I. ~ Distribution de Télectricité sur une surface fermée

convexe (').

Considérons une surface fermée convexe o-, n'ayant qu'un plan tangenl en chaque point. Joignons un de ses points aux divers éléments rfo*' par des droites r faisant des angles <p avec la normale intérieure au point en question.

Donnons-nous une fonction quelconque f y déterminée et finie en tout point de o* et formons la suite d'intégrales

/i = — / =^— r- d^\ /î = — / - — z — <i^\ ••- adin/m.

On va voir que fn tend vers la densité e de la couche électrique en équilibre d^ elle-même sur o*.

Cette densité est déterminée, quand on fixe sa valeur en un point particulier, par l'équation fonctionnelle (')

/ ^ ' r e' coso , ,

( -2 ) e — - I ~ -— -L rfcj .

( ' ) Celte troisième Partie est formée d'une première Note, publiée par Tauteur, et d'articles extraits de ses manuscrits.

( - ) Note publiée dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CIV, p. i834; 1887.

(^) Voir ci-dessus, première Partie, Chapitre I, § I.

CONDUCTEURS FERMÉS CONVEXES. 6l

Or, on peut écrire

Soient A le maximum, B le minimum du rapport -~y M la

moyenne Partageons, suivant la méthode de Cari Neu-

mann (' ), la surface o* en deux groupes de régions, Fun a correspondant aux valeurs de -- plus grandes que M, l'autre jâ aux va-

leurs plus petites que M; s'il y a des plages pour lesquelles ~ est

égal à M, on les attribuera indifféremment au premier ou au second groupe.

Gomme e a partout le même signe, -h par exemple, et que, 0" étant convexe, cosç est toujours positif, on aura les inégalités

- , „ r e C0S9 , , T» r ^ COS9 , , qui, à cause des relations A — M ^rz M — 6=:-- —, peuvent

s'écrire

^ ^. . recoso., A — B Tecoscp ,.

r ^T> r ^ ^^'^^ ^ ' A — B r « coso ,

OU bien, en utilisant l'équation (a) et en désignant par 6a, 6p deux quantités positives dont la somme est égale à i ,

Si donc on appelle 8p la valeur de Op correspondant au maximum A| du rapport • - et Sr^ la valeur de Oa correspondant à son

C) Untersuchungen ùber das logarithmischc iind Ncwton'sche Potential. Leipzig; 1877.

62 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.

minimum B|, on aura

d'où, en retranchant,

Al- Bil(A~ B) ^- ?i-"t^«j .

De là résulte qu'on peut assigner une quantité déterminée A, positive et plus petite que l'unité, telle que, si l'on désigne par A„

le maximum et par B,i le minimum de — -, on ait

La difierence entre le maximum et le minimum de — tendant

f vers zéro, il s'ensuit que -- tend vers une constante (*). c. q. f. d.

Cette constante n'est pas nulle en général (elle ne l'est jamais quand la fonction y a partout le même signe). Le module de cette

constante ne peut dépasser (2) la plus grande valeur absolue du

/ rapport -•

Le théorème précédent peut servir à la détermination des fonctions qui satisfont, dans l'espace, à l'équation AV = o, et qu'on assujettit en tous les points d'une surface convexe à diverses conditions (V ou sa dérivée suivant la normale donnée).

(') Pour un complément nécessaire à la démonstration, voir le début du paragraphe suivant.

/ (^) Eo cfTct, si Ton appelle C la plus grande valeur de — sur la surface, on a

Donc le module de — et a fortiori celui de ^^ sont inférieurs à C. Si c est la

plus petite valeur absolue de — > on reconnaît aisément que le module de *^ est

supérieur à c. {Note tirée d*une première rédaction.)

GONDUGTELRS FERMÉS COKYEXES. 63