Calcul de rinteiislfé par la métbade «e CMwhy

La méthode de calcul de Cauchy, appliquée au cas dont nous nous occupons, va nous conduire h des résultats plus précis que celle de Fresnel.

Pour un point situé dans l'intérieur de l'ombre géométrique, l'intensité est représentée, comme nous l'avons vu, par

"-MÊT,[e-«v)'+G-S.)']'> les valeurs de V qui correspondent aux maxima et aux minima doi-

DIFFRACTION. 851

vent par conséquent vérifier l'équation

tang^V^ = -

i-Sv

Si V est un peu grand, si, par exemple, la valeur de cette variable est supérieure à 3 , les restes des séries de Cauchy sont négiiles, et Ton a

Cv = -+PsinîV2-0cos-V^ 'a a ^3

Sv=-i-Pco8-V2-0sin-V*.

Dans cette hypothèse, l'équation précédente devient

] tang^V*=

Psin-V^-Ocos-V* a ^ a

""' Peos-V« + Qsin-V»' a ^ a

d'où Or

rx l 1.3.5 1.3.5.7.9

les termes de cette série vont en décroissant lorsque V est supérieur à 3 : la valeur de Q est donc dans ce cas comprise entre -^ys et -4to -~ ^-TT77 » q^i^ï^^'^^s qui sont toutes deux positives, et l'équation

n'a pas de solution.

Il est démontré par là qu'il n'y a ni maximum ni minimum dans rintérieurde l'ombre géométrique, dès qu'on s'écarte assez de la limite de cette ombre pour que V devienne plus grand que 3 ; mais pour faire voir que le décroissement de l'intensité s'opère également d'une manière continue pour les points qui correspondent à des valeurs de V inférieures à 3, une discussion numérique est nécessaire,

35S LUMIÈRE NON POLARISÉE.

de sorte qu'on retombe en partie dans l'imperfection déjà signalée de la théorie de Fresnel.

Pour les points situés à l'intérieur de l'ombre géométrique, l'expression de l'intensité devient très-simple lorsque V a une valeur un peu considérable. On a en eifet dans ce cas

'' = Mrr6l[(P-?V^-0cosfV«)'+(Pcos^V« + 0sînfV.)'].

d'où

Si l'on néglige tous les termes dans lesquels V entre au dénominateur à une puissance supérieure a la seconde, cette dernière expression se réduit à

I2 dhX 1

V étant proportionnel à la distance du point éclairé à la limite de l'ombre géométrique (88), on voit que, pour les points situés à l'intérieur de cette ombre et suffisamment éloignés de sa limite, l'intensité varie sensiblement en raison inverse du carré de la distance du point éclairé à la limite de l'ombre.

Pour les points situés en dehors de l'ombre géométrique, les valeurs de V qui correspondent aux maxima et aux minima sont données par l'équation

i+Cv i + P8in-V«-0cos-V«

d'oii

tang-V2 = :L

^ -+Sv Pco8-V2 + Qsin-V2-i

sin-V2 + cos-V2 = 0.

Lorsque V a une valeur un peu considérable, Q est très-petit, car on a toujours

DIFFRACTION. 353

Téquation précédente devient donc, en négligeant les quantités de Tordre de -rri '