III. - Conducteurs ouverts de forme sphérique

Disques plans.

Revenons à Téqualion fondamentale (jp) el ap|)lit|uons-la à un conducleiir formé par une portion de surface sphérique limitée par un ou jdusieurs contours de forme quelconque. Nous nous dispenserons de développer les calculs, parce qu'ils sont de tout point semblables à ceux que nous avons effectués dans la première Partie (Cliap. I, § H) pour déterminer rinfluencc d'un point élec- Irisé sur une sphère complète.

Soient V le potentiel du conducteur ouverl ; f le diamètre de la sphère dont il fait parlie; en le supposant soustrait à toute influence, on trouve

(08) Cx — €<,— — -^'

Donc, sur un conducteur sphérique isolé, la densité électrique (Ml un poinl quelconque de la face externe surpasse la densité au point opposé de la face interne d'une quantité constante.

Cette propriété subsiste pour un nombre quelconque de conducleurs ouverts appartenant géométriquement à la même sphère; il suffit, dans la formule (08), de remplacer V par la somme SV de leurs potentiels : on voit que l'excès e^ — 62 est le même pour tous les conducteurs, quels que soient leurs potentiels respectifs (').

Considérons maintenant un conducteur sphérique soumis à l'influence d'un point électrisé de charge q^ , dont la puissance par rapport à la sphère de diamètre y sera désignée par/?i. L'équation (.M)) donne

iT.f 'nzfr\

L'excès ^1 — 6'2 est égal à la densité de la distribution qui serait induite par le point électrisé sur la sphère complète, supposée au

(') Ce théorème, ainsi énoncé, csl inexact: la différence entre les densités ex- Urne el interne est bien constante pour chaque conducteur, mais elle change d'un conducteur à l'autre; elle est la même que si chaque conducteur étaii seul avec le potentiel particulier qu'il a dans le système. {Correction de rauteur.)

4^ DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.

même polentiel que le conducteur ouvert. SI le point électrisé est situé sur la portion de la sphère laissée vide par le conducteur et que ce conducteur communique avec le sol (V=o), la densité est la même aux points en regard des deux faces. S'il y a en présence plusieurs conducteurs appartenant à la même sphère, il suffira, dans la formule (G9), de remplacer V par SV.

Du cas d'un conducteur sphérique on passe à celui d'un disque plan en faisant

/=ac, />i=», lim^=/j,,

hx désignant la distance du point électrisé au plan du disque. On obtient ainsi

rv. — Influence de masses fixes sur les conducteurs ouverts. Réduction du problème de la distribution électrique.

Nous avons signalé dans l'Introduction la difficulté presque toujours insurmontable du problème complet de l'équilibre électrique d'un conducteur, problème qui consiste à déterminer lu distribution de l'électricité pour toutes les positions possibles des masses inductrices. La difficulté dont nous parlons peut être notablement réduite dans le cas très étendu que voici.

Le conducteur ouvert S est un fragment d'une surface conductrice fermée S, pour laquelle le problème de la distribution électrique a été, par hypothèse, résolu complètement. Il s'agit de déterminer l'influence sur S d'une masse électrique occupant dans l'espace une position quelconque. Nous allons montrer que cette influence peut être calculée au moyen d'une quadrature, quand on connaît seulement l'action sur le conducteur S d'un point courant du fragment S' complémentaire de S (S -h S'= S).

Soit en eflet e la densité connue de la distribution induite par les masses données en un point M de la surface fermée S, supposée au potentiel V. Prenons ce point M sur la région S'. On connaît par hypothèse la distribution induite par l'élément électrique — zdS' sur le conducteur S, supposé au potentiel zéro. En vertu

du principe de la superposition des influences, on peut en conclure, par intégration, la distribution e appelée sur S parla charge

totale — l t dS' du fragment complémentaire S'. Répandons

maintenant sur toute la surface 2 une charge de densité -i- e. La région S' est ramenée à l'état neutre, et le conducteur S se trouve en équilibre électrique, avec la densité e -r e et le potentiel V, sous Faction de la masse donnée. Il ne reste plus qu'à répartir la couche e + s entre les deux faces, conformément à la for-' mule (09).

S'il n'y a pas de masse inductrice, la méthode indiquée donne la distribution électrique de potentiel V en équilibre d'elle-même sur le conducteur S.

Comparons maintenant la valeur des densités électriques au même point du conducteur complet S et du conducteur ouvert S, pour un même potentiel V. Sur S la densité est e ; sur S, e -f- s : elle est plus forte sur S que sur S.

L'inverse a lieu pour les charges :

Charge de S :

charge de S :

ÇtdZ^~ ftdS-h ftdS';

•Jz *^S *^S'

Jf ( e -h e ) c^S = / tdS -r- j edS, s ^s «S

Or la charge / erfS, induite sur S par la charge — / edS' ré-

pandue sur S', est plus petite que cette dernière en valeur absolue. Si donc on détache un fragment d'une surface conductrice fermée et qu'on maintienne le fragment conservé au même potentiel, la charge se trouve diminuée.

44 DISTRIBUTION DE L*ÉLBCTRICITÉ.