LE PROBLÈME GÉNÉRAL

relations (4)el(5). f. es nouvelles vitesses

(0) "=J5jr + "., '•'-^,7-"u "■'-=5?-"''

seront donc connues, si Ton parvient à déterminer :?'.

Supposons que Ton se donne, la coniposanle normale de la

vitesse

M'cosa'-î- t>'cos3'-4- «v'cosy'i

en un point de la surface 2/ du liquide au temps i'\ les angles a', ^', y' de la normale intérieure n' avec les axes sont connus, puisque Ton connaît la forme nouvelle du liquide. Des équations (6') on déduit

do'

-^, = a'cosa'-^- p'cos^'-î- iv'cosy'— (m', cosa'-hi^', cos^'-i- w\ cosf').

Cette formule détermine la dérivée de '^' suivant la normale.

Supposons que l'on connaisse la pression p au temps / eu un autre point de la surface S du liquide. Reportons-nous aux équations générales de rifydrodjnamique, que nous écrirons

ôx 01 ^ ^'

Oy dt

ô(F — p) f)iv . , LJ — D( Kv ),

Oz Ot '■

en désignant par F la fonction des forces, parD(;/), D(('), D((v) les résultats de l'opération

Il ^ ^ \ \- W .-y

Ox Oy Oz

effectuée respectivement sur «, c et (t*, et supposant la densité égale à l'unité. En tenant compte des équations (6), ou eu déduit

t ^ OtJ ' * ^

• Ç ' D(u)dx--D(v)dy-r-D{a')dz,

96 HYDRODYNAMIQUE.

en négligeant une fonction du temps qui nMnflue pas sur les vitesses. Celte équation, dont le second membre est connu, détermine la dérivée qui figure au premier.

Observons, d'après le iemme, que, même au cas où le liquide abandonne le point {^^y, ^), la fonction cp n'en a pas moins, au

temps l\ en ce point supposé fixe, une valeur ? 4- ;tJ dt. Ce point

{x, y^ z) venant occuper au temps t' la position connue (x', j^, :;'), la fonction cp prend en ce point la valeur désormais connue

^ * \àt dx dy dzj

Alors même que la nouvelle position (x'^y'yz') ne fait pas partie de l'espace primitivement occupé par le iluide, la fonction o n'y a pas moins, au temps /, une valeur déterminée

ào . âo , ào ,

àx ày '^ àz

On connaît donc, en tous les points de la surface S', soit la

fonction cp' elle-même, soit sa dérivée -t^« D'après un théorème

connu, la valeur de cp' est alors déterminée en tous les points du liquide.

11 résulte de la démonstration que w', v^, w' sont finies et continues, comme w, r, tv. C'est d'ailleurs ce que supposent les équations de l'Hydrodynamique.

Remarque, — Au lieu de donner les valeurs initiales des vitesses, il suffit de donner les rotations initiales et les valeurs initiales des composantes normales des vitesses à la surface.