II. — Calcul de Y'/«^-l

Le problème consiste à déterminer p^ct p„i ; mais il convient d'abord de chercher la forme des inconnues auxiliaires y^^, y/n. qui ne deviennent jamais infinies. Nous allons voir que ces inconnues sont développables en séries triples ordonnées suivant

les puissances entières de x (ou x)^ ^/a, y/a . Ces trois quantités sont plus petites que i ; si nous appelons ordre d^un terme la somme des exposants de x^ a, a' dans ce terme, nous reconnaîtrons que le premier terme de y,,, est de Tordre m H- — ; c'est, à un facteur numérique près.

SI m est pair,

A,„ =« ' a' ' y a ' a' * si m est impair.

Posons donc

v = « X = « X'=»o (84) Ym = -^^ ^'«2 2 2 *'"(''' ^' X')j:-'a>a').-,

et cherchons si y^^, est susceptible d'une expression de la même

forme

m m / ffi , ni

a* a'* y a* a'* si m est pair,

(86) A;„^j -r A,na/a-. '.

i m -I- 1 m -«- 1 / m-*-\ wi-t- 1

\ a * a' * V a * a' ' si m est impair.

Il s'agit de déterminer le coefficient numérique ^'„^^^ en fonction de 4>,„. On peut remarquer qu'en vertu de la symétrie entre a et (x! on a l'égalité

Notre analyse montrera que ^ni (v, )w V) est une fonction rationnelle des arguments entiers v, )., TJ.

Pour calculer <P^,+., revenons à la formule

(Ho) ^w, -, I •£: . ^ v ^^^^^

Si Ton développe - - > et -—-...^- suivant les puissances

croissantes de x\ le terme de degré / — i dans le premier développement et le terme de degré v — i-^-\ dans le second scroni respectivement

. , ^'^ 1 . . , 1.3. ..f'2(v — n-^-i] ar'v-i'^i

^ (i--.r)' I .'ji. . .(V — * -h i; 9V-/-H

(.)ii a donc, en convenant que ^ : -— i pour

I v^ I v^ i.3...r!>.rv — «)-~ii (1-— .T)-'

et pour toutes les valeurs de x\ (|ui, d'après les hypothèses, soni comprises entre o et i, celle série est absolument convergente, comme les deux séries dont elle est le produit.

La substitution de la série (89) dans l'expression (80) donne

v=o ,yo 1 = 1

En développant fiH-ar)~', on obtient une série absolument convergente entre :r =^ o et a.- = i , et dont le terme de degré/ est

( — iV — - . --- - xJ.

Si donc on pose

en convenant que, poury = o, - — — .-:^ = i, on

aura

^<)>) Tm-Hi = Z (" 0^^'^ / ^:^ 2l*(''•^')'^^^^'''^•

I\ous avons supposé y;» exprimable par une série triple de la

forme (84). Cette série se réduit, pour y^, au seul terme constant

e = -~j} en vertu de la condition (81). Les transformations que

nous allons faire subir au second membre de l'expression (92) amèneront alors pour y'^ une série absolument convergente, comme on pourra s'en convaincre en suivant les opérations une à une. Il en sera de même pour yi ; la série r^ étant absolument convergente, les mêmes transformations donneront pour y'^ une série absolument convergente, et ainsi de suite.

Prenons dans -^^m le terme ~ A;„^^i(/i, /, l')x^7/7l^\ et dans

l'expression de y'^^, mettons en évidence sous le signe f le terme

Faisons

/i-r-y - A-, d'où

le terme en x^cl^t!^' sera

si Ton pose

L'inlégralion donne

Faisons

d'où

le ternie en a^a'^' sera

et si Ton pose

Ama/a — A;;^^.,,

on trouve fînalement, comme nous Tavons annoncé,

V=:« ).=:• \' =.ce

(95) fmM = „,*:n Am+. 2 2 2 *"'^' ^'' ^' ^')^''«^«'^'-

Si, dans la formule (94), on remplace les symboles ^ et ^^ par leurs valeurs (91) et (gS), on aura

*'„... (V, i, X') .-= (- ./i' 2 l'-^iry^^

i(i-^])...(i-^j — I) i.3...f2(v — i)-f-i] ('— ly

l.i.../ I .-2. . .(V — l-Hlj 2^^^

Comme y'^ se réduit à la constante e, il en résulte

4»'o(v, X, X'}=o pour toutes les valeurs des arguments, sauf pour le système

qui donne

On voit alors que ^^^., (v, X, X') est une fonction rationnelle des arguments entiers v, A, )/.