LE PROBLÈME GÉNÉRAL
en vertu de la condilion (3). Donc
àwi dvi ^
Oy dz ^'
Cette vériCcation suppose que les rotations sont continues. S'il existe pour les rotations une surface de discontinuité o",, et que l'on désigne par \\ — Ç,, r[\ — r,,, J^', — Ç, Taccroisseinent brusque de la rotation quand on passe, en traversant o"i, de la région où ne se trouve pas le point {x^y^ z) à la région où il se trouve, il faut ajouter à Texpression (4) de U, par exemple, le terme
Ce terme disparaît si la surface de discontinuité o"| est partout tangente aux filets tourbillonnaires.
En supprimant dans les formules (4) les termes relatifs à la surface terminale, on retombe sur la solution particulière de Helmholtz.
On peut transformer les expressions (4) de U, V, W de manière à en éliminer les intégrales de surface. On a, en efl'et,
La dernière intégrale est nulle eu vertu de la condition (3) ; il en résulte pour U, V, W les formules nouvelles
i u = -Lrr,^>V(r-y)^CU-^-')]f^-.
(O V =. J- fU- !:'(^-v)-^r(^-x')-| d,^
Elles conviennent également au cas des rotations continues et au cas des rotations discontinues.
9^ HYDRODYNAMIQUE.
La solution générale du système (i), (2) est
09 do ào
(6) Il = Ui-h -r-^ ç = ç,-\- rr-y iv = «;, 4- — !- ,
ox oy oz
o étant une fonction continue, ainsi que ses dérivées, qui satisfait dans tout le fluide à l'équation Ho = o, et que détermine (à une constante près) la connaissance de la composante normale 0Lu-\- pi^ + yïp de la vitesse en chaque point de la surface terminale; les équations (6) donnent en effet
Remarque. — Si Ton se reporte aux expressions (5) des vitesses «I, i^i, (V|, on voit qu'il faut montrer que les dérivées partielles de U, V, W ne sont pas infinies. Or on a, par exemple,
J^=/(«T-P'V-^ir'Oï^
y~y ^cr^
Le dénominateur x — x'-\- r s'annule pour le point de la surface y =^', z = z'^ situé par rapport à (x, y^ z) dans la direction de l'axe des x. Projetons ce point sur le plan des yZy et de la projection P comme centre décrivons une série de petits cercles de rayon p (o <C p < pi)» Posons
y — ^=.pcosO, z' — 2 = psinô.
Nous aurons
— : ' ~ -; } rr^ {r-\- X — X)
Y — v' . — cosO
On a dès lors, pour la portion de l'intégrale relative au petit cercle p^,
LE PROBLÈME GÉNÉRAL. qS
Dans le cercle de rajon p^ la quanlité finie
r -4- x' — X ra'
peut se développer suivant les puissances ascendantes de p
(aT-^ P'V+y;') ^ -^fr ^ = c -r- p/(0) + . . ., c étant indépendant de 6 ety(O) étant fini. Il en résulte
^ =.-tl f /(O)cosO^e;
d'où l'on conclut que — n'est pas infini.
