II- — Possibilité et détermination du problème général
de l'Hydrodynamique.
Lemme. — Lorsqu'une fonction 'f (^,y, s), Jinie et continue ainsi que ses dérivées premier es, à l'inférieur d'une sur/ace S, et satisfaisant dans tout cet espace à l'équation Acp = o, est donnée en tous les points d'une surface fermée S, intérieure à S, elle est déterminée en tous les points compris entre S et S.
En effet, supposons qu'il existe une autre fonction '^|, satisfaisant aux conditions de l'énoncé. La différence cp i — ^ y satisfera aussi. Cette différence C5i — es est nulle sur toute la surface S; elle est donc nulle en tous les points intérieurs à S. Donc, en vertu d'un théorème de Gauss, elle est nulle dans tout l'espace compris entre S et S. Par conséquent, cpi = cp dans ce dernier espace.
Remarque. — Au lieu de donner la fonction cp sur toute la surface S, on peut donner cp sur une portion de cette surface et, sur la portion restante, la dérivée de '^ suivant la normale.
Théorème. — Le mouvement d'un liquide est toujours possible et complètement déterminé lorsqu'on donne :
\^ Les vitesses initiales {supposées continues) de tous ses points, en grandeur et direction;
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2" Lps composantes normales des vitesses sur certaines parties de sa surface et la pression sur les portions restantes ; cela ù tout instant.
Il suffit de montrer que, si l'on connaît les vitesses {u^v^iv) pour tous les poinls {x^y^z) à Tinstant /, on peut en conclure leurs valeurs (z^', i'', (v') pour les nouvelles positions (a:\ y', 5') des mômes points matériels, à l'instant infiniment voisin t'=. t -\- dtj et que, si Uj i', w sont continues, «', v' ^ kv' le sont aussi.
A cet effet, rappelons les formules (6) de Tarticle précédent :
do ào do
(6) "-=-,,^ + «.. ••-jp-"'. »' = ,7t+«''-
Puisque u^y i'< et (Vi sont déterminées par les formules (5) et qu'on suppose u^ i', (v connues à Tinstant /, on voit que les trois dérivées de '^ par rapport à ^,j)% z sont connues; donccp est déterminé, à une fonction du temps près; mais on peut supposer cette fonction nulle, ce qui n'influe pas sur les valeurs des vitesses.
Cela posé, concevons une surface S enfermant la surface terminale 2 du li({uide au temps /, et assez grande pour comprendre sa surface lerminale S' à l'instant t'. D'après le lemme, la fonction » est délerminée pour tous les points compris entre S et S, si on lui impose d'élre finie et continue en ces points et d'y satisfaire à l'équation A'^=: o.
Supposons maintenant que le temps s'accroisse de dt et accentuons les lettres relatives au temps t' = t -{- dt.
Les nouvelles positions des points du liquide sont données par les formules
d' — X -T- udt^ y = y - s^dty z' — z:-wdt]
on connaît donc les nouvelles distances r' des points {x'^y\ z') aux divers éléments de volume di\ Les nouvelles rotations sont données par les formules
>, .. />àu du ^ àu\ , ,
On connaît, par conséquent, U', V, W'et //', , v\,, w\^ grâce au:
