III. — Calcul de p^w+i

Arrivons enfin au calcul de

Dans le développement de ym» prenons le terme

et eflTectuons la division

11 y aura dans l'expression de p^^i trois sortes de termes de nature analytique différente, suivant qu'ils proviendront de

(— i)" -3—' de 0?"-*, de (— \y-^^ y-^^^ x"-"*-'- ,

1" Termes qui proviennent de ( — i)" -^ — L'intégration

donne

dx

Le terme en arc lang 4 / - fournit à ^l„^i la série triple

V:=:« f,=: ce A'rr oo

Quant aux termes en i/-> nous les séparerons, pour en tenir

compte tout à l'heure, en deux catégories, dont la première comprendra les termes correspondant A n := o, savoir

el la seconde les termes correspondant à toutes les valeurs v -t- i de n autres que zéro, savoir :

'"">) ^l"^, A„,(-i)v-^>j'VaX,'V4,,„(v-Hi,X-i,X')l/j.

2° Termes qui proviennent de x''~* . — On trouve en intégrant

TZm-t 1 y y -2 /l -t- I

Aux termes de cette nature il faut réunir le terme (99) correspondant à /i = o. Si Ton pose

/' = X', n-^l ^- X, d'où

et

(loi) F,„(X,X') = 'y ^4>,«(n,X-/i,X'),

on trouvera dans ^'„^^^ la série double

3" Termes qui proviennent de ( — i)^"* «^v-»-< j^i-v-î. — L'intéj;ration donne

Aii\ termes de celle nalure il faut réunir le terme (loo) correspondant à Al = V -f- 1 (le quotient --- ne peut fournir un terme

en ^^+* qu'à parlir de n -: v -f- 2). Si Ton pose

(] ou

(io3) H,;,(v,x, A )- (— i)'-^» 2;^ — l^iT/y.-"! — '

/--lO

on aura dans ^'„^^.^ la série