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Les calculs développés dans l'article III de ce mémoire conduisent encore aux deux conséquences suivantes :

Premièrement, les valeurs moyennes des composantes parallèles à deux axes rectangulaires d'un système quelconque de vibrations dépendent des valeurs moyennes A et B relatives à deux axes donnés, et d'un troisième coefficient G = M (abcosS). L'action d'un analyseur biréfringent sur le système des vibrations est donc entièrement déterminée par ces trois coefficients.

En second lieu, si l'on ajoute à chaque instant une quantité arbitraire constante à la différence des phases de ces deux composantes au moyen de la réflexion totale ou du passage à travers une lame cristalline, le coefficient C change de valeur et sa variation dépend d'un quatrième coefficient D = M (ab sinS).

Par conséquent, si les valeurs de ces quatre coefficients sont con-

Verdet, I. — Mémoires. «0

nues, toutes les modifications que pourra éprouver le système par réflexion, réfraction, double réfraction, sont entièrement déterminées, et deux systèmes pour lesquels ces coefficients ont les mêmes valeurs jouissent de propriétés tellement identiques, qu'aucun des phénomènes qu'on vient d'énurnérer ne permet de les distinguer l'un de l'autre.

II existe encore un mode particulier d'analyse de la lumière, trèspeu usité pratiquement, mais d'une grande importance théorique, consistant à recevoir la lumière sur un cristal doué de pouvoir rotatoire qui la décompose généralement en deux rayons à vibrations elliptiques contrairement polarisées. Le calcul suivant fait voir que, soumis à ce mode d'analvse, deux svstèmes de vibrations diversement polarisées, pour lesquels les quatre coefficients A, B, C, D ont les mêmes valeurs, produisent encore les mêmes effets. Soient toujours, à un instant donné,

x a sin ^ ,

les équations d'une vibration particulière. Décomposons cette vibration en deux vibrations elliptiques contrairement polarisées et telles, cjue le grand axe de l'une fasse un angle ca avec l'axe des x. Rapportées à leurs axes, les équations de ces vibrations elliptiques seront de la forme

!= r sin y sin ((p 4 0),

y- rcosycos((p -}-#),

£' r'cosysin(<p + 0'),

v ' r r'siny cos(^-| -ff),

et, pour qu'elles reproduisent par leur superposition la vibration donnée, il fondra que

x cos&> + y sin &>=---£+ £', — x s\i\ù> -}- y cosco = y + y\

c'est-à-dire, en développant chaque équation et égalant les coelfi-

ET DE LA LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE. 307 cients de sin^ et de cos£ dans les deux membres de chacune d'elles,

a cos a; + b cos Jsina - c cosô siny + c eus ff cosy, b sin^sinw - c sin# siny + c sin ff cosy, — a sina> + b coS(îcos<y-= c sin 6 cosy -\- c sinô' siny, b sinS coso -^ r cos6 cosy — c'cosfl'siny.

On déduit de \h> par des calculs faciles,

c cos0 - a siny cos<w + b cos S sin y sin oj+ b sin^cosy cos a;, csinfl- fcsin<îsiny sin co + a cosy sin gj — bcosScosy cosw,

r 2 -=- cos 2 y (tf 2 sin 2 w + b 2 cos 2 a; — 20/; cos <$\sin&> cosa>) + sin 2 y (« 2 eos 2 <y + b 2 sin 2 a; + 2 ai cos <£ sin œ cos a;) + 2 siny cosy ab sin £( cos 2 ûj — siii 2 a>);

c cosff — a cosy cosa> + b cos Jcosy sin œ — b sin S siny cosai, c' sin^ — b sin £ cosy sin a; — a siny sin w + b cos^siny cosw,

c' 2 — cos 2 y (a 2 cos 2 &; -f- b 2 sin 2 ai + ûab cos S sine* cosûj) + sin 2 y (a 2 sin 2 <y + 6 2 cos 2 &> — nab cos usinai eos*>) — 2 siny cosy a6sinJ(cos 2 (W sin 2 &;).

Si l'on reçoit le rayon lumineux considéré sur un cristal à double réfraction elliptique tellement choisi que, dans les vibrations elliptiques des deux rayons auxquels il donne naissance, le rapport des axes soit égal à tang y, les intensités de ces rayons seront respectivement égales aux produits de c 2 et de c' 2 par des coefficients trèsvoisins de l'égalité, et leurs intensités moyennes seront proportionnelles à M (c 2 ) et M (c' 2 ), c'est-à-dire à

cos 2 y (A sin 2 û)+B cos 2 <y— 2C sinwcosû;) + sin 2 y(Acos 2 û)+Bsin 2 û>-f- 2Csinwcosa>) -j- 2 siny cosyD (cos 2 *;- sin 2 a;),

cos 2 y (A cos 2 ct>-f Bsin 2 a>-f-2C sin^cosey)

-f-sin 2 y (Asin 2 w-f-B cos 2 <y — sGsina cos*;)

— a siny cosy D (cos 2 w- sin 2 o>).

Elles ne dépendront donc que de A, B, C, D.

Ainsi tous les systèmes de vibrations où les quatre coefficients A,

B, C, D ont les mémos valeurs ont exactement les mêmes propriétés et ne peuvent être distingués les uns des autres par aucun moyen. On peut donc, avec M. Stokes, les appeler systèmes équivalents.

Une seule question reste encore à examiner, celle de savoir si les divers systèmes de vibrations caractérisés par des valeurs diverses des coefficients A, B, C, D peuvent se répartir en un petit nombre de groupes, présentant chacun un ensemble de propriétés communes, ou s'il faut se borner dans chaque cas particulier à déterminer, par une application des méthodes précédentes, les propriétés des divers systèmes qu'on rencontrera.

Il faut remarquer d'abord qu a tout système de valeurs numériques des coefficients A, B, (1, D ne répond pas nécessairement un système possible de vibrations diversement polarisées. I) est bien évident, par exemple, que les coefficients C et D ne sauraient être tous deux très-grands par rapport aux coefficients A et B. 11 est même facile de démontrer qu'on a nécessairement, dans tout système réel de vibrations,

AB ((?+D*);>o.

En effet, si l'on reprend les notations de l'article IV, on a

AB=--(m 1 «^ + wM l 2+ • • ^(wii^iH-w'a^a'r- • • -h C 2 -rD 2r - (ntj^/j] cos^j -f- m 2 a 2 b 2 cos$. 2 -\- • • •)"

-f- (m l a ï h l sin<£, + m 2 a 2 b 2 sin£> -f- . . . ) 2 .

et on groupe aisément les termes de ce* deux expressions de manière à leur donner la forme suivante :

AB = m$i\\i\ -r ii&iffîy + • • • -f- «V w -j ("^'l ~l~ f **J*$ + • • •

C 2 ■ D 2 m\n\V\ -!- mia 2 b 2 + . . . -f- •ïwi,//* 2 ^ 1 A.y/. 2 /> l cos ( S x — S^- • . . -r xmfmjijbftbf cos (S p — • <^) --;- ....

Il en résulte que AB- (C 2 -f-D 2 ) se réduit a une somme de termes de la forme

m p m q [<ï;P+ <r 6* - 9 vV'A cos ( V *f ) J : or chacun de ces termes est évidemment plus grand que

c'est-à-dire qu'une quantité qui est toujours nulle ou positive. AB (C- + D-) est donc nécessairement nul ou positif.

Si d'abord on suppose AB (G 2 -j- D 2 ) égal à zéro, le système est équivalent à une vibration unique, invariable de forme, de grandeur et de position, car en faisant

/i 2 ----A, // J -=B, tangJ— -■»

on a

abcosS^s/^-— .= Ç.

absinS = \/Â* , D -P.

Si AB est plus grand que C 2 + D 2 , il y a une infinité de systèmes satisfaisant aux conditions

M(a a )-A, M(P)-B, M(a6cos<?) = G, M(«6sin<?) = D.

En effet, AB étant plus grand que C 2 + D 2 , on peut trouver une infinité de groupes de nombres A' et B' tels, que l'on ait

Les nombres A 7 , B', G , D peuvent être considérés comme caractéristiques d'une vibration elliptique déterminée, et si Ton suppose que cette vibration alterne avec des vibrations constituant un faisceau partiellement polarisé suivant Taxe des x ou Taxe des y, dont les composantes parallèles à ces axes soient A - A' et B — B', on aura obtenu un des svstèmes caractérisés par les valeurs données de A, B,G,D.

Parmi les systèmes en nombre infini qui jouissent tous des mêmes propriétés, il en est un qui par sa simplicité offre un intérêt particulier : c'est le système pour lequel A — A' = B — B', et qui en conséquence peut être représenté par un faisceau de lumière naturelle et par un faisceau de lumière elliptique. Ces deux faisceaux sont l'un et l'autre entièrement déterminés. En appelant H la valeur commune de A — A' et B - B'. on aura en effet

d'oi

Ces deux valeurs sont réelles et positives, mais la plus grande étant supérieure à A et à B, la plus petite répond seule à la question, de sorte que

H ... iz±* 1 v '(T=~B7-:-4(C^D r ) .

Le double de cette expression est l'intensité du faisceau de lumière naturelle qui peut être censé entrer dans la constitution du faisceau que Ton considère. Les éléments du faisceau elliptique qu'il y faut joindre sont d'ailleurs

a 2 =- A H - — - + - y '(A - B)»-M ((:• + DM

A*---B-H=— -^— - + ~ v /(A-Br-i-4;C ï 4-D'),

Ainsi tout faisceau lumineux homogène peut être constitué par des proportions déterminées de lumière naturelle et de lumière polarisée à vibrations rectilignes, circulaires ou elliptiques. On peut dire, en généralisant des expressions usitées, que tout faisceau lumineux est polarisé, naturel ou partiellement polarisé. Les caractères de la polarisation complète et de l'absence de toute polarisation sont connus; ceux des divers genres de polarisation partielle sont maintenant faciles à apercevoir.

i° Si un faisceau lumineux peut être censé formé d'un faisceau naturel et d'un faisceau polarisé rectilignement, les deux faisceaux en lesquels il se partage lorsqu'il rencontre sous l'incidence normale un cristal biréfringent ont des intensités variables avec l'orientation du cristal; l'intensité de chaque faisceau réfracté est maxima lorsque son plan de vibration est parallèle au plan de vibration de la lumière polarisée qui dans le faisceau incident se superpose à la lumière naturelle, et minima lorsqu'il lui est perpendiculaire. Le plan perpendiculaire à ce plan de vibration est, dans l'hypothèse de Fresnel, le plan de polarisation partielle. Une réflexion totale opérée dans le plan de polarisation partielle ou dans le plan perpendiculaire ne modifie pas les propriétés du faisceau; une réflexion totale opérée dans un autre plan transforme la lumière polarisée rectilignement en lumière elliptique, sans produire d'effet sur la lumière naturelle, et par conséquent modifie les propriétés du faisceau. C'est à un pareil faisceau qu'on applique ordinairement d'une manière exclusive l'expression de faisceau partiellement polarisé. On pourrait lui substituer celle de faisceau en partie polarisé rectilignement.

2° Si le faisceau lumineux peut être censé formé de lumière polarisée circulairement et de lumière naturelle, les intensités des deux faisceaux dans lesquels il est divisé par un analyseur biréfringent sont indépendantes de l'orientation, comme dans le cas de la lumière naturelle, mais ses propriétés sont modifiées par la réflexion totale qui transforme les vibrations circulaires en vibrations elliptiques ou rectilignes. La rotation uniforme d'une vibration elliptique de sens, de forme et de grandeur invariables est un moyen d'obtenir un pareil faisceau. On pourrait, pour le désigner, employer l'expression de faisceau en partie polarisé circulairement.

3° Si le faisceau peut être censé formé de lumière polarisée elliptiquement et de lumière naturelle, les intensités des faisceaux dans lesquels il est divisé par un analyseur biréfringent dépendent de l'orientation, comme dans le cas de la polarisation rectiligne partielle; mais la réflexion totale modifie toujours les propriétés du faisceau , dans quelque plan qu'elle s'opère. On pourrait désigner un pareil faisceau en disant qu'il est en partie polarisé elliptiquement.

Dans d'assez nombreuses recherches, particulièrement dans les expériences polari métriques, on a considéré comme lumière partiellement polarisée la lumière qu'on obtenait en superposant deux faisceaux inégaux, polarisés à angle droit, issus d'un même faisceau primitivement polarisé et présentant l'un par rapport à l'autre une très-grande différence de marche. Si les deux faisceaux superposés étaient égaux, on considérait la lumière comme naturelle. En réalité, dans ces expériences, chaque lumière homogène avait un état de polarisation déterminé; mais, cet état variant très-rapidement avec la longueur d'onde, à cause de la grande différence de marche, les polarisations les plus diverses appartenaient à des rayons que l'œil est incapable de distinguer, et, tant qu'on laissait le faisceau indécomposé, les propriétés de la lumière naturelle ou de la lumière partiellement polarisée étaient très-suffisamment imitées. Mais les expériences de MM. Fizeau et Foucault ont fait voir depuis longtemps quelle est la constitution réelle d'un pareil faisceau.