I. — Équation caractéristique des conducteurs ouverts
Nous supposerons la surface ouverte S dépourvue de toute singularité; telles sont la zone, la calotte sphériques. Pour éviter les longueurs, nous dirons que l'une de ses faces est extérieure et l'autre intérieure.
Soient
M et M' deux points de la surface S, supposée conductrice et
chargée d'électricité; /• la distance de M à M', en grandeur et en direction ; MN| la normale extérieure; MNj = n la normale intérieure au point M ; ^1, e-i les densités des couches électriques extérieure et intérieure
au même point; e\^ e[^ les densités extérieure et intérieure en M' (ces densités sont
partout finies et continues excepté sur les bords); Q/ un des/? points électrisés qui agissent par influence sur S ; gi sa charge; /•/ la dislance de M à Q/.
Supposonsqu'on sache résoudre ce problème : Trouver la couche de densité e^ -+- e^i en équilibre sur S sous rinfluence des masses fixes données. C'est le problùmc ordinaire de potentiel de surface |)osé par Green et par Gauss.
Il reste à répartir cette couche entre les deux faces du conducteur. On va voir que, pour faire ce départ, une quadrature suffit.
36 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.
La surface conductrice S résulte de raplalissement indéfini d'un conducteur d'épaisseur très petite dont la face externe S| cl la face interne S^ tendent vers S comme limite commune. C'est sur ce conducteur mince que nous allons raisonner.
La normale à S au point M perce S| et S2 en deux points M, et Mo. Dans le plan tangent à S au point M décrivons de M comme centre un cercle C de rayon très petit, quoique très grand par rapport à l'épaisseur Mi Mo ; projetons ce cercle en Ci, Co sur
Les composantes normales de toutes les répulsions qui agissent au point M, intérieur au conducteur S| S2, s'entre-détruisent pour l'équilibre. Sans entrer dans des explications inutiles, nous voyons que les diverses parties du système donnent, suivant la normale intérieure /i, les composantes suivantes :
Le cercle C| :
l,e cercle Ca :
le reste du conducteur:
Je (gj -Hgj)cos(r. n ) ^ s
les masses inductrices :
cos Cr/, n)
SCOS( i
D'où l'équation d'équilibre
r (e|-+-^j)cos(/\ n) n cos(r/, /i)
Olte équation, dont tout le second membre est connu en vertu des hypothèses, détermine la difTérence cherchée e^ — ^2. Le problème s'achève donc par une quadrature double.
Vax faisant e^ = o, on retrouve l'équation fonctionnelle qui caractérise les conduc leurs formés.
Voici les conséquences les plus immédiates de la formule (69) :
r* Elle donne une limite supérieure de l'ordre d'infinitudc de la densité sur les bords. En effet, la différence Ci — (?2 doit étrc^
finie, au moins à une certaine distance du contour. Pour qu'il en soit ainsi, il est ais(^ de voir que la condition suivante doit être remplie : soient M, M', Mj, trois points du conducteur situes, le premier à distance finie du bord, le second à distance infiniment petite du bord, le troisième sur le bord même au pied de la perpendiculaire abaissée du second sur le contour; si Ton pose MM'=/', MMq=:z/o, M'M'jjrz=o, la somme e\-\-e[,^ infiniment
iirandc en M', doit être d'un ordre inférieur à celui de ?
To — r
c'est-à-dire à celui de t^- On en conclut facilement que la charge
ne peut s'accumuler en quantité finie sur le contour, bien que la densité y soit infinie. Tous les exemples connus prouvent que,
près des bords, la densité est du même ordre que --•
9-*^ Si le conducteur est convexe et soustrait à toute influence, la densité électrique est plus forte en tout point de la face externe <|u'au point correspondant de la face interne; car, en vertu de la convexité supposée, tous les éléments qui entrent dans l'intégrale de la formule (09) sont positifs. De là résulte que la charge externe est plus grande que la charge interne.
