I. — Réduction au cas des conducteurs à contour simple

Nous arrivons à la réduction importante dont il a été parlé dans rintroductîon, et qui ramène l'équilibre électrique des surfaces conductrices à contour multiple à celui des surfaces à contour simple. Pour abréger, nous appellerons calotte toute surface ouverte à contour simple, zone toute surface ouverte à double contour, que les bords soient des lignes planes ou gauches.

Je rappelle qu'un point électrisé induit sur un conducteur au potentiel zéro une distribution dont la densité a partout le même signe; ce signe est contraire à celui de la charge du point. Ceci nous ])ermettra, dans ce qui va suivre, de mettre en évidence le signe des densités. Dorénavant, quand nous parlerons de Tinlluence d'un point électrisé sur un conducteur, il sera sous-entendu que ce conducteur est au potentiel zéro.

Considérons une surface fermée S divisée en trois parties : deux calottes C et Cet une zone B. Nous pouvons, d'ailleurs, concevoir d'autres divisions de la surface 2; supposons-la doublement connexe, ayant la forme d'un tore. Coupons-la par deux plans, dont l'un détache une calotte C, l'autre un tube courbé à double contour (y ; la partie restante B est une surface tronquée à triple contour. Les raisonnements subséquents s'appliquent aux fragments C, C, B, tels qu'ils viennent d'être définis.

Supposons que l'on connaisse : i" la distribution électrique sur la surface S, soustraite à toute influence; a** l'influence sur la calotte B H-C d'un point électrisé occupant successivement toutes les positions possibles sur la calotte C! complémentaire de B-f-C; 3** rinfluence sur B -f- C d'un point courant de C. De ces données on peut, comme on va voir, conclure la distribution électrique en équilibre d'ellc-niême sur la zone B.

Soit e la densité électrique en un point de 2 pour un potentiel

SURFACES CONDUCTRICES A CONTOUR MULTIPLE. t\')

égal à V. Répandons sur C et C une couche de densité — e. La couche — e répandue sur iV induit sur B -4- C une couche dont nous désignerons la densité ( * ) par ^4 en un point de B, et par yi en un poinl de C. La couche répandue sur C appelle sur B -i- C une distribution de densité ^\ en un point de B, y', en un poinl de C. Par hypothèse, on sait calculer, et cela au moyen d'une intégration, p4, Y», 3',, y'^. Distribuons enfin sur S une couche de densité -f-e. La superposition de ces divers états d'équilibre? donne le résultat suivant : la zone B est en équilibre électrique, avec la densité e -r- ^x-r- ^\ et le potentiel V, sous rinfluence des couches y, et y'i répandues sur C et sur C.

\jne couche de densité — y'^ répandue sur C induirait sur B + {I une distribution pa, y^ ; une couche — yi répandue sur C induirait sur B -f- C une distribution Ji!^, y!j, que Ton sait calculer. Superposons ces nouveaux équilibres au précédent: la zone Best alors en équilibre électrique, avec la densité ^ -I- pi 4- p^ -H paH- f^j et le potentiel V, sous rinfluence des couches y2 et y!j répandues respectivement sur C et sur C. 1

Continuons de cette manière indéfiniment. Les couches qui, après la n'**"* opération, restent sur C et sur C ont des densités v„, y)j qui tendent vers zéro, comme nous Talions prouver.

En vertu d'une propriété bien connue, la charge — tl)i o q"i réside sur C après la (/i — ly*»»© superposition, induit sur B -h C une charge totale B„ -i- C« plus petite que C^,,. On a, par suite, les deux séries d'inégalités

B, --C, :Ci.

Bj ■ G, .„ Go,

Bj-h Gj < Gi,

que Ton peul écrire

B j -;- G| /[ Cq,

Bj -f- Gj .; G',, ' ' t »

B/t ; G/i .^ Qn-\'

B'rt - Grt< Gfl|,

(') Ou plutôt la somme des densités en deux points opposés des deux faces externe et interne du conducteur. Cest en ce sens qu'il faut entendre le mot densité d^ns tout ce qui va suivre.

46 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.

On en déduit d'abord, en supposant n pair pour fixer les idées,

Co ^ C I ^> Cj > . . . >» G/i, C'o > Cl > Cj > . . . > CI, ;

d'où Ton conclut que les différences C„ — C,i, C'j, — C'^ sont positives et finies. On en déduit ensuite, par voie d'addition,

(71) B,~B'i-+-B,-i-B;-f-...--B;,-f-B;<Co~C«-^C;-C;,

ce qui montre que la série ^ (B;,H- B^,) est convergente. Il en est

oe oe

de même a/or^/or/desdeux séries \^ B,, et \^ B^,. Donc B« et B)^

tendent vers zéro.

Remarquons maintenant que la charge — G^, induit sur l'ensemble de la zone B et de la calotte G la charge totale B;j 4- C».

Si C/2 ne tendait pas vers zéro, le conducteur continu B -i- C serait en équilibre électrique avec une charge différente de zéro sur la région C et une charge nulle sur la région B, ce qui est impossible (*).

Ce qui est vrai des charges l'est évidemment des densités ; y,/

et y^, tendent vers zéro; les séries \^ ^,1 et \^ p'„ sont conver-

j^entes.

On peut observer en passant que, si dans l'inégalité (71) on fait n = 00, et qu'on ajoute aux deux membres Bq, charge de la zone correspondant à la distribution de densité e, on aura

(72) Bo-h Bi -+- b; -4- Bj-h b; -4- . . .< Bo-r- Co-+- C'o,

c'est-à-dire que, pour un même potentiel V, la charge de la zone B est inférieure à celle de la surface fermée S dont cette zone a été détachée (théorème déjà démontré).

( ' ) Car le potentiel, nul sur le conducteur B -r C ( où il est maximum ), est négatif en dehors. En passant par la région B, supposée sans charge aucune, il se continuerait sans discontinuité pour aucune de ses dérivées. Dès lors, si d'un point de B comme centre on décrit une petite sphère, la valeur du potentiel au centre, moyenne entre les valeurs aux divers points de la surface sphérique, serait négative.

SURFACES CONDUCTRICES A CONTOUR MULTIPLE. tq

De ce qui précède nous concluons que la zone Best d'elle-même en équilibre électrique, au potentiel V, avec la densité

Il ne reste plus qu'à répartir la distribution trouvée entre les deux faces de la zone. Il sera bon de faire ce départ pour les couches successives que représentent les termes de la série (73).

On peut, diaprés lés mêmes principes, déterminer l'influence sur la zone B d'un point électrisé de charge q situé sur l'une des calottes C ou C, sur C par exemple. Ce point appelle sur B -{- C une distribution de densilé — 6i, — C|. La couche b\ répandue sur C induirait sur B -{- C une couche de densité — b'^^ — c\^, La couche b\ répandue sur C induirait sur B 4- C une couche de densité — b^^ — Cg, et ainsi de suite. Un raisonnement calqué sur celui du cas précédent prouverait que là zone B est en équilibre électrique, au potentiel zéro, avec la densité

— {bi-*- b\-^ bi-\- b\ — . . .),

sous l'influence de la charge q concentrée au point considéré de la calotte C

Si maintenant on connaît l'influence sur la surface fermée S d*un point électrisé situé d'une manière quelconque dans l'espace, on pourra, du résultat qui précède et d'un théorème démontré précédemment (Chap. I,§III), déduire l'influence du même point sur la zone B. Le problème complet de la distribution électrique sera résolu pour cette zone ( * ).

Considérons enfin une surface conductrice B à /i contours; elle résulte d'une surface fermée S par l'ablation de n calottes C, C, C", . . ., C^" '^ Supposons que Ton connaisse : i" la distribution électrique en équilibre sur S; 2*" l'influence d'un point quelconque de Tune des calottes C, C, C/, . . ., C^""*^ sur le conducteur ob-

(') Le mode de démonstration employé donnera directement le potentiel électrique de la zone B en un point quelconque de l'espace, connaissant les potentiels au mt^me point de la surface 2 et des calottes B 4- C, B -i- C, inlluenrêcs chacune par un point courant des calottes complémentaires C et C. Nous signalons ce résultat, qui peut trouver son application dans plus d'une branche de la Physique mathématique. (Sote tirée d'une première rédaction. )

48 DISTRIBUTION DK L*ÉLECTRICITÉ.

tenu en détachant de il cette seule calotte; on pourra résoudre 1<' problème de l'équilibre électrique du conducteur à n contours B. Il n'y a pas lieu d'insister sur cette facile généralisation.

Ainsi s'opère la réduction que nous avions en vue. \Jn contoui* de plus dans la surface du conducteur amène deux séries infinies de quadratures à effectuer. On conçoit alors combien la solution du problème de la distribution de l'électricité sur une zone sphérique doit être compliquée, comparée à la solution si simple que Sir W. Thomson a donnée du même problème pour la calotlr sphérique. Dans le passage de la calotte à la zone, les difficultés se multiplient dans la même mesure que lorsqu'on passe d'unr sphère unique à deux sphères électrisées.

Nous avons vu que, pour un conducteur sphérique de diamètres /*

au potentiel V, la différence enlre les densilés externe et interne

est constante et égale à ; — -7; il en résulte les expressions suivantes

de ces densités :

Densité extérieure :

densité intérieure :

Sir W. Thomson a déterminé rinfiuence sur une calotte sphérique d'un point électrisé situé sur la calotte complémentaire. On peut donc aborder le problème de la distribution électrique sur une sphère percée d'ouvertures circulaires en nombre quelcon(|ue, et en particulier sur une zone proprement dite.

DISTRIBUTION SLR UNE ZOXE SPilÉRlQUE. /|9