CONDUCTEURS FERMÉS CONVEXES

La densité électrique e en ce point est donnée (vo/r ci-dessus p. 7) par Téquation fonctionnelle

- 1 re'coso , , = /h / — r-^M,

où z' est la valeur que prend e en un point m' de l'élément d^. On satisfait à cette équation par la série

(5) £=/-+- /i-+-/j -.-... 4- /rt 4-...,

comme on le voit immédiatement en se reportant à la définition des intégrales /^/a, . • • .

Or fn tend vers zéro, densité de l'électricité en équilibre d'ellemême sur 0". On peut donc écrire

et, en tenant compte des inégalités de la page précédente (*), particularisées par la supposition purement algébrique e = i (pais- (prici e =. o),

Donc, la série (5) a ses ternies inférieurs à ceux d'une progression géométrique décroissante et, par suite, elle est convergente.

Quanta la charge / e rfo", elleest nulle en vertu des équations (3),

à cause de la condition nécessaire

/ fd7 = o.

Si le conducteur est évidé, et si les charges inductrices sont intérieures, la densité e est fournie par Téquation fonctionnelle

(G) £=/ / —^ di'.

OÙ / est compté positivement vers l'intérieur. On y satisfait par la série convergente

(') Dans ces inégalités, devant les signes | | , il faut lire maximum de. G. K. — H. 3

66 DISTRIBUTION DE l'ÉLEOTRICITÊ.

d'où résulte pour la fonction V, supposée nulle à Tinfini, Texpression

(8) v= / ùzis d<j'^ ffîzrJidi'-^.,..

La charge est facile à calculer; car, en vertu des relations (3), on a simplement, suivant que n est pair ou impair,

I td<7= lim / Un— ^fn+i) ^^» / ^^^ = lina / ^/a-^-idtj,

ce qui peut s'écrire dans les deux cas

lim - I fn di = ' I f di = -— / ir.fdfs,

'^J/ '^JJ ^r.J„ -^

On vérifie par là que la charge du conducteur est égale et de signe contraire à la somme des charges inductrices.

Les résultats qui précèdent donnent la solution immédiate du problème suivant : Former une fonction V qui satisfasse à l'équation AV = o dans l'espace intérieur à une surface fermée convexe 0- (dépourvue de toute singularité), qui soit continue, ainsi que ses dérivées premières, dans cet espace et dont la dérivée suivant la normale intérieure ait en chaque point de o- une valeur donnée 2 7^/. Cette fonction peut être prise égale et de signe contraire au potentiel d'une couche simple, de densité e, répartie sur 0-, qui exercerait aux points intérieurs infiniment voisins de oune action normale égale à a tî^ (comptée positivement suivant la normale intérieure). On aura donc

(lo) V — const. — / - tfîj,

£ ayant la valeur (5).

Le problème extérieur corrélatif se résout par la même fprmule, e ayant ici la valeur (7).

Remarque, — La solution précédente /?ro//re l'existence d'une fonction V assujettie aux conditions énoncées, si l'on admet la possibilité de l'équilibre électrique spontané, possibilité qui a été démontrée rigoureusement par plusieurs géomètres.

CONDUCTEURS FERMÉS CONYEXES. 67