PERCUSSIONS ET EXPLOSIONS

de q\^ la quantité à rendre minima est T — SP/Ç'). . Les qi ne changeant pas pendant la percussion^ on obtient immédiatement pour les équations du mouvement

Fréquemment, et en particulier lorsque les données et les inconnues sont de nature purement cinématique, le travail

\^P/? cos(P, /?) resle invariable lorsqu'on passe du mouvement

naturel au mouvement contraint. Il suffit alors d'exprimer que la force vive correspondant aux vitesses perdues est minima. Voici trois cas remarquables et très généraux où ce fait se produit :

1" De nouvelles liaisons sont brusquement introduites, sans qu'aucune percussion soit exercée : alors P = o. Exemple : choc «les corps libres;

V." Certains points reçoivent des percussions propres à leur communiquer des vitesses données en grandeur et direction :

p'=ip, cos(P,/?') = cos(P, />).

Les autres points ne sont pas frappés directement. C'est dans ce cas, avec l'hjpothèse restrictive que le système part du repos, que MM. Thomson et Tait ont énoncé, dans leur Traité de Philosophie naturelle, le principe de la force vive minima;

,V* Chacun des points frappés directement reçoit une percussion de direction connue, mais de grandeur inconnue, qui lui communique une vitesse dont la composante suivant cette percussion est seule donnée : />cos(P,/>) =/>'cos(P,/>').

Les trois circonstances relatées peuvent d'ailleurs se produire simultanément.

Avant d'appliquer ces principes aux liquides, nous étudierons le choc de deux corps libres. Prenons pour origine le point de contact, pour plan des xy le plan tangent commun, pour axe des z la normale commune.

Soient — tt, — v^ — w les composantes de la vitesse perdue pour le premier corps, /?, q^ r celles de la rotation perdue; soient — i/', — p', — w', p\q', r' les composantes analogues pour le second corps.

lOO HYDRODYNAMIQUE.

La vitesse d'un point m{x,y, z) du premier corps est

u -ï- qz — ry^ v -. rx - pz^ w -+- py — qx^

Le double de la force vive correspondant aux vitesses perdues par le système des deux corps de masses M et M' est

aM (-5|^ — y\r) M -f 2M (jTiT -- Zip)v ~ -2 M iyip — Xiq) w \'p'^-^B'q'i-^C'r'^^'iD'q'r'-iK'r'p'-iPyq'-^M\u*-+-v'^-^ii'^)

-t- iM'(z\q'- y\ r')u'-x i^\\x\ r' z\p)v'-\- '}M' (y\p ~ x\q')w%

si l'on pose, pour le premier corps,

2 m(7J- 5«) -- A, 2 myz =-. D, ^m(z^^ X») -B, ^m{x^-^y^) . G,

y^ mzx — E, 2^mxy^ F,

N mx = Mari,

^my^^'Slyu y ^ mz = Mzi

et si Ton appelle A', B', C, D', E', F, Wx\,M'y\,M'z\ les quanlités analogues pour le second corps.

Si, d'ailleurs, on désigne par Cq, c et c^, & les composantes normales des vitesses au point de contact avant et après le choc, par e une constante, nulle dans le cas des corps mous, égale à 1 dans le cas des corps parfaitement élastiques, on a

d'où, en retranchant de part et d'autre Cq- - cjj,

w — iv'= — (r-T- e)(co— cj,).

Si l'on exprime que '2T est minimum, en tenant compte de cette dernière relation, on obtient, pour déterminer les douze inconnues u, i', H', Pj q, r, u\ v\ (v', />', q\ z*', les douze équations du premier degré,

Mq^

¥p -Dr- M Xi w-\-MzxU -- o.

D<7 — E/?— M/jtt - MxiV = o,

Mm-: M^i^- Mj^ir — o,

Mp H-Mxir —Mzip = o,

M (V -+- yiyiP — Mxiq

B'q'—F'p'D'r' — Wx

Cr'-D'q'-E'p'^M'y

MV'-T-M'ar ÎA'w-+- M'y,/?'— M'x\ q'= o,

(iH-e)(co— ci).

v' -i-My, w'

q'-.Wy\r* r' - M'z; y