M TT

ce qui est bien d'accord avec la double inégalité (63) de la deuxième Partie (Chap. I, § II). En particulier, pour un conducteur hémisphérique mince, le rapport de la charge intérieure m'

à la charge totale M est compris entre ^^ 7*

III. — Application à la sphère mince percée d'un trou très petit.

D'un conducteur sphérique infiniment mince, de rayon R, supposons enlevée une calotte, dont la circonférence de base K a un diamètre très petit AB = ir\ Comme ici co' est égal à w, la relation générale (22) donne

ou bien

o) rfM = 4 'îT m',

ce qu'on peut encore écrire

/n'= -— / wp û?!j = — / îMpdz,

en prenant pour élément superficiel l'aire 'iiz^dz d'une zone élémentaire Z, limitée par deux plans parallèles à celui de K; si nous remarquons que la densité p est sensiblement constante

4 Tz H*

LES CONDUCTEUBS CBEUX. 77

l'expression de m' deviendra

o) dz.

Quanl ail très petit angle solide co sous lequel le cercle K est vu des divers points P de la zone Z, pour évaluer sa partie principale, désignons par / la distance de P à un élément d'aire ds de K et par z sa distance au plan de K. On aura visiblement

, „ , cos(/, -5) ds z ds

Gomme / se confond avec la distance u du point P au centre de K, et comme on a approximativement

u^^-iKz, on peut écrire

(29) W = — / ds = — — 73TTr^-

Celte expression de (o, substituée dans la relation (27), donne

/w' r^ r"^ dz M - I6R-- J^ /^î^'

parce que /* peut être remplacé par zéro dans l'intégration, et il

vient finalement

C^est à ce résultat qu'on serait arrivé en appliquant le théorème de la deuxième Partie (p. 39) qu'exprime l'équation

En effet, désignant par t Taire de la calotte enlevée, on a

iM 4 î: H* et, comme l'expression de t

a--.2zRM I — i/ I — „^

se réduit sensiblement à itr-, on trouve bien

Mais le raisonnement précédent a Tavanlage d'être direct. En invoquant le principe de superposition énoncé à l'endroit cité (p. 4o), on trouve pour la charge intérieure d'une sphère percée de plusieurs petits trous de rayons Ti, /•2, . . . ,

^ — i '*' l Cx

Ainsi cette charge intérieure augmente avec les dimensions et le nombre des trous. Elle est indépendante de leurs positions.