IV. — Généralisation du premier problème
La série (4o) s'applique à des cas bien plus étendus que celle de Neumann. Elle convient à des corps limités par des surfaces qu'une droite peut percer en quatre points : tels sont les espaces convexes doublement connexes comme les tores, les corps creux compris entre deux surfaces convexes, l'une intérieure t, l'autre extérieure i/. Il suffit de prouver que, dans ce cas encore, le terme
complémentaire T^^'i/cp^""^*' ^- tend vers zéro, ou simplement que ^ '^f"^[jL tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.
Tout d'abord, on voit aisément que si ^ désigne la plus grande valeur absolue de '^u sur la surface entière t 4- t', on a, pour tout point de l'une de ses nappes,
et, par suite.
84 DlSTRIBUTIOI<ï DE l'ÉLECTRICITÉ.
Nous pouvons donc poser (43) i?|f' = X'..
et nous savons que le rapport ^„ ne peut pas croître indéfiniment avec n. Nous prouverons qu'il tend vers zéro.
Prenons d'abord le point m sur la nappe intérieure t et convenons d'affecter les lettres '^ de l'indice t quand elles désigneront des valeurs de potentiels de couche double relatives aux points de cette nappe t. Soient A le maximum et B le minimum de o sur la
surface entière t -h t', et soit M la moyenne Partageons la
nappe t en deux régions, l'une a correspondant aux valeurs de y plus grandes que M, l'autre j3 aux valeurs de o plus petites que M ; partageons de même la nappe T'en deux régions analogues a'et P'. On a
chaque lettre a> représentant l'intégrale derfw étendue à la région que désigne son indice. En vertu des relations
liT A -H B
(Oa H- (Oo = 4 t:, oJx' -h Wq. = 211, M = .
l'inégalité précédente peut s'écrire On trouvera de même
Prenons maintenant le point m sur la nappe extérieure t'. Soit 6 l'angle solide, inférieur à 27:, sous lequel la nappe t est vue du point /n. La courbe de contact du cône (d'ouverture 6), qui a pour sommet m et qui est circonscrit à t, sépare cette nappe en deux parties, l'une T| du côté de /?i, l'autre T2 du côté opposé à m. Nous partagerons la première en deux régions ai et fJ|, la seconde en deux régions aa et ^2? définies respectivement comme les régions a et p.
SUR l'intégration de l'équation AV = O. 85
Nous aurons, pour la valeur ç^ de cp' au point m, l'expression
(?;= - W y ? dt3i -hj cp dtù —J tp dti}j
2^\Ja'* Jfi' Ja, A' ^«. A' ^
d'où résulte
En vertu des relations
lOx' -t- (Op. = 27:, (Oa, -f- cop^ = (««, -H wp^ = 0, M = ,
celte inégalité prend la forme
(46) ?;.gA-^(A-B)(±- "3-^7--^"" )
On trouvera de même
(9 ti)v -+- tua. -h tOQ \
Cela posé, soient A' le maximum et B' le minimum de o' sur la surface entière t-Ht'. Quatre cas peuvent se présenter, suivant que les points où cp' acquiert ces valeurs extrêmes sont tous les deux sur la nappe t, ou l'un sur t et l'autre sur t', ou tous les deux sur la nappe t'. Pour le premier cas, les inégalités (46) et (47) donnent, les ù majuscules désignant les valeurs des diverses fonctions 0) qui correspondent aux points considérés,
A'SA + (A-B)(,-ïîiîï),
On en déduit
Dans les trois autres cas, la comparaison des inégalités (44))
86 DISTRIBUTION DE l'ÉLECTRICITÊ.
(45), (46) et (^7) conduirait à la même conclusioD. Il en résulle
AC/i)B("J<'2«(A — B),
A'''^ et B^"^ représentant le maximum et le minimum de cp^^^ix sur la surface entière t 4- t'. Cette dernière inégalité, rapprochée de Téqualiou (43), donne
ma\
.X„— min.y„< Qj (A — B).
Comme y„ ne peut croître indéfiniment avec /?, il résulte de là que 'fn tend vers une même constante C pour tous les points de la surface t + t'. Posons donc
(limert = limert4-^ = o).
Or on a, quel que soit Tentier positif/?,
et Ton voit aisément que, pour tout point de la surface t -}- t', on a
71 étant une quantité du même ordre que s ou infiniment plus petite. 11 vient donc
ce que Ton peut écrire
G G H- e,4-Hp = 3^ "^^•
Faisons maintenant croître indéfiniment /i et/?; comme tj et €/i+/i tendent vers zéro, la constante C est nécessairement nulle, ce qui établit notre théorème.
Le principe de cette démonstration est emprunté a la méthode de la moyenne arithmétique de Cari Neumann.
HYDRODYNAMIQUE.
LE
