IV. - Solution par les séries multiples

En réunissant les termes de nature diverse qui viennent d'élre

Y calculés (98), (102), (io4s et en remplaçant e par sa valeur — ^>

on trouve finalement

(io5) / -^-arclangl/-^ 2 ^ 2^"" '^''*^'"(''' '' ^ '•^''*^'*'^'

V = À^O ).'=rO

OÙ les symboles A;„, 4>ot, F;„, Wm ont des signifîcalions données par les formules (83), (96), (10 1), (io3), que nous reproduisons :

1m m / rn

si m est pair,

m - - I m-i-l / tn 1 /« - 1

(io;)

a * a * SI m est impair; (loi) F,„(X, X')= V — ^ *,rt(/i, X-/i,X');

Jmmi '2/1 "t- I n =

(<)(V) { it = ;=0 1 = 1

«(/-+-! )...U*-f-y — I.3...f'2(v — f)-f-l] ( — iV \. ').....] I .2. . .(v — /*-r-l) 2^'

(io6) <l>m(v, X, X') = *',;,(v, X', X), *o(v, X,X') — o, *o(o, o, o) = i.

Les expressions de Fm, ^'w, ^m montrent que ces coefficients purement numériques sont des fonctions rationnelles des arguments entiers qui y figurent. La valeur de Km montre que l'ordre de petitesse des fonctions p, J3' va chaque fois en croissant d'une unité et demie.

Reportons-nous maintenant aux expressions des densités.

Densité extérieure :

densité intérieure :

De là résulte, pour la densité intérieure e/, l'expression

OÙ les symboles Si, S2, S3 désignent des séries entières par rapport à leurs arguments y/a, \/cl\ y' ony. Dans ces séries, les coefficients numériques des termes des diflerenls ordres s'oblîenncnl par un nombre limité d'opérations rationnelles faites sur le nombre incommensurable ir.

Voici les calculs de ces séries exécutés jusqu'aux termes du quatrième ordre inclusivement :

OTC 57U Jtc 97:' 77:

SJU^a^ry'-- — I-~a^-^ — a«--a«y

(108) \ 971* 7TC t: "^ 4tt "^

•^ 11 7c vit:

En faisant a -^ o, on retrouve la loi de la distribution électrique sur la calotte sphérique

(109) et = ^y^ {^y, - arc tang ^/ i-,

C'est, aux notations près, la formule obtenue par Sir W. Thomson {Reprinty p. i85; 1872).

6o DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.