t/y c/o i-coso) /2(i — cosa>)J

On résout ainsi, par une intégrale définie, le problème que Poisson a résolu au moyen d'un développement en série de fonctions sphériqucs.

Lorsque le rayon vecteur du sphéroïde est, pour toutes les régions de la surface, une même fonction des deux angles et A, nous dirons que le sphéroïde est simple; nous dirons qu'un sphéroïde est composé s'il est formé de portions raccordées de sphéroïdes simples. Le problème de l'équilibre électrique d'un sphéroïde composé se simplifie lorsqu'on connaît la distribution de l'électricité sur chacun des sphéroïdes simples, supposés complets, qui composent sa surface.

Pour fixer les idées, nous supposerons que ces sphéroïdes simples sont au nombre de deux seulement. Soient w, /?| leurs excentricités en un quelconque de leurs points. Désignons par e la densité électrique en un point de la portion du premier sphéroïde simple conservée dans le sphéroïde composé, pour un potentiel égal à V; par e la densité connue au même point du premier sphéroïde simple, supposé complet, pour le même potentiel; par^i, £i les quantités analogues à e, e pour le second sphéroïde simple. Je dis que l'on aura

V r r n'—n\ sincorfw^^^

j ^ ~ " "^ iGtTÎR J J I — COSW y/2(l — COSW)'

^rr ^\ — f^' sin (0 dix) do

^*~'*"^ lV)Tri\{J J I--COSCO /2(1 — COSOi)'

3o DISTRIBLTIOX DE l'ÉLECTRICITÉ.

la première intégrale double s'étendant à la portion conservée du second sphéroïde simple, et la seconde à la portion conservée du premier.

Pour démontrer les formules (45), il suffit d'observer que l'expression de la densité est

[/»''' /»'' , . l dn sincp àn\

/ 1 /icosw— v-f-sintoj coso-7--f---J- -TT- 1 • ^ ^

I f I \ ^ dO sinO ÙK^J sincoaio^o

— COSO)

où la quantité v' affecte, suivant la région où se trouve le point (oj, cp), l'une des deux formes analytiques n', /i', . Si l'on ajoute et retranche l'intégrale

ibTjRjJ I — COSO) /û^i — coso)}

étendue à la portion supprimée du premier sphéroïde simple, l'expression précédente s'écrira

.ÏÎC ^T^

y / /ICOSUi — /l -f-Sinw( C0SO-— -+--r-^ -— ) . , , I

^ I \ \ ' dO sm6(^<j// sinuj^fu^tp 1