R 2 ^ R 2 ^ IV
h désignant une très-petite fraction. Les points auxquels tous les éléments de la source envoient des mouvements sensiblement identiques sont contenus dans la partie commune à ces diverses zones, c'est-à-dire dans une calotte sphérique ne différant pas sensiblement d'un cercle qni aurait pour centre le point P et pour rayon
C'est dans l'intérieur de ce cercle seulement que les mouvements vibratoires peuvent être considérés comme concordants sur la sphère S. La valeur de la fraction h n'est passnscep-
mètre carré de la section transversale d'un faisceau solaire il y a, à un instant donné, au moins 600 modes de vibration différents, ce qui peut suffire pour établir la compensation entre les polarisations diverses (1) .
Ainsi la succession et la coexistence des vibrations diversement polarisées doivent être prises également en considération pour rendre compte des propriétés de la lumière naturelle, mais il n'est pas nécessaire de traiter à part des effets de ces deux causes, car tout ce qu'on peut dire de l'une peut se répéter de l'autre. On se bornera donc dans cette étude à considérer les effets d'une succession rapide de vibrations diversement polarisées, conformément à l'usage suivi en général, et on sous-entendra toujours l'effet identique de leur juxtaposition dans un espace très-resserré.
Soient, dans un plan perpendiculaire à la direction d'un rayon lumineux non polarisé, deux axes rectangulaires. L'une quelconque des vibrations qui se succèdent en un point du rayon à de très-courts intervalles pourra être représentée par deux équations de la forme
x = asin%n \f^~ a )'' y = 6sin97r (y + j3J *
tible d'être exactement déterminée, mais elle est certainement moindre que- , et par conséquent le cercle de diamètre égal à
RX
osi une limite supérieure de l'étendue sur laquelle on peut regarder les mouvements vibratoires comme concordants. ^ étant le demi-diamètre apparent de la source vue de la distance II, la proposition contenue dans le texte se trouve démontrée. Ce cercle contient tous les points tels, que la différence des distances de deux d'entre eux à un point quelconque de la source soit moindre qu'une demi-ondulation.
(,) Le défaut de concordance entre les deux vibrations de deux points très-voisins sur la sphère S se constate d'ailleurs par l'impossibilité d'obtenir des franges d'interférence en faisant tomber la lumière d'une source de grand diamètre apparent sur deux fentes étroites, qui donnent des franges très-visibles lorsque la lumière vient d'une source de très-petit diamètre apparent.
ET DE LA LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE. 28» ou, en faisant 97r f?p + aj --=£, *i 7r (/S — a) = $.
x = a sin^, y = b sin (p+<J).
On n'ôtera rien à la généralité de ces équations, et on rendra la discussion plus facile, en supposant que a et b sont toujours positifs, pourvu qu'on regarde S comme susceptible de recevoir toutes les valeurs .comprises entre o et aw : les valeurs comprises entre o et n répondront dans cette hypothèse à des vibrations polarisées elliptiquement de gauche à droite, et les vibrations comprises entre tt et 2?r à des vibrations polarisées elliptiquement de droite à gauche.
Suivant deux autres axes rectangulaires menés dans le même plan , la même vibration elliptique aura pour composantes
x' = #cos&> + ysin&>, y' = — xsinGû+ycoscûy
si co désigne l'angle de l'axe des x avec l'axe des x, c'est-à-dire on développant les valeurs de x et de y,
x = (ncosœ + b cosS sin a>) sin £+ b sin S sina> cos^ , y* =- (- asin<y + ^cos<îcos&>)sinp + 6sin<îcos&> C os£.
Si l'on reçoit le rayon normalement sur un cristal biréfringent orienté de telle façon que les plans de vibration des deux rayons auxquels il donne naissance soient parallèles aux axes des x' et des y\ ces deux rayons seront proportionnels aux intensités des deux composantes représentées par les deux dernières équations, et par conséquent égaux à
m 2 (fl 2 cos 2 a>4-6 2 sin 2 &>-{- ^abcosS sinco cos&>) et
n 2 (a 2 sin 2 û>+i 2 cos 2 û>— sab cos S smv cos<y),
m et n étant deux coefficients très-voisins de l'égalité, mais non exactement égaux (1) . Ces expressions dépendent de l'angle a>, mais
(,) L'égalité absolue n'aurait lieu que si les deux ondes planes engendrées par la double réfraction se propageaient avec la même vitesse , c'est-à-dire si en réalité il n'y avait pas double réfraction.
Veudet, I. — Mémoires. i q
elles varient d'un instant à l'autre avec les paramètres a, b et S, et, pour que le rayon jouisse de la première propriété de la lumière naturelle, il faut et il suffit que les valeurs moyennes, prises pendant un temps très-court, mais assez long pour contenir un nombre trèsgrand d'alternatives, soient indépendantes de oj. Donc, en désignant généralement par M (c) la valeur moyenne ainsi définie d'une quantité quelconque z, il faut et il suffit que les expressions
M (tf 2 )cos 2 a>+ \l(4 2 )sin 2 &> + ^\M (ab cosS)sinck) cosgû
et
M (tf 2 )sin 2 <y-|-M (6 2 )cos 2 û> sM (a4cos<î)sin« cos<w
gardent les mêmes valeurs, quel que soita, et par suite qu'on ait
M(« 2 ) = M(6 2 ), M(<i*cosJ)-o.
La même propriété devant subsister encore après une réflexion totale dans l'intérieur d'un milieu uniréfringent, et en particulier lorsque le plan de réflexion est parallèle ou perpendiculaire à l'axe des x, il faut et il suffit qu'en appelant e la différence de phase qui s'ajoute dans ce cas particulier à la différence S on ait, quel que soit e,
M \ab cos ($+ e)] ---= o ,
c'est-fi-dire à la fois
M(tficos<î)=~o, M(a&sin£) -o.
Ainsi les trois conditions suivantes caractérisent toute succession rapide de vibrations jouissant des propriétés par lesquelles on définit la lumière naturelle :
M(a 2 )^M(6 2 ), M (abcosS)^ o.
\[(aisin£) — o.
Il n'est pas difficile de prouver que, si ces conditions sont satisfaites relativement à deux axes rectangulaires OX et OY, elles le seront par rapport h deux autres axes rectangulaires quelconques OX'
et OY'. Si en effet on représente le mouvement vibratoire décomposé suivant ces nouveaux axes par les équations
*Wsin<p', y'^b'sm(<p + S'),
on doit avoir, d'après ce qui précède ,
a r s\n^ r = [a cosgj + bcosS sincj)sin(p + bsinS sinoj cos£, 6' sin (<p f + $*) = (— asmoû + bcosS cosgj) sin (Ç + isin S cosa> cos£ ,
et par suite , en vertu des règles connues du calcul des interférences
/i' 2 =a 2 cos 2 &> + 6 2 sin 2 a> + aabcosS sincj cosûi,
6' 2 =a 2 sin 2 w+6 2 cos 2 w— 2aicos<îsin*jcos<y,
t^i ~\ 6sin£sina>
tang(<p' — <p) = 7 j-. — *
ovr r/ acos&j-h&cosd sinw
//*/ i7 a\ &sin<îcosû>
tangf^H-^- (p)= : - «—. — •
ovr r/ — asinw4-6cosd sin&>
On déduit de là par un calcul facile
a f b'cosS / = ab cos£(cos 2 <w — sin 2 w) - (a 1 — 6 2 ) sin w cosa> d'UsinS* = ab sin$,
et il est évident, à l'inspection de ces formules, que
M(a' 2 )^M(6' 2 ), M(aWcos<r) = o, M^sin^-o.
Un autre mode de représentation des vibrations elliptiques conduit à une autre expression analytique des mêmes conditions, qui peut être quelquefois utile. On considère à un instant donné les axes de l'ellipse décrite par les molécules d'éther, et on prend pour équations des vibrations relativement à ces axes
Ç=csiny sin>|/, ri=r-.ccosy cosxp,
^ désignant un arc qui varie proportionnellement à an ç' c un co-
efficient positif, et tang y le rapport des axes de l'ellipse; ce rapport est positif ou négatif suivant que la lumière est polarisée elliptiquement de gauche à droite ou de droite à gauche. Si 6 est l'angle que fait Taxe des £ avec l'axe des x, on a
.r=Çcos0 — ysin0, y-=Çsin0 + ycosÔ,
<»t sî Ton pose de nouveau
# = 0sinp. y-= 6sin(^ + <î),
règles connues donnent
a^c v/sin 2 ycos 2 0+cos 2 ysin 2 6 ,
/; = c V^sin 2 y sin 2 6 + cos 2 y cos 2 , .tan g {fp— >J/) = — coty tango, tang(£+<î- \|/) = cotycot0,
et par suite
aécos<î= — c 2 cos iy sin0 cos0, aisin£=c 2 cosy siny.
Les conditions précédentes deviennent donc
M {fûtfy eos 2 0+r*cos 2 y sin 2 0) ==M (c 2 sin 2 y sin 2 0+ c 2 cos 2 y cos 2 0), M (c 2 cos ay sin0 cos0) = o , M (c 2 cos y sin y) = o ,
ou, par des transformations évidentes,
\f (r 2 cos %y cos <* 0) = o ,
M (c 2 cos 3y sin 20)= o ,
M(c 2 siii3y)— - o.
C'est sous cette dernière forme que M. Stokes les a présentées.
Ces conditions peuvent être satisfaites d'une infinité de manières qu'il est inutile de spécifier, mais il est intéressant de rechercher quelle est la combinaison de vibrations la plus simple qui les satisfasse. Une vibration à polarisation constante ayant des propriétés parfaitement distinctes de celles de la lumière naturelle, il faut au moins deux espèces de vibrations diverses alternant l'une avec l'autre. Soient a i9 b x , S^ et a 2 , i 2 , ^2 ^ es paramètres caractéristiques des deux vibrations ; t la durée pour laquelle on prend la moyenne des expressions « 2 , i 2 , abcosS, ab sin S; m i et m^ les fractions de cette durée qui appartiennent aux deux modes de vibration, on aura
M (ab cos S) = m l a l b l cos S L + m 2 a 2 b 2 cos S 2 * M (ab sin £) = m i a l b l sin S x + m 2 a 2 b 2 sin S 2 ;
et par suite, si la succession alternante de ces deux rayons possède les propriétés delà lumière naturelle,
m x a\ + m^al = m x b\ + mj>\ ,
m^b^ cos $i + mtfh.b 2 cos S 2 = , m 1 a 1 b l sin S x + nufl 2 b 2 sin S 2 = .
On déduit immédiatement des deux dernières équations
tang^^tang^,
c'est-à-dire ^ = ^ 2 ou S 1 =tf-\-S 2 . La première hypothèse conduit immédiatement à b } = , « 2 = , ou à 4 2 = , a x = o , c'est-à-dire à deux rayons polarisés à angle droit l'un sur l'autre, dont les intensités a 2 et b\ sont en raison inverse de leurs durées. La seconde hypothèse indique que les deux vibrations doivent être polarisées elliptiquement en sens contraires, et donne de plus la condition
294 CONSTITUTION DE LA LUMIÈRE NON POLARISÉE en la combinant avec la première, on trouve aisément
m 1 m 2 0-j02 + n ^4 = ^i^M^i + m^jftj ,
(mj^fj + w 2 rt 2 ) (^2^2 — m i^\) ~ ° *
d'où
et par suite
Les équations des deux rayons dont l'alternance peut constituer de la lumière naturelle sont donc
a?! =- «j sin^, a? 2 = b { W|^ sinp,
y l =b l sin((p + S l ), Jfa=--«i ySj«n(P+*i)-
Il est évident que les deux vibrations ainsi définies sont polarisées elliptiquement en sens contraires, quelles s'exécutent suivant des ellipses semblables, mais tellement orientées, que le grand axe de l'une coïncide avec le petit axe de l'autre, et enfin que leurs intensités sont en raison inverse de leurs durées relatives. Cette solution comprend comme cas particulier la précédente, car deux vibrations rectilignes perpendiculaires l'une à l'autre peuvent être regardées comme deux ellipses semblables placées de manière que le grand axe de l'une coïncide avec le petit axe de l'autre; en outre, comme dans des vibrations rectilignes il n'y a rien d'analogue aux deux sens de la polarisation elliptique, on peut toujours les assimiler à deux vibrations elliptiques de polarisations opposées.
En ayant égard à cette remarque on peut énoncer comme il suit le résultat des calculs précédents :
La lumière naturelle peut résulter de l'alternance de deux espèces de vibrations elliptiques seulement,
i° Pourvu que les intensités de ces vibrations soient en raison inverse de leurs durées;
2° Que l'une des vibrations puisse être considérée comme dérivée
de l'autre par une rotation de 90 degrés et par une réduction des axes dans un rapport déterminé;
3° Que les deux polarisations elliptiques soient d'espèces contraires.
M. Stokes a proposé d'appeler rayons contrairement polarisés deux rayons polarisés elliptiquement qui présentent l'un avec l'autre les .relations (2 ) et (3°). En adoptant cette définition, on peut dire que le moyen le plus simple d'obtenir de la lumière naturelle consiste à faire alterner l'un avec l'autre deux rayons contrairement polarisés, les durées de leurs alternatives étant inversement proportionnelles à leurs intensités. Un nombre quelconque de couples de rayons contrairement polarisés satisfaisant à ces conditions est encore une solution du problème (l) .
Le théorème qu'on vient de démontrer donne une infinité de manières de constituer de la lumière naturelle; mais il y en a encore une infinité d'autres, sur lesquelles on présentera quelques remarques générales.
Considérons d'abord un système de p — 1 vibrations rectilignes, entièrement arbitraires. Le système satisfera toujours à l'une des conditions caractéristiques de la lumière naturelle, puisque, S ne pouvant être égal qu'à o ou à 7r, on aura nécessairement
M(a6sin£) = 0.
Désignons maintenant par A, B, C les valeurs des trois expressions M (a 2 ), M(4 2 ), M(a6cos<î); c'est-à-dire, faisons
1/1^+ m 2 al + . . . + m p ï a f l = A,
m x b] + m$ + . . . + m p ,éf , = B ,
±#ji J a 1 & 1 ±fji 2 a 2 & 2 ±. . .±.m p x a f x b p __ x =C;
(,) La considération des rayons contrairement polarisés s'offre d'elle-même dans l'étude de la double réfraction du quartz. M. Stokes a fait remarquer que ces couples de rayons
pour que le système jouisse des propriétés de la lumière naturelle, il suffira d'ajouter à ce groupe une p wme vibration définie par les paramètres a p , b p , tn p , et satisfaisant aux conditions
m p aj; + A •-= M p b p + B , àzm p a p b p + C = o,
ce qui a lieu si m p a~, tHpb p sont respectivement les racines positives des équations
et si Ton fait <J-=o ou S=n, suivant que C est négatif ou positif. 11 y a donc une infinité de manières de constituer de la lumière naturelle avec des vibrations rectilignes , sans qu'il soit nécessaire que ces vibrations se répartissent en groupes de rayons contrairement polarisés.
Un calcul semblable montrerait qu'il y a aussi une infinité de manières de constituer de la lumière polarisée avec des vibrations elliptiques d'une forme déterminée, et a fortiori avec des vibrations elliptiques de formes diverses. Il est toujours nécessaire que dans ces divers systèmes les deux espèces opposées de vibrations elliptiques existent simultanément, car avec des vibrations elliptiques d'une seule espèce on pourra satisfaire aux conditions
M(a 2 )==M(/> 2 ), M(abcosS)=^o,
mais non à la condition
M(<z6sin£)=^ o,
ab sin S étant toujours positif ou toujours négatif, suivant que , tétant compris entre o et tt, ou entre tt et 27r, les vibrations sont polarisées de gauche à droite ou de droite à gauche.
M. Dove a effectivement observé que, si l'on fait tourner rapidement un prisme de Nicol sur lequel arrive de la lumière naturelle, le faisceau émergent a toutes les propriétés de la lumière naturelle;
jouissent exclusivement de la propriété curieuse de donner par leur superposition une intensité indépendante de la différence de marche.
mais si Ton fait tourner avec la même vitesse et dans le même sens que le prisme de Nicol une lame de mica, le faisceau émergent, formé de vibrations elliptiques identiques dirigées dans tous les azimuts, produit les mêmes phénomènes de polarisation chromatique qu'un faisceau polarisé circulairement (1) . Pour obtenir de la lumière naturelle il aurait fallu laisser le prisme de Nicol immobile et faire tourner la lame de mica, ce qui aurait changé le sens de la polarisation elliptique à chaque demi-révolution.
Au point de vue d'une théorie tout à fait rigoureuse, ces expériences de M. Dove sont plutôt une imitation des propriétés de la lumière naturelle qu'une reproduction exacte de sa constitution. Un rayon polarisé dont le plan de polarisation tourne avec une vitesse uniforme doit être, ainsi que Ta fait remarquer M. Airy (2) , considéré comme étant réellement la superposition de deux rayons polarisés circulaireraent en sens contraires, dont les périodes de vibration ne sont pas les mêmes. Soient en effet
# = acos&>sin97r (™ + a)i
y =rtsin<ysin97r (^ + aU
les équations d'une vibration rectiligne qui fait avec l'axe des x un angle ai; si l'on suppose que co varie proportionnellement au temps, en sorte que û> = /x+W, on aura
*c=^tfcos(/x + w)sin*j7r (tp + «) y = a sin (p + vt) sin 37r L-p + et)
et, par une transformation connue,
Y~^ V ) *+awa + jK +-sin l-jï —vj f+27ra — fiU
y=— 2 C0S Lvt +, 7 '+ 97ra +f'J+~ C0S [ ( y~~ v ) t+ 27ra ~'/ x J
l) Poggendorff's Annalen , t. LXXI, p. 97.
*> UndiUatory theory qf Light , art. 1 85 (3 e édition).
et ces équations représentent évidemment la combinaison de deux vibrations circulaires de périodes différentes définies par les deuxgroupes d'équations
j^^sin [(y + ,; ) f + a** + pj' et
a . f f'àir \ |
y>, — - cos f ?» — v J t 4- ^^"« — p •
Les mêmes remarques s'appliquent aux deux composantes d'une vibration elliptique , et par conséquent à la vibration elliptique ellemême.
Mais dans toute expérience du genre de celle de M. Dove la décomposition d'un faisceau polarisé tournant en deux faisceaux de périodes diverses, et par conséquent différemment réfrangibles et différemment colorés, est absolument inappréciable. Les nombres
de vibrations de ces deux faisceaux sont représentés par ™ + — , et
^ y c'est-à-dire, si l'on suppose que le prisme de Nicol fasse
îooo révolutions par seconde, sont entre eux comme 6oo billions plus l'unité et 6oo billions moins l'unité, pour une lumière de longueur d'onde égale à o inm ,ooo5. Il n'y a aucun moyen d'établir entre de pareils rayons une séparation sensible. Une vitesse d'un million de tours par seconde serait encore très-éloignée d'être suffisante.
On reproduirait encore les propriétés de la lumière naturelle en faisant tourner un prisme de Nicol au devant d'un parallélipipède de Fresnel qui établit une différence de phase d'un quart de circonférence entre la composante du mouvement vibratoire parallèle au plai de réflexion, et la composante perpendiculaire. La vibration rect»ligne issue du prisme de Nicol serait ainsi transformée en une vibntion elliptique dont les axes auraient une situation fixe, mais où le rapport des axes prendrait successivement toutes les valeurs possibfes et où la direction du mouvement changerait à chaque demi-révoù-
tion. Celte expérience donnerait lieu aux mêmes remarques que l'expérience de M. Dove. Si le prisme de Nicol accomplissait n révolutions par seconde, on aurait, pour représenter à chaque instant le mouvement vibratoire, les deux équations
#=- tfcos37r ntsin 27r ™i
y = n sin*j7r ntcos Q7r ^ ,
et le même mode de transformation donnerait
X~= -sin27T (j + w) J+7 SU1Q7T fïf "" ") ',
y=^-sin97r (j + w ) t sin air u-p — -n) l>
ce qui permettrait de regarder le système comme résultant de la superposition de deux vibrations rectilignes de périodes différentes polarisées à angle droit , définies par les groupes d'équations
x l •■■-- - sin 27T ( j + n j t,
y, ^ j sin aw (£ + »)/,
et
x 2 — - sin 27r ( ™ — n) t,
y 2 = --smaw (j — wjf.
Dans toute expérience réelle cette remarque serait d'ailleurs sans importance.
Ces développements conduisent à une conséquence curieuse que M. Àiry a sommairement indiquée sans la démontrer en détail, c'est que les changements qu'éprouvent dans la lumière naturelle la forme et l'orientation des ellipses de vibration ne peuvent être supposés continus si la lumière est absolument homogène. Tout changement continu d'une vibration elliptique consiste en effet en une série de rotations infiniment petites des axes de l'ellipse , accompagnées d'aï-
térations infiniment petites simultanées du rapport des grandeurs des axes, et chacune de ces altérations élémentaires elles-mêmes peut être censée résulter de la combinaison de mouvements vibratoires de longueurs d'ondulation différentes. L'homogénéité absolue de la lumière n'est donc compatible qu'avec des changements tout à fait brusques et discontinus; une homogénéité sensiblement équivalente à l'homogénéité absolue admet des changements continus très-lents par rapport aux vibrations de la lumière; mais des changements continus qui s'accompliraient avec une vitesse comparable à celle du mouvement vibratoire résulteraient en réalité de la superposition de rayons diversement réfrangibles en même temps que diversement polarisés.
A une époque récente, un physicien allemand, M. Lippich, a prétendu qu'il n'y avait d'autre lumière polarisée que la lumière hétérogène , et que les apparences de la lumière naturelle sont dues à la combinaison de deux ou plusieurs rayons de longueurs d'onde différentes. Les développements donnés dans ce mémoire me paraissent suffisants pour établir qu'il est inutile, pour rendre compte des faits observés, d'avoir recours à une théorie aussi paradoxale (1) .
Un autre physicien allemand, M. Stefan, a cru démontrer par l'expérience que la lumière naturelle ne contenait que des vibrations rectilignes, à l'exclusion des vibrations circulaires ou elliptiques (2) . Sa démonstration n'est pas exacte, mais l'importance que l'Académie de Vienne a donnée au mémoire de M. Stefan en le couronnant ne permet pas d'en négliger l'examen.'
On peut d'abord remarquer que l'assertion de M. Stefan ne saurait êlre prise pour absolue , et ne pourrait s'appliquer tout au plus qu'à des lumières d'origine déterminée, mais non à toute espèce de
(,) Le mémoire de M. Lippich a été publié dans les Comptes rendu» de l'Académie de Vienne pour i863.
M Voyez les Compte* rendus de V Académie de Vienne pour s 863, les Annales de Poggettdorff, A c livraison de i865, et les Mondes, livraison du 3 juin 1 865.
lumière non polarisée. Quand bien même il serait vrai, par exemple, que la lumière solaire ne contient que des vibrations rectilignes, en la faisant réfléchir totalement dans un parallélipipède de Fresnel , on transformerait ces vibrations rectilignes en vibrations elliptiques, sans lui faire perdre les propriétés caractéristiques de la lumière naturelle. Au reste, M. Stefan parait avoir lui-même senti cette difficulté, car il a soin de mentionner les sources de lumière qu'il a soumises à l'expérience (lumière solaire, lumière Drummond, lumière d'une lampe ordinaire, lumière dépolarisée par diffusion), et il annonce l'intention d'étendre ses recherches à d'autres sources.
Mais la conclusion que M. Stefan a prétendu tirer de ses expériences est fondée sur un raisonnement inexact , quoique peut-être spécieux. M. Stefan remarque d'abord, ce qui est parfaitement juste, que si l'on divise en deux parties un faisceau polarisé rectilignement , et qu'on fasse tourner de 90 degrés le plan de polarisation d'une des parties, il est impossible de produire des phénomènes d'interférence par la réunion ultérieure des deux faisceaux ainsi obtenus, tandis que, si l'on effectue une expérience analogue sur la lumière polarisée elliptiquement, la possibilité d'interférer subsiste, le résultat de la rotation de 90 degrés n'étant que d'amener le petit axe des ellipses de l'un des faisceaux sur le grand axe des ellipses de l'autre, et vice versa; sur la lumière polarisée circulairement, une rotation de 90 degrés est évidemment sans aucun effet. De là l'expérience suivante : Soit le système d'un collimateur, d'un prisme et d'une lunette donnant un spectre bien pur et bien net. Si l'on recouvre d'une plaque de verre la moitié de l'objectif du collimateur ou de la lunette qui est tournée du côté de l'arête réfringente du prisme , le spectre devient sillonné de bandes noires équidistantes, dont les lois ne peuvent s'établir rigoureusement que par une théorie assez compliquée (l) , mais qui résultent en définitive de la différence de marche établie par la plaque entre les deux moitiés du faisceau lumineux.- Si l'on substitue à la plaque de verre une plaque de quartz perpen-
(*) Voyex le mémoire de M. Slokes sur la théorie de certaines bandes vues dans le spectre, dans les Transactions philosophiques pour 18/18.
diculaire à Taxe, qui fasse tourner de 90 degrés le plan de polarisation des rayons d'une longueur d'onde déterminée, les vibrations rectilignes qui peuvent entrer dans la composition de la lumière naturelle ne contribueront plus à la formation des bandes d'interférence dans la région correspondante du spectre; il semble au contraire que les vibrations elliptiques devront continuer d'interférer d'une manière plus ou moins sensible. M. Stefan ayant vu les franges disparaître dans cette région (1) et devenir d'autant plus intenses qu'on s'en écartait davantage jusqu'à la région où la rotation atteignait 180 degrés, il en a conclu qu'il n'y avait dans la lumière naturelle que des vibrations rectilignes.
L'erreur de ce raisonnement consiste dans la confusion des effets des vibrations elliptiques polarisées en sens opposés. Il est facile de voir en effet que si, dans la région du spectre correspondant k la rotation de 90 degrés, les vibrations elliptiques polarisées de droite 5 gauche doivent donner en un certain point un maximum d'intensité, les vibrations elliptiques polarisées de gauche à droite doivent donner au même point un minimum, et vice versa; de sorte que, s'il y a dans la lumière naturelle compensation exacte entre les deux espèces opposées de vibrations, aucune bande d'interférence ne doit être visible. Soient
£-=asinp, >/ = 6cosp,
a et b étant supposés de même signe, les équations d'un rayon polarisé elliptiquement de gauche à droite. Si l'ellipse des vibrations tourne de 90 degrés vers la droite dans son plan, ces équations deviennent
£' = bcos<p, 1/' = — asin^;
enfin , si les rayons définis par ces deux systèmes d'équations viennent concourir au même point, après qu'il s'est établi entre eux une différence de phase <J, les équations du mouvement résultant sont
x=- |+ g=asin(p + Acos(p - S) , y =-v + ri'^bcos$ — a&m(<p -S),
(1) Avec la plaque de quartz dont M. Stefan faisait usage, cette région était entre la raie G et la raie D , mais très-voisine de la raie G.
et les règles ordinaires de l'interférence donnent pour l'intensité correspondante
2 (a 2 + 4 2 + sabsinS).
Si l'on fait un calcul semblable sur la lumière polarisée elliptiquement de gauche à droite, on doit changer le signe d'un des coefficients a ou b , et l'expression à laquelle on parvient est
a(a 2 +4 2 — sabcosS),
et il est clair que la moyenne des deux intensités ainsi déterminées,
savoir :
est indépendante de la différence de phase S. Par conséquent, toute lumière où il y aura compensation entre les deux espèces de polarisation elliptique ne donnera aucune frange d'interférence dans une expérience pareille à celle de M. Stefan. Il est donc inutile de rien changer à l'idée qu'on se fait généralement de la lumière naturelle.
Lorsqu'un faisceau de lumière naturelle est soumis à une action qui modifie dans des rapports différents les intensités des composantes du mouvement vibratoire parallèles à deux plans rectangulaires, on dit que le faisceau résultant est partiellement polarisé (,) . Le plan parallèle à la composante dont l'intensité est devenue la plus faible s'appelle le plan de polarisation partielle.
Or, si l'on représente par a! et V dans le faisceau modifié les analogues de a et de b dans le faisceau naturel primitif, par p et a les
d h' iii
rapports constants -i ti on aura
(,) Il est indifférent qu'en même temps que les intensités des composantes se modifient dans des rapports différents une quantité confiante s'ajoute à leur différence de phase, car cette addition laisse à la lumière naturelle toutes ses propriétés.
304 CONSTITUTION DE LA LILVHÈRE NON POLARISÉE
et comme M (a 2 ) = M (6 2 ), puisque le faisceau primitif n'est pas polarisé, M (a' 2 ) et M (6' 2 ) auront des valeurs différentes. D'ailleurs on aura évidemment
M (a'b'cosS) =pqM (abcosS) = o .
M{Jb'sinS)^pq}ll(abs\nS)^o.
Donc les vibrations diverses qui par leur succession constituent un rayon partiellement polarisé doivent satisfaire aux équations suivantes, où A et B désignent deux nombres quelconques différents l'un de l'autre,
M(abcos$) = o,
M (a6sin<î) = o,
lorsque les axes coordonnés sont l'un parallèle et l'autre perpendiculaire au plan de polarisation partielle.
Lorsqu'on change la direction des axes coordonnés, on a, en vertu des calculs développés à l'article III, w étant l'angle de l'axe des x avec l'axe des x,
M (a' 2 ) = M (a 2 ) cos 2 <y + M (**) sin 2 <y , M(6' 2 )=M(fl 2 )sin 2 w + M(6 2 )cos 2 & ;, M (a'V cos<T) = [M (4 2 ) - M (« 2 )] sin * cos*>, M(a'i'sin<T) = o.
Réciproquement, si une succession de vibrations est telle, qu'on ait
M(abs\n$) = o<
cette succession constitue un faisceau partiellement polarisé. Soient en effet A, B, C les valeurs des trois expressions M (a 2 ), M(6 2 ), M(abcos$); A', B', C ce que deviennent ces expressions lorsqu'on passe du système donné d'axes rectangulaires à un autre système défini par l'angle oj compris entre l'axe des x' et l'axe des x, on aura
A' — A cos 2 œ + B sin 2 œ 4- 2C sinw cosw, B' = A sin 2 co + B cos 2 w — qC sina cos&>, C' = C(cos 2 ûj — sin 2 w) — (A — B)sino>cos&>,
et on trouvera toujours deux valeurs de co différant entre elles de 90 degrés, telles que C — 0, en résolvant l'équation
tang 2 ctH ç — tangw— 1 -- 0.
L'une de ces directions sera parallèle et l'autre perpendiculaire au plan de polarisation partielle. On donnera plus loin les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients A, B, G pour convenir à un système réel de vibrations.
Les axes coordonnés étant l'un parallèle et l'autre perpendiculaire au plan de polarisation partielle, le faisceau polarisé partiellement est entièrement défini par les coefficients A = M(« 2 ), B = M(6 2 ). En posant A = B-f- A— B, si A est plus grand que B, on peut considérer le faisceau polarisé partiellement comme constitué par un groupe de vibrations d'où résulterait un faisceau naturel d'intensité égale à sB, et un groupe de vibrations rectilignes d'intensité égale à A — B, polarisées dans le plan de polarisation partielle. L'expression de faisceau partiellement polarisé se trouve ainsi justifiée.
