II. — Détermination de V par ses valeurs à la surface

Une fonction V, vérifiant Téquation AV = o, est supposée continue ainsi que ses dérivées premières à l'intérieur d'une surface fermée convexe t; en outre, elle est supposée continue sur la surface c, c'est-à-dire qu'on a

V étant la valeur relative à un point m de la surface, et V| la valeur relative au point /?2,, situé sur la normale intérieure en m et infiniment voisin de m. On demande de déterminer la valeur\ i de la fonction V en tout point i intérieur à fs^ connaissant sa valeur en tout point de la surface.

Nous partirons de la formule de Gauss

dn ^ ii: / du T

Kn introduisant le potentiel do couche double ç,[jl et le potentiel i/|jL d'une couche simple de densité -^ répandue sur o-, nous écrirons cette formule comme suit

' dn

d'après la convention précédemment faite sur les symboles es et A. La relation (36'), appliijuée au point ^i et différenliée suivant la normale intérieure, donne

dn -^ * ' ' dn

SUR l'intégration de l'équation av = o. 8i

ou bien, eu égard aux conditions (82) et (33),

^^' ^ dn S-' 3 • é//i

dV Par la substitution de cette valeur de -r^ l'équation (36') devient

(38) O.V, =. cp V - i>,/V -^ i ^i?^'

Appliquons encore cette équation au point mt et différentionsla suivant la normale intérieure, en tenant toujours compte des conditions (32) et (33) et en ayant égard aux relations (34). Il viendra

^ rf^r = 3-^^- 3 ?-^^-^ 3 ^ rf;r + 3 "P rfT •

Cette dernière équation, ajoutée membre à membre avec Téquation (37'), donne

'^8> rf;r--3-^^-3i'P-^^^3î? rf;r-

Substituant cette valeur de —r-' dans l'équation (38), et tenant compte des relations (34), on trouve

.rfV, dn

Les mêmes transformations, répétées n — i fois encore, conduisent à la formule

Ho) '

Or l'intégrale ç<«-^'^ -j^ et, par suite aussi, ({^^©(«-^-O i ne dépassent jamais une limite finie. Donc le terme complémentaire

'vTTï't''?^''^*^ ~T^ ^^^^ ^^^^ zéro, en sorte que V/ est exprimé par la série

convergente à raison de la manière même dont elle a été obtenue. G. R. — II. 6

82 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÉ.

Cari Neiimann a résolu la même question par un autre développement. Sa mélhode repose sur la propriété des potentiels successifs cp', o'', o"', ... de tendre vers une limite constante, quelle que soit la position du point m sur la surface convexe a-. Nous allons utiliser cette propriété pour la solution du problème suivant, que Neumann n'a pas traité.

rfV III. — Détermination de V par les valeurs de -j-*

Une fonction V, vérifiant Téquation AV==o, est supposée continue ainsi que ses dérivées premières à l'intérieur d'une surface fermée convexe <j; en outre, on suppose que sa dérivée suivant la normale y- est continue sur la surface, c'est-à-dire qu'on a

d\\ d\ du d/i

avec les notations précédentes. On demande de déterminer la valeur V/ de la fonction V en tout point i intérieur à o-, connaissant -j- en tous les points de la surface. Nous partirons encore de la formule de Gauss

([ue nous écrirons

^ dW d^

r , i r d\ di

dn 4^^./^ dM r

Appliquons cette formule au point /??|, en remarquant que le potentiel de couche simple ^J^/[jl a la même valeur <J>[jl au point m^ qu'au point infiniment voisin m et en ayant égard à la relation (Sa). Nous trouvons ainsi

Celle valeur de V|, subslitiiée dans Téqualion (4')> donne

SLR l'intégratiox DE l'équatiox av - O. 83

et, par une deuxième subsliluiion,

En rt^pétant indëHnimenl la même transformation et remarquant que, d'après Neumann, on a

el, par suite,

lim Qio"»' V'i = — f^ dio = C,

nous obtenons, pour exprimer V, la série

qui est convergente, d'après la manière même dont elle a èlé obtenue, et qui contient, comme cela devait èlre, une constante arbitraire C.