III. — Sur le conducteur de capacité électrique minima

J'ai établi (première Partie, Chapitre II, § V) que, si l'on néglige le carré de rexcentricité n, tous les sphéroïdes de même volume que la sphère, et qui ont même potentiel, possèdent la même charge : c'était démontrer en d'autres termes la condition nécessaire (mais non suffisanle) pour que la sphère soit, de tons les conducteurs d'égal volume, celui qui a la capacité minima. Je vais compléter ce résultat, en faisant voir que, parmi tous les conducteurs de même volume ou de même surface, la sphère possède une capacité électrique minima.

Pour le prouver, observons que Téquation polaire de tout conducteur, 1res peu différent d'une sphère de rayon R, peut se mettre sous la forme

où a désigne une constante très petite et n une fonction des deux coordonnées 0, A. Si Ton s'en tient aux termes du second ordre inclusivement, on aura, pour l'inverse du rayon vecteur,

et, pour l'élément de la surface o- du sphéroïde,

(i3) d7= R»(i-+-2a/i-+-aV)^w>

rf(o désignant l'élément de la surface sphériquc de rayon i et/ une fonction de et de <i, qu'il est inutile de calculer.

Au même degré d'approximation, la densité électrique e en un point dû sphéroïde (i i) s'écrira

(i4) e = eo-î-aeiH- a'^j,

eo étant une constante, ^i, ^2 des fonctions de 0, •}.

Si l'on tient compte des relations (12), (i3), (i4)î le polcnliel au centre du sphéroïde

s'exprimera par la formule V = R { iTzeo-h 0Lj(neQ-h ei) dtù -4- a* r[(/— /i*)eo-+- nci4-«î] c?a> j.

Or j*al démontré (p. 27) que Ton a pour tous les sphéroïdes (i5) V = 47:Rco.

De celte équation et de la précédente résultent les conditions

(16) J{neo-^ ei)dti} = 0y J [{/— n^) Cq-^ nei-{- et]du} = o.

D'autre part, l'intégrale J ndiù représente, aux termes du second ordre près, l'excès du volume du sphéroïde sur celui de la sphère de rayon R, et aussi, en vertu de la formule (i3), le demiexcès de la surface du sphéroïde sur celle de la sphère. Par suite, l'hypothèse de l'équivalence en volume ou en surface de tous ces sphéroïdes entraîne

(17) J n du} = o.

La charge M = Jed7 a pour expression, en vertu des relations (i i), (12),

= R' r4^^o-+- 3t y (2/1^0-+- ei)d(i) -+- a* / (/«o-+- '^nei -+- ei)dui ].

Les conditions (1 5), (16) et (17) réduisent cette expression à

Si l'on effectue le développement de n en série de fonctions sphériques

(19) 71 — Yi -4- Y, -h Yj-+- Y4 -H. . .,

développement qui satisfait bien à la condition (17), on sait

fil (Poisso>) que le rapport — s'exprime par la série

( 20 ) — = Yj -f- 2 Y3 -i- 3 Y; -i- . . . .

CONDUCTEUBS FERMÉS CONYEXES. 69

Il en résulte

(18)' M=.Rri + |i r(Y,^Y,-+-Y,-4-...){Yn-2Y,-i-3Y,-h...)^a>l.

Mais, en vertu de la propriété fondamentale des fonctions sphé-

riques, le coefficient de a^ se réduit à la quantité essentiellement

positive

fY\ diù H- iJy\ du) -f- 3^ YJ û^o) -H. . . .

Par conséquent, la capacité électrique r^ est minima pour

Yi = Yj = Y3 =...= o, c'est-à-dire pour la sphère.

IV. — Distribution de l'électricité sur les faces internes d'un parallélépipède rectangle conducteur soumis à l'influence d'un point électrisé situé à son intérieur.

Pour obtenir cette distribution, il suffit de chercher le potentiel de l'électricité des faces (supposées au potentiel zéro) et de la charge du point donné sur un point quelconque intérieur au parallélépipède. Ce problème, traité pour la première fois par Riemann, peut être résolu de la manière la plus élémentaire par l'application pure et simple du principe des images.

Plaçons l'origine en l'un des sommets du parallélépipède donné et les axes des x, y^ z suivant les directions des trois arêtes a, &, c issues de ce sommet. Considérons les faces internes de P comme réfléchissantes, et prenons toutes les images du point électrisé, de coordonnées a, p, y, par rapport au système de miroirs formé par ces faces. Soit + i la charge du point électrisé, et convenons que l'image directe d'un point dont la charge est -+- 1 sera affectée de la charge — i, et inversement.

Si l'on construit le réseau de parallélépipèdes égaux à P, réseau dont les sommets ont pour coordonnées ma, nb, pc^ les images se grouperont autour des sommets d'ordre pair {*ima, inb^ ^P^) en coïncidence avec les sommets des parallélépipèdes n ayant pour centres ces sommets et pour dimensions 2 a, 2^, 2 y*

70 DISTRIBUTION DR l'ÊLECTRICITÊ.

Si Ton appelle /i, r^, /'a, /•4, /'s, /e, />, rg les distances des images appartenant à un même parallélépipède H à un point quelconque (x^y, z) intérieur à P, le potentiel du réseau des images sur le point (^r, y, z) est

la sommation s'étendant à tous les centres (2 ma, 2nb, ^pc) des parallélépipèdes II.

C'est le potentiel cherché. En effet :

i'' V se réduit à zéro sur l'une quelconque des faces de P; car, à toute image ■+- 1 correspond évidemment une image — i, symétrique de la première par rapport à cette face.

2® La série (21) est convergente. Pour le montrer, désignons par)^, [JL, vies cosinus directeurs de la distance rdu point (;r, y, z) au centre d'un parallélépipède II. Si l'on transporte l'origine au point (^, J^, z), les coordonnées des huit sommets de ce parallélépipède, qui doivent être affectés alternativement des charges 4- I et — I, sont :

(i) Xr-j-a, |i/--i-p, vr-T-7, (5) y^r-^oLy iir-f-P, vr — y,

(a) Xr-+-a, |ir— p, vr-^-y» (6) Xr-+-a, jjl/* — p, vr — 7,

(3) Xr — a, f^r— p» vr-r-y, (7) Xr— a, fxr— p, vr — y»

(4) Xr — a, fir-l-p, vr-^-y, (8) Xr — a, îJL/'-^p, vr — y.

La partie p du potentiel fournie parles huit sommets de II peut

s'écrire

\''i f't/ \/-i /-g/ Vrs /'s/ \f\ rj

En posant

aî -H p» ^- Y* = 8«,

on a

rJ = (Xr -f- a)2 -h (fir-i- P)*H- (vr-i- y)« Supposons la distance r très grande, et évaluons — jusqu'aux

CONDUCTEUBS FERMÉS CONVEXES. 7I

termes du troisième ordre inclusivement, en négligeant ceux d'ordre supérieur :

I 1 f A a p T\ Sn ^

/• L \ r ^ r rj 'ir^ 2 \ /• ' /• /'/ J

On déduit de là

I I 2 /. a a Vv I I 2 / . a S y\

^-(X-H-ai--+-v-i-, = -( — X--Ha-i-H-v-i

/'i T; /• \ r ' /• 77 /'3 /'s '^ \ r ' r rj

/'i /'s /' \ /• ' /• rJ /'^ re r \ r ' r r

d'où l'on conclut que v ne contient rjr//^ rf^5 termes du quatrième ordre A'r~^ -f-. . ., k élant une quantité variable finie.

Considérons maintenant un parallélépipède de très grandes dimensions, a^'ant pour centre l'origine et homothétique à P. A tout parallélépipède FI dont le centre est situé sur une de ses faces, et qui fournit au point (j:, y^ z) le potentiel /rr~% correspond sur la face opposée le centre d'un parallélépipède II' symétrique, qui fournit au même point le potentiel — kr''* . La somme de ces deux potentiels est évidemment un infiniment pelitdu cinquième ordre. On peut alors, à une très grande distance de l'origine, ne conserver que les parallélépipèdes II situés dans le premier angle des coordonnées. Leur action est évidemment du même ordre de grandeur, au point (^, ^, z)^ que celle d'une matière continue de densité variable, mais finie, agissant en raison inverse de la cinquième puissance de la distance. Dès lors si, de l'origine comme centre, on décrit dans le premier angle un quart d'hémisphère de rayon R suffisamment grand, la somme des termes de la série (21) sera, à partir d'un certain rang, comparable à l'intégrale

/•"irr* dr C'^ izdr __ tz

qui tend vers zéro. Donc la série (21) est convergente, c. q. f. d.

7^ DISTRIBUTION DE L'ÉLBCTRICITÊ.