II. — Distribution de l'électricité induite sur une surface

fermée convexe.

Nous venons d'établir, au paragraphe précédent, que si l'on désigne psiv f(x,y, z) une fonction quelconque, déterminée et finie en tout point ni{x^yj z) d'une surface fermée et convexe <t, n'ayant en chaque point qu'un seul plan tangent, les intégrales

où rfo^ représente un élémentde surface autourdu point m'(:r',j>^', 5'), où /• est la distance mm' et co l'angle de la droite mm' avec la normale en m, tendent, quand n augmente indéfiniment, vers la valeur e qu'a au point m la densité de la couche électrique en équilibre d*elie-même sur la surface o*.

Nous avons toutefois, en vue d'abréger, admis implicitement que l'on a, en tout point de la surface,

lim(/„4-i— /n) = 0.

C'est ce dont il est facile de s'assurer. On a, en effet,

en désignant par e' et f^ les valeurs de e et de/n au point m', et aussi

en vertu de l'équation fonctionnelle (2). De là résulte

f f - ^ rffn //A g^COS? , ,

64 DISTRIBUTION DE l'ÉLEGTRICITÉ.

ce qui entraîne rinégalilé

l/rt+i — /« I < e

Jn fn

Mais on a visiblement

ce qui prouve bien quey,,^.! — /„ tend vers zéro.

Bien que la densité e dépende du calcul d'une infinité d'intégrales f^ , f-xt " ", fn^ • • • j IcL charge totale M peut s'obtenir par une seule quadrature» En effet, multiplions les deux membres de la relation qui définit/*! {x^ y^ z) par l'élément rfo* de surface au point m, et intégrons sur toute la surface. Nous aurons

Or ;^-dv est Tangle solide sous lequel l'élément d^ est vu du point m' de la surface : on a donc

rcoso , De là résulte, par une conséquence immédiate,

J fdi--^Jf,di

I fn drs =

Comme fn tend vers e, la valeur commune de ces intégrales est la charge cherchée M. Donc, la charge totale M est, en particulier, représentée par l'intégrale / f d^s.

Supposons maintenant que le conducteur o* soit soumis à l'intluencc de charges fixes extérieures. Soit 27:/ la composante normale (comptée positivement dans le sens de la normale extérieure) des actions que ces charges exercent sur un point de la surface.