II. - Répartition de la charge entre les deux faces

Cette dernière propriété appartient à un grand nombre de con- <lucteurs non convexes. Imaginons une surface ouverte S, limitée par un contour fermé K. Soit w l'angle solide sous lequel on voit le contour K d'un point quelconque de l'espace. Concevons la surface limitée lieu des points w =:^ 9. 7: et la surface illimitée lieu des points w z^ o, qui se raccordent le long de K, et supposons que S ne coupe ni l'une ni l'autre de ces surfaces.

La surface conductrice S peut être regardée comme la limite d'un conducteur extrêmement mince, dont la face extérieure S| et la face intérieure S2 se coupent suivant l'arête saillante K. Soient |jL=-erfS, u/^^e'dS deux éléments électriques correspondants de Si et de S2. D'après un théorème de Gauss, les sommes des composantes normales des répulsions exercées sur S par ces deux éléments ont respectivement pour valeurs uao et — \>-'{'\'^ — <*>)•

38 DISTRIBUTION DR l'ÉLECTRICITÉ.

Quant aux éléments situés sur Tarête vive, dont Faction serait facile à évaluer, il est inutile de s'en préoccuper, car nous venons de montrer que leur totalité ne représente pas une quantité finie d'électricité. En exprimant que les composantes normales des répulsions exercées sur la surface S, intérieure au conducteur mince, par toute l'électricité répandue sur les faces S|, S2 ont une somme égale à o, on a

Désignons par m la charge externe, par m! la charge interne, par M la charge totale, par coi le maximum et par (1)2 le minimum de (i). L'égalité (60) donne lieu aux deux inégalités

(61) /niOj>m'(î7: — Wi), mwj < m'(47: — wj ),

d'où

(0* ni' a>i

Il en résulte m >> m'. On reconnaît aisément que cette conclusion s'applique a fortiori à tout conducteur S qui couperait la surface 10=0, sans couper la surface (0 = 27:.

Comme première application des formules précédentes, proposons-nous de déterminer deux limites inférieure et supérieure du

rapport ^ pour une calotte conductrice résultant de la section

d'un ellipsoïde de révolution allongé par le plan d'un parallèle. Soient a l'angle du plan de base avec le plan tangent tout le long du contour, p le demi-angle au sommet du cône de révolution sous lequel le contour est vu du sommet de la calotte. Les angles solides correspondants sont 2a et 27r(i — cos^). Des considérations géométriques assez simples montrent que ce sont là le maximum et le minimum désignés par a>| et Wj. La formule (62 ) donne alors

I — cosp ^ m' ^ CL

•2 " M ^ air

Comme deuxième application, cherchons à construire, sur un contour donné K, une surface conductrice S pour laquelle le rap-

porl — ait une valeur donnée )v, plus petite que ^. I^'équalion (60 )

montre qu'il suffit de prendre pour S le lieu des points d'où l'on voit le contour K sous l'angle constant 4'^'^- En particulier, si l'on veut que la charge interne soit égale à la charge externe, l'angle en question sera égal à 211.

Si sur le contour K on construit, en dessus, la surface w-— ^'^^X et, en dessous, la surface complémentaire (o = '27î — ^Tzi^^ ces deux surfaces se raccordent; et, si l'on appelle ni" la charge répandue sur la seconde, la charge totale conservant la même valeur M que précédemment, on trouve, en exprimant que la somme des composantes normales des répulsions électriques est nulle sur toute surface intérieure au conducteur fermé et s'appuyant sur le contour K,

d'où l'on conclut, puisque -^- ^^ A,

Si donc on supprime le segment inférieur et qu'on restitue la charge de ce segment au segment supérieur, cette charge se partage en deux parties égales entre les deux faces du segment conservé.

Cette propriété appartient à toute surface fermée percée de très petites ouvertures de forme quelconque et en nombre quelconque p. Supposons d'abord la surface intacte. En appelant m] la charge portée par la Z'*^""* calotte, non encore supprimée, et w, l'angle sous lequel on voit celte calotte d'un point quelconque de la surface portant la charge (jl, on trouve, par des considérations analogues à celles dont nous venons de faire usage.

Supprimons maintenant toutes les calottes et conservons la même charge totale : l'élément électrique, qui était [len un point extérieur, devient [jl(i H- £;; à l'intérieur, de o il devient [a', et

f\0 DISTRIBI'TION DK l'ÉLECTRICIT^ .

Ton aura

OU

On doit admettre que sjjl et [x' sont du même ordre de grandeur ( pour la sphère, comme nous le verrons, on a ejx - : — a.'); il en résulte, lOi étant infiniment pctil, que dans Téquatioii précédente le second terme du deuxième membre est négligeable vis-à-vis du premier :

La comparaison entre (^).V) et (()()) donne

(()7) ^ m) — - Xj '"'' ^"^' •*'• '^•

Les principes que nous établirons j)lus lard permettent d'affirmer que la distribution électrique sur une surface percée d'ouverlures très petites en nombre quelconque résulte de la superposition des distributions sur cette même surface percée d'une ouverture seulement : on a donc séparément

Un peut vérilierce résultat, par un calcul direct, sur une sphère percée d'une petite ouverture circulaire, en prenant pour point de départ Texpression de la densité électrique sur la calotte sphérique donnée par Sir AN \ Thomson ('). Ou reconnaîtra de plus que la charge intérieure se concentre presque tout entière sur les bords de la petite ouverture, de sorte que le plan d^épreuve, introduit à rinlérieur de la sphère creuse, ne révélera aucune trace d'électricité.

(') lU'jn'int, p. iS.V, IÎS7J.