III. — Convergence de la série

Il reste à examiner les conditions de convergence de la série (38). Nous nous bornerons au casleplus intéressant, celui où le sphéroïde n'est soumis à aucune influence. Les formules de résolution (Sp) se réduisent alors à

eo =

sino) cfio d^ >

V^*2< I — COS(i>)

Montrons d'abord, ce qui est loin d'être évident au point de vue analytique, que Cm est toujours fini ; il suffit de prouver que la parenthèse (e'^^m-h <?'| <^w-i -}-... 4- e'^^^a^) ne devient jamais infinie, puisque Fintégrale

^K ^0 /■>■(» — cosw)

a la valeur finie /\7z.

La relation récurrente qui lie les fonctions Cm de proche en proche montre que cette parenthèse est finie en même temps que les coefficients Om^ Or ces coefficients, définis par la relation (36), sont des fonctions entières, homogènes et de poids m des b et des c. Si Ton se rappelle les conclusions du paragraphe I, on verra que bm est une fonction linéaire, homogène et de poids //î, des quantités G|, Go, H|, Hg, /t<, /<2,que Cm est une fonction linéaire.

homogène et de poids m, des quantités ri ^ H,, Ho, A',, /*!, [formules (33) et (38')]. Parmi ces quantités, les seules qui pourraient devenir infinies, et cela pour to = o, sont G| , Ga, Ho, //'.,. Nous allons faire voir qu'il n'en est rien.

A cause de l'absence supposée de singularités, on peut, dans les environs du point M(p, 0, ♦}), développer n^ par la formule de Ta^lor

Si le point M est sur la ligne de séparation de deux portions raccordées de surfaces différentes, les dérivées secondes de n auront en général des valeurs différentes de part et d'autre de cette ligne.

Quand w a une valeur infiniment petite rfco, 8' et ^' ont des valeurs -h rfO et '} 4- d*!f très voisines de 6 et de A. Les formules de transformation (22) donnent alors pour rf9 et d*l les expressions

dd = coscp dtû.

^ sinO

Si donc on pose

il viendra

an si no an

. d^n sinç d^n sin*9 à^n

'■ = ^=0^'? dôi -^ "• *="'? iiiTO <>0-7Â^ + ii^O -4'

Substituant cette valeur de n' dans les formules (33) et (33'), 011 Ton remplacera sino) parrfto, i — cosco par — > on trouvera pour valeurs limites de G|, G^, Ho

n^ Gi = in — r, G* = h m- — mf, 11^ = n^ -+■ u^.

Ainsi, même pour to = o, G< , G2, 11^ demeurent finis ; mais alors ils deviennent indéterminés, puisqu'ils dépendent de l'angle co,

26 DISTRIBUTION DE l'ÊLKCTRICITÉ.

c'est-à-dire du chemin que suit le point M' pour se rendre au point M.

Pour prouver que la quantité

ne devient pas infinie pour lo = o, il suffit de montrer que — est

aux environs du point M du même ordre que sino):= rfw. Cela résulte de l'expression précédemment trouvée pour /i', qui, différentiée par rapport à cp, donne

dn , du , / . dn

— = aw — = dtsi ( — sin o —r

coso ân\ sinO 0^ /

Ainsi les coefficients (?m de la série (38) ont toujours des valeurs finies et, de plus, déterminées, car l'indétermination du seul élément qui correspond à w = o ne peut influer sur les intégrales qui représentent ces coefficients.

Cherchons maintenant une limite inférieure de convergence de la série

(38') e — €o-h ei-{- Ci-^-. . .-+- €f„-^. . ..

Si Ton désigne par ^\om la plus grande valeur absolue de ami par Co^ C|, C2', • • ., Cm, . . . une suite de quantités dont la première est égale à Cq et dont les autres sont déterminées par la relation

on voit, en se reportant aux formules (4^), que Cm est une limite supérieure de <?,„. La convergence de la série (38') est alors entraînée par celle de la série

On peut remarquer que la série C diverge, si l'un quelconque des fA^m est supérieur ou égal à l'unité. En eflet, Cm est visiblement une fonction entière, de poids m, homogène quant au poids, à coefficients tous entiers et positifs, des quantités positives «ilo.

Si p est un diviseur de m, Cm contiendra le terme CqX^ avec le

coefficient 4- i • On peut prendre m aussi grand qu'on veut; si ^Ay, est supérieur ou égal à i, Cm ne tend pas vers zéro.

On reconnaît aisément que la série C converge si y/^,V>,w est constamment inférieur à un nombre plus petit que j. Cette condition exige que le sphéroïde ne soit pas trop différent de la sphère; en effet, la grandeur des quantités tlv« dépend de l'cxcentricilé du sphéroïde, puisque a„, est une fonction homogène, de degré

1 On On , dn' ô/i' m* n ^ i •. » •

entier m. de n, -=-> -p» n\ — » — • Malheureusement le critérium

de convergence suffisante qui vient d'être indiqué limite beaucoup plus qu'il n'est nécessaire le domaine dans lequel peut se mouvoir cette excentricité.

Lorsque la série (38') n'est pas convergente, la méthode n'est pas applicable au sphéroïde donné; mais elle convient certainement encore aux sphéroïdes intermédiaires, définis par l'équation p = R(i 4- a/î), pour toutes les valeurs de a inférieures à