I. — Potentiels de couches doubles

Si, sur une surface fermée t que, pour plus de simplicité, nous supposerons douée d'un plan tangent unique en chaque point,

on distribue une couche double, de densité continue — ? le po-

SUR l'intégration dk l'équation av = O. 79

lentiel de la couche eD un point intérieur/ a pour expression

di

r désignant la distance du point i à Télément é/?, n la normale intérieure à cet élément et dtù l'angle solide sous lequel l'élément dv est vu du point i. Nous représenterons ce potentiel (*) par le symbole cp/ul.

Ce potentiel est discontinu sur la surface o-. Soit ç[jl la valeur qu'il prend en un point m de cette surface; au point m,, situé sur la normale intérieure en m et infiniment voisin de m^ il prend une valeur Çi o. différente de csjjl, et l'on a

(32) (p,îl= ^[A-r-|X.

Au contraire, la composante f^- de la force exercée par la couche est continue sur la surface o-, ce qu'on exprime, avec des notations analogues aux précédentes, par l'égalité

(33) /il^=/f^.

Si l'on pose

ou. -- oo u = — I o ÏJ- . r- . . r- 2 71./ ' '

diUj

çp(/l+I) jjl = ;pçp(/ï) |JL = ^ / <p^«' JJL rftO,

les divers potentiels ç', cp'', ... ne dépassent jamais une certaine limite, pourvu que la surface o* soit convexe. Soit en effet M la plus grande valeur absolue de [jl; on aura

(') Pour simplifier l'écriture, nous conviendrons que les leUrcs ç, ainsi que les lettres/ et <{/ introduites ci-dessous, porteront sur tout ce qui les suivr<i, comme dans ^.{x la lettre 9^ porte sur \l.

8o DISTRIBUTION DE L'ÉLEGTRIGITÉ.

et, par suile, aussi

|(p<'»VI = M (/i = i,2,3,...).

Mais il y a plus : les potentiels successifs ^', ^''j.-.jçf"^, ... tendent, lorsque n augmente indéfiniment, vers une valeur constante, quelle que soit la position du point m sur la surface convexe a-.

(C. Ne U MANN.)