AC
d'où
AB=a/.
Pour trouver réclaircmcnt des points situés sur une droite GK parallèle à AB, nous pourrons, comme nous Tavons démontré d'une façon générale (82), substituera Tonde sphérique tangente à l'écran l'onde circulaire XCY.
Considérons en premier lieu sur la droite GK un point M situé à l'intérieur de l'ombre géométrique; sur ce point agissent deux portions AX et BY de l'onde circulaire, commençant l'une au point A et l'autre au point B , et toutes deux indéfinies. L'action de chacune de ces portions d'onde se réduit à celle d'une fraction de son premier arc élémentaire compté à partir du point A sur AX , à partir du point B sur BY : le point M sera donc voisin d'un maximum ou d'un minimum d'intensité suivant que la différence des longueurs AM et BM sera égale à un nombre pair ou à un nombre impair de demilongueurs d'ondulation. Lorsque le point M est situé dans le voisinage du milieu de l'ombre, c'est-à-dire près du point G, les portions efficaces des premiers arcs élémentaires de AX et de BY sont très-près d'avoir même longueur ; donc si , dans ce cas , la différence des longueurs AM et BM est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation , les vitesses de signes contraires envoyées en M par AX et par BY diffèrent très-peu en valeur absolue ; ainsi se trouve expliqué ce fait que les franges obscures voisines du milieu de l'ombre sont presque complètement noires. Au milieu de l'ombre, c'est-àdire au point G, les vitesses envoyées par AX et par BY sont toujours concordantes, el, par suite, le milieu de l'ombre est toujours occupé par une frange brillante; l'éclat de la frange centrale est d'ailleurs d'autant plus considérable que les points A et B sont séparés du point G par un plus petit nombre d'arcs élémentaires, d'où il résulte que cette frange est d'autant plus brillante que le corps opaque est plus étroit.
DIFFRACTION. 363
La {iosilion approximative des maxima et des iiiiiiiina à l'intérieur (le Tombre se détermine facilement dans la théorie élémentaire. Posons en effet, comme précédemment,
nous aurons
AM --^ v^^-f- {i+^\ m ^ y/^qi^/ ~4^
d'où, en extrayant les racines carrées par approximation.
et
AM- BlM=^^-
Les points où Imteiisité est voisine d'un maximum sont donc définis
par la condition
et ceux où rintensité est voisine d'un minimum, par la condition
Ces formules montrent que les franges sont d'autant plus larges que h est plus grand et / plus pelit, c'est-à-dire (|uo les franges s'élargissent à mesure qu'on les obsene à une plus grande distance du corps opaque et à mesure que ce corps opaque devient plus étroit.
La théorie élémentaire ne permet pas de déterminer la position des franges extérieures; elle montre seulement que, si l'on prend sur la droite GK un point P éloigné de la limite de l'ombre, l'action qu'exerce sur ce point la portion d'onde AX située de l'autre côté du corps opaque est négligeable vis-à-vis de l'action exercée par BY, et que, par conséquent, tout se passe en P comme si l'écran opaque était indéfiniment prolongé du côté du point A. Mais ce raisonnement n'est pas applicable aux points situés près de la limite de l'ombre géométrique : pour évaluer l'éclairement de ces points, il faut tenir compte à la fois de l'action des deux portions d'onde AX
364 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
et BYf et les phénomènes produits par la portion d*onde située du même côté du corps opaque que les points considérés sont d'autant plus modifiés par l'action de la portion d'onde située du côté opposé i|ue le corps opaque est plus étroit.
93, Calcul de rintenslté par la méthode de Freenei. —
La théorie de Fresnel appliquée au cas qui nous occupe actuellement ne conduit à aucune loi générale; elle peut servir uniquement à calculer l'intensité en un point donné pour des valeurs également données des quantités a, 6 et X.
Supposons d'abord que le point M soit situé dans l'ombre géométrique; désignons par h l'arc compris entre le pôle H de ce point M et le milieu C du corps opaque ; prenons le pôle H pour origine des arcs et convenons de compter négativement les arcs situés du même côté du point H que celui des bords de l'écran opaque qui en est le plus éloigné : l'intensité au point M a alors pour expression
En remplaçant les intégrales en s par celles en v nt en posant
cette expression devient
Dîins le cas où le point éclairé est situé en dehors de l'ombre géométrique, en comptant positivement les arcs situés du même côté du pôle que le corps opaque, les limites des deux intégrales en s seront
DIFFRACTION. 365
respectivement — oo et h — l, A + / et + oo ; on aura donc alors
Pour déterminer dans l'un ou l'autre cas les valeurs de A qui rendent l'intensité maximum ou minimum, on laissera de côté le facteur constant -7 — -TT et on calculera à l'aide des tables dressées par
Fresnel les valeurs de la parenthèse qui suit ce facteur pour des valeurs équidistanles de h. On obtiendra ainsi deux valeurs de h entre lesquelles sera comprise celle qui correspond à un maximum ou à un minimum d'un rang déterminé; on calculera ensuite plus exactement cette dernière valeur de h à l'aide de la méthode d'interpolation que nous avons fait connaître plus haut (88).
9&. €al«ul de l'Intensité par la métiiode de 91. Gilbert.
— Nous allons appliquer maintenant aux phénomènes produits par un écran opaque étroit, à bords rectilignes et parallèles, la méthode de M. Gilbert. Nous poserons pour abréger
abX 1^
Nous nous occuperons en premier lieu du cas où le point éclairé est situé dans l'ombre géométrique; on a alors, d'après les notations que nous venons d'indiquer,
et par suite
ILJ-oo '-« .'e-ft ' J
366 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
En remarquant que l'on a
I c.OH - v^dv =1 cos - v^dv == I cos - irrfr
-^ I cos -trdv — \ cos - trav
et en posant
I cos-r^rfî; = li »
il vient
I cos-v2rfr== (i . •
Par des transformations analogues et en posant I COS - r-^rfr^ti »
I sm-r^m?- S . i I sm-tJ-^rfr^îS »
on obtient IVxprcssion
Pour trouver les valeurs de la variable (i qui rendent l'intensité maximum ou minimum, il faut égaler à zéro la dérivée de cette expression prise par rapport à fx, ce qui donne
(«-(^,^^-(^,J[cosf(e-fiy^--cosf(e + ^f] En posant
DIFFRACTION. 367
cetle équation devient
+(i~Se-f-f|- S^^)(sina--sin/3)-o.
Les intt^grales do Fresnol sont liées ti celles de M. Gilbert par les relations
C = — Gcosti+Hsinw, S-= — Gsinti Hrosu,
où u représente la quantité- Vj. Si donc on désigne par G^, Gc, H^, Hfl les valeurs que prennent les intégrales G et H quand on y remplace la variable u par a et par jS, la formule qui donne l'intensilé à l'intérieur de Tombre géométrique prend la forme
r-=K[(G^cosa-H,sïna+GpCosj8-H^sin,â)2
