DISCUSSION THÉORIQUE ET CONCLUSIONS

Quelques mois après la publication des découvertes de M. Faraday, M. Airy a fait remarquer le premier qu'il suffisait, pour rendre compte des phénomènes, d'ajouter aux équations connues du mouvement vibratoire des corps isotropes certains termes proportionnels aux dérivées d'ordre impair des déplacements prises par rapport au temps (,) . Supposons, en effet, que, négligeant d'abord l'influence de la dispersion, on ne conserve dans ces équations que les coefficients différentiels du second ordre, et qu'on prenne pour axe des : la direction même des rayons lumineux ou de la normale aux ondes planes. Les équations différentielles du mouvement de l'éther dans un corps isotrope se réduiront, en vertu de ces hypothèses, a

dt* A d:* J

df ~~ A dz>'

£ et rj représentant les déplacements parallèles aux x et aux y\ et A le carré de la vitesse de propagation de la lumière dans le milieu. On sait que ces équations sont satisfaites par toul système de solutions de la forme

£= a cos ( kz — êt+ip),

V r=l)cos(kz—st-i-x)^

b pourvu qu'on ait s 2 = Ah 2 , le rapport - et la différence Ç> — £ demeurant indéterminés, et par suite qu'il peut se propager parallèlement à l'axe des z, avec une vitesse constante t égale à yA, une infinité

d'ondes planes, polarisées de toutes les manières possibles. Qu'on ajoute maintenant au second membre de chacune de ces équations un terme proportionnel à la dérivée première par rapport au temps

(,) Philosophical Magazine, 3 e série», 1. XX VIII, p. /if) fi : \inv, On thv équation* appUjin\r tn lifrht under the influence of magnciism.

de celui des déplacements qui n'entre pas dans cette équation, et qu'on donne au coellicient de ce terme additionnel des valeurs égales et contraires dans les deux équations; il est visible que les nouvelles équations, savoir :

It 1 ~ A dz* +m di

ne peuvent être satisfaites par les valeurs précédentes de £ et de y qu'autant qu'il existe entre a et b, (p et jt des relations particulières. La substitution de ces valeurs donne en effet

as 2 cos (kz — st + Ç>) = aA k? cos (kz — st + Ç)) — bms sin (kz — st + %) , bs 2 cos (kz — st + x) = 6 A À- 2 cos (/r^ — st + x) + rtm5 s ^ n fa — M +<P) »

cl, ces équations devant être satisfaites quels que soient z et (, il

faut qu'en développant on puisse égaler respectivement à zéro les

multiplicateurs de cos (fa; — st) et de sin (A*: — st), c'est-à-dire

qu'on ait

fis 2 cos <p - a Ak' 2 cos ^ — bms sin ^ ,

fw 2 sin <p =-■ rt A/r 2 sin <p + bms cos^ ,

fes 2 cos ^ =■- /; AA* 2 cos;^ + «ww sin ^,

As 2 sin ^ =- /; A A 2 sin ^ — nms cos ^.

De la première relation on conclut

b Ak t -s t co&$ a ms sin^'

de la seconde

6 \k* - s' sin <f>

a ms cos£

et, pour que ces deux valeurs soient compatibles, il faut que

cos0 . sin0

sin x c osjt '

c'est-à-dire que

cos(pcos^4 sin^sin^=o,

ou que <p — x soit c5gal à un nombre impair de quarts de circonférences. On arrive à la même conclusion par la comparaison de la troisième et de la quatrième relation. On déduit encore aisément des deux premières

et des deux dernières

4 2 (s 2 -A^) 2 = rt 2 roV,

d'où

Les seules vibrations de période simple qui puissent se propager le long de Taxe des z sont donc les vibrations circulaires représentées par les équations

£=acos(k'z —st + (p),

ri=--a sin ( k r z — st + <p ) ,

(Kl

£— avm(k ,f :--8t + <t>) J v = - a sin (//' z — st + ^ ) ,

k' ou h" et * étant clioisjs de manière que» les équations différentielles (I) soient satisfaites, c'est-à-dire étant liés en Ire eux par les équations

ou

La période des vibrations étant d'ailleurs évidemment égale à — »

on doit toujours regarder * comme positif. y> ou 77 étant la vitesse

de propagation, cette vitesse dépend du sens des vibrations circulaires.

Si les ondes à vibrations circulaires sont les seules qui puissent se propager dans un milieu où les équations différentielles du mouvement de l'étbcr ont la forme (I), et si la vitesse de propagation de ces ondes dépend du sens des vibrations circulaires, ce milieu

doit posséder, comme le quartz, le cinabre ou les liquides actifs, la propriété de faire tourner le plan de polarisation des rayons lumineux d'une quantité proportionnelle à la longueur du chemin parcouru. Mais le pouvoir rotatoire dont les équations (1) impliquent l'existence diffère par un caractère essentiel du pouvoir rotatoire des substances actives par elles-mêmes.

Les deux relations démontrées en dernier lieu fournissent pour k' et k" deux valeurs égales et de signes contraires, savoir :

k"=--àz '* ^ ,m

Si l'on prend pour k f , par exemple, la valeur positive, il résulte de la forme des équations par lesquelles on représente les vibrations circulaires que l'état vibratoire qui existe, à une époque donnée /, à la distance z de l'origine, est identique à l'état vibratoire qui existe à l'époque J + A/ à la distance z+Az, déterminée par la condition

k , (z + Az) — s(t+At) = k'z — st ou

Az = rv A/.

Ces équations sont donc celles d'un mouvement qui se propage dans

le sens des z positives avec la vitesse constante j-, • La valeur négative

de // donne au contraire une propagation du mouvement dans le sens des z négatives, la vitesse demeurant la même en valeur absolue. Cela posé, concevons que le milieu transparent soit limité par deux plans menés perpendiculairement à l'axe des z, aux distances z et z -f- Ar de l'origine, et considérons un rayon polarisé dans le plan yz qui tombe sur la face de ce milieu la plus voisine de l'origine. Les vibrations incidentes pourront se décomposer en deux vibrations circulaires d'amplitude égale et de sens contraires, représentées sur la face d'incidence par

f=rtcos(/r'z st-\-(p).

r)==as\n(k'z n - st + <p) 9

et

£'=acos(*''z -**+p'),

v'---as\n(k"z — st + Q),

si nous prenons h' et k" positivement, et si nous choisissons ^ et <p' de manière qu'on ait

En pénétrant dans le milieu transparent ou en en sortant, ces deux espèces de vibrations circulaires éprouveront des modifications d'intensité très-sensiblement identiques, à cause de la trè6-faible différence de leurs vitesses de propagation. A l'émergence elles reproduiront donc par leur combinaison des vibrations rectilignes qui auront leurs projections sur les axes coordonnés exprimées par

X cos [——fa+àgJ + T-JZ. |,

,^„ +lf '„Wcos[^( 8 . + A*.)- < l+^]

X sin [-j— (z + Aî ) + ^J ,

d'où , en ayant égard à la valeur de <f> — Ç>',

-=tang^ r -Az .

Ainsi, les vibrations qui sont, à l'incidence, parallèles à l'axe des x se trouveront , à l'émergence , inclinées sur cet axe d'un angle égal à

Az„. Si donc k' est plus grand que k", la rotation du plan de

polarisation aura lieu dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre pour l'observateur qui analyse les rayons émergents.

Considérons actuellement un rayon polarisé dans le même plan y z , qui tombe normalement sur la face du milieu la plus éloignée de l'origine et qui par conséquent se propage dans le sens des z négatives. On devra prendre négativement les valeurs de V et de k", et .

par suite, les vibrations circulaires, dans lesquelles on décomposera les vibrations rectilignes incidentes, seront sur la face d'entrée représentées par

Ç=Mos[p-#(z + A* a )-«l], v = as\n[(p — k'(z -\-bz ) - st],

et

pourvu que

£' = a cos [ $ - k" (z Q + Az Q ) - si] , v'^-as'u\[(p , -k"(z o -hàz )- -si],

A l'émergence la combinaison des vibrations circulaires reproduira des vibrations rectilignes qui auront leurs projections sur les axes coordonnés exprimées par

xs,n ( . +-!-*•)'

d'où Ton conclut, en ayant égard à la valeur de @ — <p\

La projection des vibrations émergentes sur le plan xy aura donc la même position absolue que dans le cas précédent; mais, pour l'observateur qui analyse les rayons émergents, la rotation du plan de polarisation paraîtra s'effectuer en sens contraire, c'est-à-dire inversement à la marche des aiguilles d'une montre, si k' est plus grand que k".

Cette opposition des rotations correspondantes aux deux directions inverses des rayons de lumière est précisément le trait caractéristique qui distingue les propriétés des substances influencées par

les forces magnétiques de celles des substances actives. Donc, si l'on admet que le coefficient m soit proportionnel à la composante de l'action magnétique parallèle aux rayons lumineux et qu'il varie de grandeur et même de signe d'un corps à l'autre, les équations (1) pourront, sauf plus ample examen, servir à la représentation des phénomènes (l) . Mais, comme M. Airy l'a remarqué lui-même, on arriverait encore aux mêmes conclusions si l'on introduisait dans les

équations, au lieu de -j? et -rr» des dérivées d'ordre impair quelconque par rapport à t, ou des dérivées d'ordre pair par rapport à z et d'ordre impair par rapport à t, ou même un système quelconque

de ces dérivées. Il suffirait que, dans l'équation oii entre -777» on ne

fît entrer que des dérivées de i/, el vice versa, et que les coefficients des dérivées de même ordre fussent dans les deux équations égaux et de signes contraires. L'expérience , h défaut d'une vraie théorie mécanique, peut seule décider entre ce nombre infini d'hypothèses possibles.

Or, il n'est pas difficile de reconnaître que l'hypothèse simple que nous venons de développer est entièrement inadmissible. La petitesse des rotations magnétiques montre en effet que k et k" diffèrent très-peu l'un de l'autre, et, par suite, que le coefficient m est très-petit. On peut donc poser, avec une approximation suffisante.

V A ^aV W