I. — Intégrales complotes des équations de l'Hydrodynamique

Helmholtz a montré comment la vitesse (w, i^, (v) en chaque point d'un fluide s'exprime en fonction des rotations Ç, Tj, Ç, en se bornant au cas particulier où les filets tourbillonnaires n'arrivent pas jusqu'à la surface terminale ou ne l'atteignent que tangentiellement. Je reprends l'anal^'se de Helmholtz en m'aflranchissant de cette restriction.

11 s'agit d'intégrer les quatre équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre et du premier degré

dw dv ày àz

, du Ow

dv du ^

dx ôy "*'

, ^ du dv^ ôw

^ ^ dx Oy dz '

OÙ s, /t, Ç sont assujettis à la condition

dx dy dz

Cherchons d'abord une solution particulière z^,, v^^ «'|. Pour cela, appelons c/t' un élément de volume du fluide; d<j' un élément de la surface terminale, dont la normale intérieure n aura pour

90 HYDRODYNAMIQUE.

cosinus directeurs a', P', y'^ ^'^y\ ^' "i^ point de rf'r' on de rfy'; r la distance du point (x^ y, z) au point (a:', y'^ z'). Posons

Nous obtenons la solution particulière cherchée en prenant

' djr dz Oz Ox ox oy

En effet :

I** Ces expressions satisfont visiblement à Téqualion (2);

2° Elles satisfont, par exemple, à la première des équations (i); car des formules (5) on tire

dy ôz ~ ' dx\Ox ày ôz )

Or on trouve sans difficulté

A log(j7 — x' -^ r) = o pour tout point [x^y^z) autre que {x'^y', z')\ de là résulte

On a, d'autre part,

par suite

^ "^ ^ "^ "JJ ~ J \dx' "^ J/ ^ ^W '• ~ °'

et