r ros* / cos* m cos* w

jP ros*X cos*|ùt cos-i' "|

Les trois premières de ees équations (i ^j) peuvent être mises sous la forme

cosX-'^cos/ =(p2-r2)^î^,,

ros^--cos»n=(p2-r2)^,, cosi;---rosw = (p2-ra)^î3^.

Si l'on ajoute ces dernières équations, après les avoir multipliées respectivement par cosX, cosjtjt, cosn, on a, en tenant compte de l'jéquation (9),

(roi^i enfin

, -V COS^X C0S*j5Jt cos*v 1

^ / p^— rr- p'-/r p'—r p^

équation polaire de la surface de l'onde.

Cette équation peut être mise sous une forme plus commode pour la discussion. Si en effet on retranche l'équation (li)) de l'identité

1 C0S*X COS*jtJt cos'i'

il vient

. ^x rt*c08*X , 6*cos'£jt , rVos*v

(«6) -p-â^ + Y:rsr + y:r7J-o,

Verdrt, V. — Opliqup, F. 'U

/i82 DOUBLE REFRACTION.

forme sous laquelle rëquation de la surface de Tonde est fréquemment employée.

Pour obtenir l'équation de la surface de l'onde en coordonnées rectangulaires, il suffit de remplacer dans l'équation (16) cosX par

-1 cosjtjt par-1 cosi' par-»p par Vx^+y^+ z^ ^ ce qui donne

( 1 7) {^+y^+ 2^) {n^'r^+ fty +rV) - «^(^2+ c^) x^

Lorsque les quantités a, b, c^ c'est-à-dire les vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux trois axes d'élasticité , ont des valeurs différentes, l'équation (17) représente une surface du quatrième degré h deux nappes distinctes.

Si deux de ces vitesses deviennent égales, comme cela a lieu dans les milieux cristallisés à un axe, si l'on a par exemple h-^r, l'équation (17) se décompose en deux autres

la surface de Tonde se compose donc dans ce cas d'une sphère et d'un ellipsoïde de révolution tangent à la sphère aux deux extrémités de son axe polaire.

Enfin , si les trois vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux axes d'élasticité sont égales entre elles, c'est-à-dire si Ton a a-^b=c, comme cela arrive dans les milieux isotropes. Téquation (17) se réduit à

et In surface de Tonde devient sphérique.

1 27. Constnietioii de 1» surfaee de ronde »u mcjea de rellipsoMe -T + p + ^ = «. — Considérons un ellipsoïde dont les demi-axes soient respectivement égaux aux vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux trois axes d'élasticité; l'équation

THÉOfilR DE PHlîSNEL 48.1

de ret ellipsoïde est

nous l'appellerons le second ellipsoidç. Supposons qu'on coupe cet ellipsoïde par un plan quelconque passant par son centre, et qu'on porte sur la normale à ce plan des longueurs directement proportionnelles aux axes de la section elliptique ainsi déterminf^e. Si l'on se reporte à la construction de la surface d'élasticité au moyen de l'ellipsoïde (E), dont l'équation est

on voit immédiatement qu'en désignant par p, X, ju, r les coordonnées polaires des points construits, comme nous venons de le dire, ù l'aide du second ellipsoïde, l'équation du lieu de eeti points s'obtiendra en remplaçant respectivement dans l'équation de la surface

d'élasticité r^, d^, h^y c^ l, m,n par —i i^ p^ -j^ X, /ùt, v. On arrive

ainsi à l'équation

cos'A , cos'jtjt

fl'cos'A , ycos'jtjt

p««» ' p«-fe« ^ p«-f

qui n'est autre que l'équation de la surface de l'onde.

Nous sommes ainsi conduits h la construction suivante pouV la

surface de l'onde :

X* y* z^ Par le centre de l'ellipsoïde br + ^ + "i "= * ^^ wièi« un plan quel-

conque, et sur la normale à ce plan on porte deux longueurs proportion-nelles aux axes de la section elliptique déterminée par le plan : le lieu dès points ainsi obtenus est la surface de l'onde.

1 28. Direetioii des TibratiOM en im point de to Ibee de ronde* — Nous allons nous proposer maintenant de déterminer la direction du mouvement vibratoire en un point quelconque de la surface de l'onde, o'est-iSi-dire cbercher la relation qui existe

/i8/i DOlJKLK RÉFRACTION.

entre les angles a, jS, 7, que fait avec les axes la direction du déplacement, et les angles X, jEJt, V, que fait avec les mêmes axes la direction du rayon vecteur de la surface de Tonde qui correspond à ce déplacement, c'est-à-dire du rayon vecteur passant par le point où l'onde plane qui propage ce déplacement est tangent à la surface de l'onde.

Si, entre les équations (7) et les trois premières des équations (i4), on élimine cos/, cosiw, cosw, il vient, en tenant compte de la dernière des équations ( 1 3) et de la valeur trouvée pour B,

cosX cosa

'oi\ cosX

COSjU

cosp

cosv cos 7

/ cos'X ,

ip'-

s'jtjt cos

r j cos*/ , cosa (

PV'P'-'-' P

cos* m