III

[ dt i " A d: i " m dz T dt'

\lê = k d? +m dë'

dt< ~~ A dz* m de

on y pourra satisfaire en faisant

t; = acos(k'z — «(), ri = a sin (k'z — si) , ou

%=acos(k"z sf).

rj = — a sin ( A*"z — sf) , pourvu que l'on ait, dans le cas des équations (11),

S 2 = A*'* - ms£' 2 , s 2 — À** + ms*" 2 ,

et, dans le cas des équations (111),

*2 = Ajfc'2 m^, s 2 = a/c" 2 + ms 3 .

A cause de la petitesse de m on en peut négliger les puissances supérieures, et conclure du premier groupe de relations

y/A — ms y/A

ms\

à la vérité; mais je crois qu'il est toujours utile qu'un autour fasse connaître la voie mil? qu'il a suivie ilans ses travaux. Si, au delà d'un certain point, celte voie parait se fermer pour lui, elle peut s'ouvrir à d'autres, ou les aider à apercevoir des voies parallèles qui les conduiront plus loin.

et du second,

, , s\/\ +ms s f nis\

j„ s y/i — ms s f ms\

On a donc, avec les équations (II),

K - V ms"

2 aA\/À

avec les équations (III),

k — k' ms'

2 ay/Â

et comme s est inversement proportionnel à la durée des vibrations, ou , ce qui revient au même, à la longueur d'ondulation, il résulte de Tune et de l'autre des deux formules que la rotation magnétique du plan de polarisation est on raison inverse du carré de la longueur d'ondulation. L'un ou l'autre système d'équations différentielles est donc également propre à fournir la représentation approchée des phénomènes, mais ni l'un ni l'autre n'est l'expression exacte de la vérité, car, si l'on y ajoute les termes d'ordre supérieur d'où dépend le phénomène de la dispersion , ils doivent conduire tous deux à une loi s'écartant d'autant plus de la loi approchée du carré des longueurs d'onde que la dispersion est plus énergique. Or on a vu que cette conséquence n'est pas conforme à l'observation.

Je présenterai sur ce point essentiel quelques développements analytiques que je m'efforcerai de rendre aussi indépendants que possible de toute théorie particulière de la dispersion.

Quelle que soit la constitution de l'éther libre ou engagé dans les corps transparents, les équations différentielles de ses mouvements vibratoires doivent être compatibles avec le principe expérimental des interférences, ou plus généralement de la superposition des petits mouvements, et donner en outre une même vitesse de propagation pour deux systèmes d'ondes se propageant en sens opposés, suivant une direction commune. Elles doivent donc être linéaires, à

Verdet, I. — Mémoires. 17

coefficients constants, et ne contenir que les dérivées d'ordre pair des déplacements (y compris peut-être la dérivée d'ordre zéro , c'està-dire le déplacement lui-même). En réalité, les coefficients de ces équations ne peuvent être rigoureusement constants ; dans les corps cristallisés ce sont très-probablement des fonctions périodiques des coordonnées; dans les solides vitreux ou les liquides, ce sont des fonctions des coordonnées, qui dans un espace inappréciable prennent un nombre immense de valeurs oscillant autour de certaines valeurs moyennes, constantes dans toute l'étendue du corps. Mais on conçoit qu'on puisse faire abstraction de ces variations et substituer à l'éther et à la matière pondérable dont un corps transparent est réellement formé un éther fictif, homogène dans toute l'étendue du corps, où les coefficients des équations différentielles soient en conséquence constants (1) . Alors , si l'on se restreint au cas des corps isotropes, et qu'on considère, comme plus haut, un système d'ondes planes normales à l'axe des z, les équations différentielles du mouvement se réduiront a

0£ et O n désignant respectivement les fonctions linéaires de même forme des dérivées paires de Cet de y prises par rapport à 2, ou, en faisant usage des notations symboliques de Gauchy, à

Dtf=<p(D,)£, d;* = <p (D.) v ,

(1) Les travaux des géomètres sur la théorie de la lumière, sauf un petit nombre d'exceptions récentes , se rapportent tous à cet éther fictif, et il me semble que si on a égard à cette remarque on jugera que la seule voie rationnelle en celte matière est celle que Cauchy a ouverte dans ses mémoires sur l'équilibre et le mouvement intérieurs des corps homogènes considérés comme des masses continues (voyez les anciens Exercices de Mathématiques, passim), et que Greena suivie dans son mémoire sur la propagation de la lumière dans les milieux cristallisés (Transactions philosophiques de Cambridge, t. VII, p. 121). Vouloir, comme l'a fait Gauchy lui-même en d'autres travaux , que cet éther fictif ait les propriétés d'un milieu formé de points matériels disjoints et ordonnés comme les sommets des mailles d'un réseau prismatique, c'est faire une hypothèse gratuite et se créer de nouvelles difficultés, peut-être insolubles, telles, par exemple, que l'existence du troisième rayon.

^ étant le signe d'une fonction entière et paire. Elles seront satisfaites par des solutions simples de la forme

%=acos(kz — st+ 0), r)=bcos(lcz — st-\-%), pourvu que

Si l'on suppose ensuite le corps soumis à l'action d'une force magnétique constante en grandeur et en direction, il s'introduira, d'après les remarques de M. Airy, dans l'équation relative à £, une fonction linéaire des dérivées de ri qui sont d'ordre pair par rapport à z et impair par rapport à t, et, dans l'équation relative à v, une fonction linéaire des dérivées correspondantes de £, ayant ses coefficients égaux et de signes contraires à ceux de la fonction précédente. On pourra donc, en conservant les notations symboliques et ayant égard aux lois établies dans mes trois premiers mémoires , écrire ces équations sous la forme

D?g«?(D.)É+m+(D„D,)*, Df w = ^(D I ),-m*(D lf D,)e,

m désignant un coefficient caractéristique de la substance considérée et proportionnel à la composante de l'action magnétique parallèle aux z; $ étant le signe d'une fonction entière, paire par rapport à D t et impaire par rapport à D,. Les solutions simples de ce système seront les deux ondes planes à vibrations circulaires représentées par les formules

£=acos(fc'z — st + 0),

v = asin (k'z — st + 6) ,

et

!; = acos(lc"z — $t + 0),

v = — asm (Ic'z — */ + 0), pourvu qu'on ait

s 2 = <p(À-' 2 )-ro^(*,// 2 ) et * 2 = <p(*'' 2 ) + ro^(sJ<'' 2 ).

En raison de la petitesse du coefficient m, on peut poser &' = /r + e,

et négliger les puissances de s supérieures à la première, ainsi que les produits de m par e. On obtient ainsi, en ayant égard à la relation * 2 = <p(À?),

On trouve de même que k" = k — e, e conservant la valeur qu'on

vient de lui donner. Il en résulte pour le pouvoir rotatoire magné-

k' — k" tique, égal, comme on l'a vu, à ^ précisément cette valeur

elle-même de e.

Le dénominateur de cette expression est facile à calculer si l'on a mesuré un nombre d'indices de réfraction, delà substance considérée, suffisant pour déterminer la relation qui existe entre l'indice et la longueur d'onde. Si, en effet, on appelle V la vitesse de propagation de la lumière dans le vide, T la durée des vibrations lumineuses, X la longueur d'ondulation dans le vide, / la longueur d'ondulation dans la substance transparente, n l'indice de réfraction t» on a évidemment

27T 27rV

La substitution de ces valeurs dans la relation s 2 = ^(/: 2 ) donne d'où l'on conclut, en différentiant,

— — = ** *(*0hr — jrr

et, par suite,

pT^ = v*v w2 Xn ;/x)'

En ayant égard à la valeur de k, l'expression précédente du pouvoir rotatoire devient

et l'on voit que, si la relation entre l'indice et la longueur d'onde est connue au moins d'une manière empirique , il sera possible de comparer les résultats de l'observation avec ceux d'une hypothèse quelconque sur la forme de la fonction ^.

Si, par exemple, les équations différentielles (I) étaient vraies, la fonction >f/ se réduirait simplement à s et le pouvoir rotatoire magnétique p serait donné par la formule

Les équations (II) ou (111) impliqueraient que la fonction \f/ fût de la forme sic 1 ou s z et conduiraient à la formule

ou à la formule

/Vl\ 47T 1 mV / dn\

(VI) P—J^( n - X TX)'

Toute expression propre à représenter la loi de la dispersion peut

servir au calcul de -??; mais, parmi les expressions diverses qui ont

été proposées, soit par les observateurs, soit par les géomètres, la plus simple et la plus commode dans les calculs est la formule de Cauchy,

qu'on peut, indépendamment de toute théorie, regarder comme un simple développement empirique se prêtant avec avantage à l'emploi des méthodes ordinaires d'interpolation. Elle se rapproche d'ailleurs plus de la vérité qu'on ne l'a dit quelquefois (,) . Il m'asulfi, en effet, d'en prendre trois termes pour représenter les indices que M. Gernez et moi nous avons observés, avec un degré d'approximation égal à la précision des expériences. Les tableaux suivants en donnent la preuve.

[,) Voyez la noie I) à \« fin du mémoire.