I. — Principe général de la théorie des percussions

Le principe de Hamillon embrasse toute la dynamique des forces ordinaires. Son importance tient à la généralité de son expression analytique, qui permet d'écrire immédiatement en coordonnées quelconques les équations di (Té renti elles du mouvement d'un système. Il est utile de rechercher dans le cas des percussions le principe corrélatif de celui de Hamilton.

Un. système matériel étant en mouvement, on peut faire varier brusquement les vitesses de trois manières diflerentes ; i° en établissant de nouvelles liaisons qui ne contrarient pas les liaisons primitives; 2^ en agissant par percussion sur certains points; 3*' en faisant agir simultanément ces deux causes de perturbation.

Supposons le système rapporté à trois axes rectangulaires. Soient m la masse d'un point; ao, 60, Co sa vitesse primitive; X, Y,Z, la percussion qu'on exerce sur lui ; a, 6, c la vitesse qui en résulte; —u^=ao — a^ ^ç ::= bo — 6, — w ^ Co — c la vitesse perdue; a, p, y une vitesse virtuelle compatible avec les anciennes et avec les nouvelles liaisons. Le principe de d'Alembert donne

( ' ) Ce Mémoire constitue le développement d'une Note Sur les explosions au sein des liquides, publiée par l'auteur en 1887 {Comptes rendus de l* Académie des Sciences, t. GV, p. 61), et qui a été fondue dans le présent texte. G. R. — II. n

{iS HYDRODYNAMIQUE.

équation où ne figurent que les percussions extérieures. On peut l'écrire

■ ^ l^m{2^-^^^-^^*)^^(\oL■r-Y?-^Z^O' L*équ^it\on (i) définit le mouvement naturel du système après la percussion. On peut concevoir un mouvement contraint, obtenu en adjoignant aux. nouvelles liaisons d^autres liaisons encore, non contradictoires avec celles-ci. I.e point m prend alors* la vitesse a', b\ d el perd la vitesse

— u — a^ — a\ — v' =z Ôq— (j'j — ii;'=rCo — c'.

Diaprés cela, les liaisons étant supposées indépendantes du temps, on peut prendre a, p, y égaux k a^b^c et aussi à a', 6', c' . L'équation (i) étant linéaire et homogène par rapport aux composantes des vitesses virtuelles, on y satisfait encore en prenant a, p, Y égaux aux différences

a' — a — u' — M, b' -b — r' — i\ c' — c = w' — w. Elle devient alors

Désignons par P la percussion dont les composantes sont X, Y, Z; par — p la vitesse /^^rc^^/e, dont les composantes sont — w, — p, — (r. L'équation précédente exprime que la quantitc

est minima dans le mouvement naturel. Tel est le principe que nous voulions établir. Si l'on introduit les coordonnées qi de Lagrange, que Ton désigne par T la force vive correspondant aux vitesses perdues, par P/ la composante de P suivant la direction