Delezenne a indiqué un procédé très-simple pour mesurer les diamètres apparents des anneaux colorés qui constituent les couronnes ^^^ Un long tube de carton, ouvert à l'une de ses extrémités, est fermé à l'autre par une plaque percée d'un très-petit trou contre lequel on applique l'œil; dans ce tube peut se mouvoir un disque opaque placé perpendiculairement à L'axe du tube. En éloignant graduellement ce disque de l'œil, on peut cacher successivement le soleil et les anneaux colorés qui l'entourent : lorsqu'un de ces anneaux parait coïncider avec le bord du disque, son diamètre apparent est égal à l'angle sous lequel on voit le diamètre du disque, angle facile à calculer puisqu'on connaît le diamètre du disque et sa distance à l'œil. Par ce procédé, M. Delezenne a constaté que les diamètres des anneaux d'une même couleur varient ii peu près comme la suite des nombres entiers, loi qui n'est qu'approchée, ainsi (|iie nous le verrons plus loin.

' Mémoire» de la Société des ncieuces de [aUp , aouée i S^8.

31i LUMIERE m)}i POLAlllSEE.

ÎVewlou a \v j)remier allribiié rapparilioii des couronnes au\ vésicules d'eau (|ui llotlent dans l'atmosphère ^". Frauenhofer a conlirmé la justesse des vues de ^e\vtou en montrant qu'on peut reproduire artificiellement le phénomène des couronnes : il suilit pour cehi de regarder un objet lumineux à travers une plaque de verre recouverte , soit de globules provenant de la condensation de la va- |)eur d'eau, soit d'une poussière à grains fuis et sensiblement égaux, de poudre de lycopode, par exemple ^^^K 11 est indis|>ensable, pour le succès de l'expérience , que les corpuscules déposés sur la plaque soient sensiblement égaux; avec une poussière formée de grains irréguHers, comme la craie pulvérisée, les couronnes ne se montrent pas; mais, comme Ta remarqué Frauenhofer, il n'est nullement nécessaire que ces corpuscules soient disposés avec régularité. Cet habile observateur a vu en effet se produire des couronnes lorsqu'il regardait un objet lumineux à travers deux plaques de verre entre lesquelles il avait introduit un grand nombre de petits disques métalliques qui avaient tous le même diamètre et qui, sous l'influence de la pesanteur, se plaçaient d'une manière tout à fait quelconque. Il mesura dans ces conditions les diamètres des anneaux brillants et reconnut que ces diamètres étaient proportionnels à la longueur d'ondulation et en raison inverse du diamètre des disques; ce dernier résultat en particulier est contraire à tout rapprochement entre les phénomènes des couronnes et ceux des réseaux, qui dépendent de la grandeur de la somme d'un intervalle transparent et d'un intervalle opaque. Les lois trouvées par Frauenhofer ont été confirmée? depuis par les expériences de M. Babinet^^-.

La cause du phénomène étant mise hors de doute, il s'agissait (l'expliquer comment des disques ou des corpuscules circulaires égaux entre eux, mais distribués sans aucun ordre, peuvent donner naissance à des anneaux colorés parfaitement réguliers et soumis à des lois simples. Frauenhofer admit que chaque corpuscule produit individuellement un système d'anneaux et que le phénomène observé résulte de la superposition de tous ces systèmes identiques; mais

^'' Optique, liv. Il, pari, IV.

■•> Svhumarkei'^s AgtronomiHclia Abhandlutifren y 111.

• ' C. a, IV, ;58,

DIFFRACTION. 31S

celto explication est évidemment insuilisante , car elle suppose qu'autour de chaque corpuscule opaque la lumière est dilTractée comme si ce corpuscule était seul, et elle ne tient aucun compte des interférences des rayons diffractés par les corpuscules voisins.

Le principe posé par M. Babinet et dont nous avons indi((ué plus haut la démonstration (76) a permis à M. Verdet de donner une explication complète du phénomène des couronnes ^^K 11 résulte en effet de ce principe ((ue les apparences auxquelles donne naissance un système de disques opaques, circulaires et égaux, disposés sans aucun ordre, sont identiquement les mêmes que celles qui seraient produites par un grand nombre d'ouvertures circulaires, égales et irrégulièrement espacées; or, en raisonnant comme nous l'avons fait pour le cas d'un grand nombre de fentes égales mais non équi* distantes, il est facile de voir que ces derniers phénomènes ne diffèrent de ceux qu'on obtient avec une seule ouverture circulaire qu*en ce que l'intensité est multipliée par un facteur constant égal au nombre des ouvertures.

Si cette théorie est vraie, le phénomène des couronnes doit être soumis aux mêmes lois que celui des anneaux colorés engendrés par uiie ouverture diffringente de forme circulaire, et par suite, d'après ce rpie nous avons vu, les déviations des maxima de lumière doivent être proportionnelles aux nombres 819. i333, 18/17, !i36 1 , . . . , et les déviations des minima aux nombres 610, 1116, itiii), Il lao, iiGâ 1, . . ..

Les mesures de Frauenhofer semblent, au premier abord, ne |>as confirmer les résultats de la théorie : cet observateur a trouvé en effet, pour les déviations des trois premiers anneaux rouges produits par un système de disques métalliques, des angles égaux à 3' 10", .V58" et 8'/ii"; ces angles suivent une loi tout à fait différente de celle qui vient d'être indiquée comme s'appliquant aux déviations des maxima de lumière. Mais il faut remarquer que Frauenhofer n'a pas mesuré les diamètres des anneaux dans la lumière rouge homogène ; il a simplement déterminé la position des anneaux rouges dans le système d'anneaux colorés auquel donne naissance la lumière blanche : or ces anneaux, comme nous avons

^'> Ami, dechim. el dephfjn., (3), \XXIV, laQ. . .

3l/i LLMIÈIIE iNO.N POLAIUSEE.

déjà eu occasion de le dire (70). correspondeul aux mi ni ma des rayons les plus intenses du spectre. Leurs déviations doivent donc suivre la loi qui s'applique aux inininia; c'est ce qui a lieu elfeclivenient pour les nombres déterminés par Frauenbofer : les déviations des trois premiers anneaux rouges sont proportionnellrs aux nombres 610, 1 1 18 et 1699, qui s'écartent très-peu des nombres ()io, Mt6 et 1619, auxquels, d'après la théorie, doivent être proportionnelles les déviations des trois premiers minima.

Bien que les observations de Frauenbofer, loin de contredire h théorie, la conHrment complètement lorsqu'elles sont convenablement interprétées, M. Verdet a cru utile de prendre quelques mesures dans la lumière rouge homogène. Au centre d'un théodolite qui permettait d'évaluer les angles à 1 5 secondes près, il fixait une |)laque de verre recouverte de poudre de lycopode sur laquelle il faisait tomber des rayons provenant d'une lampe électrique placée à 8 mètres de distance, et disposait devant l'objectif de la lunette mi verre rouge d'une teinte bien homogène. 11 a trouvé ainsi pour Ih déviation du premier anneau obscur i*'9cj'û5", et pour celle du second anneau obscur *i°^i3^ en admettant que la première dévialion soit exactement mesurée, la théorie donne a^Vi' pour la seconde. Il a déterminé également les déviations des deux premiers minima dans la lumière blanche: ces déviations ont été trouvées égales à ri.V/iS" et à 9**qi'; en considérant encore la première déviation comme exactement mesurée, la seconde devrait être, d'après la théorie, a**!;)'.

Jinfin M. V^erdet a eu recours a un autre genre de vériiication en observant les phénomènes de diffraction dus à un système d'ouvertures circulaires égales et distribuées sans aucun ordre. Il plaçait à cet effet devant l'objectif d'une lunette une plaque de cuivre percée d'un grand nombre de trous circulaires tous égaux entre eux et disposés d'une manière irrégulière : en faisant tomber sur cette plaque des rayons provenant d'un point situé à une grande distance, il voyait apparattre au foyer de la lunette un système d'anneaux colorés tout à fait semblables aux couronnes. Ces anneaux n'étaient réguliers qu'autant que le diamètre des trous surpassait un quarl de millimètre; ils étaient beaucoup plub |)elitb que ceux qu'on obtieul

DIKFhVCTION. ;M5

avec la pondre de lycopode, et leurs diamètres ne pouvaient être mesurés avec exactitude.

Il résulte de ce que nous venons de dire que les diamètres apparents des anneaux colorés produits par un grand nombre de corpuscules égaux et de forme spliérique sont en raison inverse du diamètre de ces corpuscules; on peut donc déduire la grosseur des gouttelettes d'eau qui engendrent les couronnes qu'on voit autour du soleil et de la lune du rapport qui existe entre les diamètres a])parents des anneaux colorés qui constituent ces couronnes et ceux des anneaux produits par des corpuscules d'une grosseur connue.

Les cercles irisés, qu'à la suite de certaines inflammations de la conjonctive on aperçoit autour des corps lumineux, se rattachent à la UK^me cause que les couronnes; ces apparences sont dues à l'exis- (ence de granulations très-petites et sensiblement égales dans la portion de la conjonctive qui se trouve en avant de la cornée transparente.

Il n*est du reste pas nécessaire, pour que les couronnes se montrent, que tous les corpuscules inter|)osés entre l'œil et le corps lumineux soient de même dimension: il sudit que ceux d'une certaine dimension soient beaucoup plus nombreux que les autres.

80. Tliéorémefl généraux de Bridge. — Un astronome anglais, J. Bridge, a établi plusieurs théorèmes généraux relatifs aux phénomènes de diffraction, à l'aide d'une méthode très-simple (|ue nous allons faire connaître et (|u'on peut appeler méthode de transformation des figures.

Soit une ouverture de forme (|uelconque : traçons dans le plan de cette ouverture deux axes rectangulaires 0.r et Oy, et proposonsnous d'évaluer l'intensité lumineuse en un point P situé à une disl-ance Irès-grande sur une direction comprise dans le plan des zx et faisant avec l'axe des z, c'est-à-dire avec la normale à l'ouverture, im angle égal à ô. A cet effet, divisons l'ouverture en bandes infiniment étroites par des droites parallèles à l'axe des y, et représentons

par sin'îTT ,-p (t'a la vitesse envojéc au point considéré par l'élément

qui correspond à l'origine. La vilcbse envoyer par la bande dont

316 LUMIÈHE NON POLARISÉE.

J*aire est égale h y<Lc sera représenlëe par

.r sin6>

// .vm\tf\ j

car les diirérenls poinls de cette bande sont tous à une distance égale à X sind du plan mené par Forifjine perpendiculairement à la direction sur laquelle se trouve le point P. La vitesse totale envoyée en ce point par l'ouverture a donc pour expression

f . ft .vs\ntf\ I

el luitensité est égale en P à

/ r . .isinÔ I \' . / /• .tsinô , \'

! I y sin îi'ï' > " ^ ) + ( I y ^^^-^ ^ " X — y *

La direction de Taxe des x dans le plan de Fouvcrturc étant complètement arbitraire, on peut par cette métbode évaluer l'intensité lumineuse sur une direction quelconque.

L'expression ([ue nous venons de trouver pour l'intensité va nous permettre de démontrer très-facilement plusieurs principes importants.

i** Les sinus des déviations qui correspondent à un maximum ou à un minimum d'un ordre déterminé sont proportionnels à la longueur d'ondulation; si, en effet, dans l'expression de l'intensité, on renqdace X par X', pour que la valeur de cette intensité demeure la même , il faut substituer à l'angle 6 un angle tf ' tel que l'on ail

-j— ^ = T* Les ligures de diffraction (|ue Ton obtient avec des lumières homogènes de différentes couleurs sont donc semblables, et leurs dimensions homologues sont proportionnelles à la longueur d'ondulation de la lumière employée.

a° Si l'on produit les phénomènes de diffraction avec deux ouvertures semblables, mais de dimensions différentes, les sinus des déviations qui correspondent k un maximum ou à un minimum d'un ordre déterminé sont en raison inverse des dimensions homologues des deux ouvertures. Soit en effet m le rapport des dimensions de la seconde ouverture aux dimensions homologues de la première;

Tinlensilé envoyée par ta seconde ouverture suivant une direction située dans le plan des zx et faisant un angle 6 avec l'axe des z aura pour expression

/ r . mj:sin6 , V , f C mxsinO , \' ( I mys\n9.n — j- — dxj +( jmycosstn — ^ axj ;

si, pour une certaine valeur de 6 que nous représenterons paroi, l'inlensité provenant de la première ouverture passe par un maximum ou par un minimum, l'intensité provenant de la seconde ouverture passera par un maximum ou par un minimum pour une valeur ca^ de 6 telle, que l'on ait sinû)=msinw', (l'oii

sinfii;' 1

sin^i m

Les figures de diffraction auxquelles donnent naissance deux ou- \ertures semblables sont donc semblables, et leur rapport de similitude est égal à l'inverse de celui des deux ouvertures.

V Les intensités envoyées dans une m^me direction, située dans le plan des zx, par deux ouvertures telles que les ordonnées correspondant il une même abscisse soient dans un rapport constant, ne diffèrent l'une de l'autre que par un facteur conslanl, et, par suite, les figures de diffraction produites dans le plan des zx par ces deux ouvertures sont les mêmes. Si en effet on remplace une ouverture par une autre dont les ordonnées soient égales à celles de la première multipliées par une quantité constante iw, chacun des éléments des deux intégrales qui entrent dans l'expression de l'intensité envoyée suivant une direction située dans le plan des zx sera multipliée par m, et par conséquent l'intensité sera multipliée par m^,

/i" Les intensités envoyées dans une môme direction, située dans le plan des zx^ par deux ouvertures qui ne diffèrent l'une de l'autre qu'en ce que la seconde a été obtenue en déplaçant pamllèlement à elles-mêmes les ordonnées de la première sans changer leur longueur, sont les mêmes, et par suite les figures de diffraction |)roduites dans le plan des zx par ces deux ouvertures sont identiques. On voit en effet que, pour les deux ouvertures, les éléments des deux intégrales sont les mêmes.

i\S LUMIERE NON POLAIUSEE.

On doit encore s\ M. Bridge le théorème suivant, (|ui simpliiie considérablement l'étude d*un grand nombre de cas de diflraction :

L'intensité de la lumière envoyée en un point situé à une trèsgrande distance sur une direction quelconque, par une série d'ouvertures égales et semblablement placées, est égale au produit de l'intensité qu'envoie en ce point une seule de ces ouvertures par l'intensité qu'y enverrait un système de points lumineux disposés comme les points homologues de toutes les ouvertures.

Pour démontrer cette proposition , prenons sur l'une des ouvertures un élément é^er et sur toutes les autres des éléments égaux au premier et occupant des positions homologues. La vitesse envoyée par ces éléments dans une certaine direction est évidemment proportionnelle à celle qu'enverrait dans la même direction un système de points lumineux disposés comme les points homologues des ouvertures. En désignant cette dernière vitesse par M et en choisissant convenablement l'origine h partir de laquelle on compte le temps, la vitesse envoyée par l'ensemble des éléments considérés peut être rej)résenfée par

M sin^TTrpef'eT;

la quantité M est évidominenf constante, quelle que soit la position des éléments homologues sur les ouvertures. Prenons maintenant un second système d'éléhients homologues tels que la diflFérenre des distances d'un élément de ce système el de l'élément du premier système situé sur la même ouverture h un |)oint très-éloigné sur la direction considérée soi! égîile îi S: In vil esse envoyée par ce second syslèrae aura pour e\|)ression

M siu37r ( T'^ ^) ^<^'

La vitesse totale envoyée par loules les ouvertures sera donc éynJH

M/sin.,.(.;,-f),^.:

celle vitesse est le |>roduit de deux facteurs dont le |>remier représenle la vilesse envoyée par une série de |>oinfs lumineux dispost's

DIFFRACTION. 319

comme les points homologues des ouverlures, et le second la vitesse envoyée par une ouverture unique. Le théorème, étant ainsi démontré pour la vitesse, s'étend facilement à l'intensité.

Une conséquence importante de ce théorème, c'est que, si le système diffringent est formé d'une série d'ouvertures égales et semblablement placées, toutes les fois que l'intensité envoyée dans une direction, soit par une ouverture unique, soit par un système de points disposés comme les |)oinls homologues des ouvertures, sera nulle , il en sera de môme de l'intensilé envoyée par le système des ouvertures; il y aura donc en général dans ce cas deux séries de minima de lumière.

8 i . Diffraetion par une ouverture elliptique. — Les

principes généraux que nous venons d'établir vont nous permettre de déduire les phénomènes auxquels donne naissance une ouverture cHiptique de ceux qui sont produits par une ouverture circulaire.

Soit en effet un point P situé à une très-grande distance sur une droite passant par le centre de l'ellipse; menons par cette droite un plan [lerpendiculaire à celui de l'ouverture, et prenons pour axe des.r l'intersection de ce plan avec celui de l'ouverture. |)our axè des y une droite perpendiculaire à cette intersection ((ig. G8). Les phénomènes de diffraction sur la direction considérée ne seront pas changés si on déplace parallèlement à elles-mêmes les cordes d(» l'ellipse parallèles à l'axe des y, de façon à amener leurs milieux sur

l'axe des x. Après ce déplacemenl.

les longueurs des ordonnées seront les mêmes que dans un système de coordonnées obliques où l'on prendrait pour axe des y le diauïètre parallèle aux cordes et pour ave <les jp le diamètre conjugué; donc, ^*^' ^^' ' en nmltipliant toutes ces ordonnées

par un nombre constant, on aura celles d'un cercle ajanl môme centre que l'ellipse et ayant pour rayon la distance du centre à un<» tangente menée à l'ellipse |)arallèlenK»nt k l'axe des i/, c'est-àdire perpendiculairement à la |)rojeclion de la direction considérée

320 LUMIÈRK NON POLAHiSÊE.

sur le plan de Tellipse; colle distance est repr«^sentée par OC sur la figure.

D'après ce que nous avons vu plus haut, les déviations des maxima et des minima dans le plan des zx seront les mêmes que si l'ouverture était un cercle ayant pour rayon OC: de plus, nous savons que, si l'ouverture diffringente est circulaire, les sinus des déviations correspondant à un maximum ou à un minimum d'un ordre déterminé sont en raison inverse du rayon de l'ouverture. Il résulte de là que, l'ouverture étant elliptique, si nous considérons différents plans nonuauv à l'ouverture et passant par le centre, le sinus de la déviation qui correspond dans l'un de ces plans à un maximum ou à un minimum d'un ordre déterminé est en raison inverse de la distance du centre à une tangente menée à l'ellipse perpendiculairement h Tintersection de ce plan avec celui de IVIlipse.

Soit

l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes; considérons un plan perpendiculaire à celui de l'ouverture et faisant un angle a avec celui des zir: la tangente menée a l'ellipse perpendiculairement à l'intersection de ce plan avec celui de l'ellipse a pour équation

y~ Uuv^a^\ langea "^' et la dislance du centre à celte tangente est

C'est ù cette (lernière quantité ipie sont inversement j)roporlionnel> les sinus des déviations correspondant à un maximum ou à un minimum d'un ordre donné dans un plan passant par l'axe des : et faisant avec le plan des z.t un angle égal à a. Il est facile de déduire de là la forme qu'affecteront les courbes déterminées par les maxima

DIFFRACTION. 321

et les minima sur un écran parallèle à Touverture et placé à une Irès-grande distance. Prenons en effet pour origine le point 0', où le plan de cet écran est rencontré par Taxe des :, c'est-à-dire par une droite perpendiculaire au plan de Touverture et passant par son centre, et traçons dans le plan de l'écran deux axes OV etOy' parallèles respectivement au grand axe et au petit axe de l'ouverture ^ Considérons une courbe correspondant sur l'écran à un maximum ou à uii minimum d'un ordre donné : celui des rayons vecteurs de cette courbe qui fait avec l'axe OV un angle égal à a sera, d'après ce que nous venons de voir, inversement proportionnel à

\/«*-*-6* tangua

V/i-4-tang*a

el par suite directement proportionnel à

rosay/Vi* -i- 6* tang'a

En désignant par x et y les coordonnées du point où la courbe est rencontrée par ce rayon vecteur, et par k une quantité constante, on aura

j^'^i ^' .., t^tang'g

«*-+- 6*tang'a' ^ ,fl*-+-6* tang'a

(ioii, en éliminant tangua entre ces deux équations.

Les courbes déterminées par les maxima el par Us minima sont donc des ellipses semblables à celle qui limite l'ouverture, mais inversement placées, c'est-à-dire que leur grand axe est parallèle au petit axe de l'ouverture , el réciproquement.

Verdet, V, — Optique, I.

DIFFRACTION.