II. -— Application au conducteur sphérique creux

Nous prenons ici pour surfaces S, et S2 doux calottes sphériques, situées du même côté d'un plan qui les coupe toutes los deux suivant un cercle K, de rayon r.

Pour étudier l'angle solide (o sous lequel un cercle est vu d^un point P d'une calotte sphérique qu'il termine, il suffit évidemment de couper la figure par un plan passant par un diamètre AB du cercle K et par son pôle D sur la calotte. Appelons 2^ l'angle sous lequel le diamètre AB du cercle K est vu d'un point quelconque P du segment ADB. C'est l'angle au sommet du cône de révolution (D, AB) qui a D pour sommet et R pour base.

Quand le point P occupe sur le segment une position intermédiaire entre A et le pôle D, le cône défini par P et K est un cône oblique à base circulaire (P, AB), admettant pour Fun de ses plans de symétrie le plan PAB; les génératrices PA et PB font entre elles l'angle 2 3; tout plan perpendiculaire à la bissectrice de l'angle APB coupe le cône suivant une ellipse dont le petit axe est situé dans le plan PAB. Cette dernière propriété résulte de

LES CONDUCTEURS CREUX. yS

considérations géométriques très simples; c'est pourquoi nous ne nous arrêterons pas à la démontrer.

Quand le point P vient en A, le cône précédent se décompose en deux plans, savoir le plan du cercle K et le plan tangent a la sphère en A, plans qui font entre eux l'angle 2 {3.

Faisons coïncider le sommet du cône de révolution (D, AB) avec celui d'un des cônes obliques (P, AB), ainsi que l'axe de révolution du premier avec l'axe intérieur du second ; les deux cônes seront bitangents, puisque les deux génératrices de section principale du second font un angle 2^ égal à l'ouverture du premier. Dans cette position, il est visible que le cône de révolution est intérieur au cône oblique, le diamètre de chacun de ses parallèles étant le petit axe de la section du cône oblique. Enfin, si par le sommet commun des deux cônes on fait passer les deux plans dans lesquels dégénère le cône (P, AB) quand son sommet vient en A, et si Ton place ces plans de façon que le recliligne de leur dièdre, qui est égal à 2p, vienne coïncider avec les deux côtés de l'angle APB, les deux cônes toucheront les deux faces de ce dièdre tout le long de leurs génératrices de contact et seront par conséquent intérieurs au dièdre.

11 n'y a plus qu'à couper le dièdre et les deux cônes par une sphère de rayon i, ayant son centre en leur sommet commun, pourvoir que le fuseau sphérique détaché parle dièdre a une aire plus grande que l'ellipse sphérique découpée par le cône oblique, et que cette ellipse sphérique a elle-même une aire plus grande que la calotte interceptée par le cône droit. Par suite, l'angle solide sous lequel le cercle K est vu d'un point P du segment est maximum et égal à 4^ quand P est en A; il est minimum quand P est en D et sa valeur est alors

2it(i — cosP) = 4^ sin* - ,

aire de la calotte interceptée sur la sphère de rajon 1 par le cône droit dont le demi-angle au sommet est égal à ^.

11 serait facile d'évaluer ces valeurs maxima et minima en fonction du rayon r du cercle R et du rayon R de la calotte sphérique, le sinus de 2 ^ étant égal à r : R.

Convenons que l'angle ^ corresponde à la calotte extérieure S|,

et soit p' la valeur de Tangle similaire pour la calotte intérieure Sf La double inégalité (24) deviendra

sin« ^ , Q

et, si le conducteur est infiniment mince (p' = P),

(^2D)' sin* < -irr < -'