ON
PERCUSSIONS ET EXPLOSIONS. To3
et les équations (6) montrent que
ifix = Oijci u)y — 0) J, o)- — 0)9.
Ainsi, par reffet de percussions dans un liquide, les rotations ne changent ni en direction ni en grandeur. En particulier, si \c liquide part du repos, les percussions ne font pas naître de rotations. Ce dernier théorème est dû à MM. Thomson et Tait.
On voit que le problème des percussions dans un liquide revient à la détermination de la fonction cp. Les vitesses perdues sont normales aux surfaces de niveau cp = const. Voici deux exemples de cette détermination, qui montrent bien Fanalogie, au point de vue analytique, de différents ordres de phénomènes physiques.
I. Un liquide, en repos ou en mouvement, est limité par uno surface libre plane, invariable, indéfinie. Sur une portion S de la surface libre, on exerce une percussion uniforme P.
Concevons que sur la surface S on ait étendu une couche ma-
gnétique d'intensité constante --• On sait que le potentiel de
cette couche en un point d'où l'on voit la surface S sous l'angle
P ti) solide o> est — • Ce potentiel remplit bien les conditions auxquelles doit satisfaire la fonction cp : il est nul à l'infini, égal à P eu un point quelconque de S, égal à zéro sur tout le reste de la surface libre. On a donc
Si la partie ébranlée S est une bande indéfinie à bords rectilignes et parallèles, les surfaces de niveau sont des portions de cylindres circulaires passant par les deux bords. Les lignes de flux sont des demi-cercles normaux à ces cylindres dont les diamètres se terminent aux points conjugués des points où le plan de chaque demi-cercle coupe les bords de la bande. Le diagramme, facile à imaginer, donne une idée très nette du mouvement. IjC liquide est chassé de la partie ébranlée de la surface vers la partie non ébranlée, qui se soulève normalement; il tourne autour de chaque bord avec une vitesse infinie : cette con-
I04 HYDRODYNAMIQUE.
clusion montre combien Thypollièse d'un fluide sans frottement est éloignée de la réalité.
II. La surface libre S reçoit une percussion uniforme; le reste de la surface terminale est limité par une paroi fixe.
Concevons que sur S on ait étendu une couche d'électricité en équilibre, au potentiel constant P. 11 suffit de prendre cp égal au potentiel de cette couche en un point quelconque, car y sera
nul à rinfini, égal à P en tout point de S, et -^ sera nul en tout
point de la paroi fixe.
On sait résoudre ce problème lorsque la partie ébranlée S a la forme elliptique. Les surfaces de niveau sont des ellipsoïdes
liomofocaux à l'ellipse donnée. Les lignes de flux sont les lignes de courbure des hyperboloïdes liomofocaux. Le liquide est chassé de la partie ébranlée sous la paroi, avec une vitesse infiniment grande près des bords. On a
dS
dS
/S(a»-hS)(^«-t-S)
III. — Explosions au sein d'un liquide ; équations générales.
Considérons une masse liquide en repos, illimitée ou bornée par des surfaces libres et des parois fixes. Dans ce liquide homogène, de densité [jl, plongent ou flottent des corps solides; pour plus de simplicité, nous supposerons qu'il n'y en a qu'un, dont nous désignerons la masse par M et la surface immergée par S. Une sphère, de rayon infiniment petit e, éclate au sein du liquide avec une intensité de percussion iilwJs, uniforme en tous les points de sa surface <t. On demande :
1° La vitesse (w, ^, <v,/?, y, r) imprimée au solide par l'explosion;
2"* La percussion [jl^ en tout point du liquide.
PERCUSSIONS ET EXPLOSIONS. lOJ
On sait que<P salisfait à l'équalion potentielle
^itp (^j* <^»4>
Ox-^ 0/^ Oz^
et que les composantes de la vitesse en un point du (luide sont
ôx Oy Oz
Représentons par n et N les normales extérieures à la petite sphère t et au solide S, par T la demi-force vive du liquide, par T|" celle du solide. En vertu du principe général établi au début, et qui contient toute la théorie des percussions, il s'agit de rendre minima l'expression
Oi) 12 -. T-i-T, -+- " - / -7- fl^j.
e J^ dn
La demi-force vive du liquide
a pour valeur, en vertu d'une transformation bien connue,
2 J^ d\ 'X J^ dn
de sorte que l'expression à rendre minima devient
•>. . /j, rfiM -2 J^ \ £ / dn
Ouant à la fonction 4>, nous poserons
( ri ) 4> — o -,- <{/
et nous satisferons à toutes les conditions que <& doit remplir en assujettissant cp et A aux suivantes :
r' Dans tout le liquide, A?p -- A^= o; a" à l'infini, cp et <}/ soni infiniment petits; 3° à la surface libre, <p = 'i=zo; 4° sur les parois fixes, les dérivées de y et de tj/ suivant la normale sont
Io6 HYDRODYNAMIQUE.
nulles: o*^ à la surface du solide S, on a
' àN =("■ 5^2— rx)cos(N,a-; -^(v -^ rx '-pz)cos(N,y) ( -i- (w-h py — q z)co9>(^y z),
6^ au centre d'explosion, la fonction cp et ses dérivées sont continues; la fonction ^ est infinie comme Tinverse de la distance à ce centre (lim s^ = m).
On voit que cp est la fonction introduite par Dirichlet dans son étude du mouvement d'un solide au sein d'un liquide et que (^lebsch a déterminée pour Tellipsoïde; c'est le potentiel qui donnerait la vitesse du liquide, si l'on imprimait directement au solide la vitesse inconnue («, ^, iv, p, çr, /•). La fonction 4 est celle qui déterminerait la percussion, si le solide S était fixe.
Nous allons transformer l'expression û qu'il s'agit de rendre minima. Occupons-nous d'abord de la seconde des intégrales qui y figurent et qui est relative à la petite sphère o-. Au centre d'explosion, '1 devient infiniment grand comme mp~'. On peut donc écrire
P les Y„ étant des fonctions sphériqucs. De là résulte
p • '^ ' dn p*
Pour avoir les points de la petite sphère, il faut faire p -- 3, ce (|ui donne
Si Ton remarque que la surface totale o- de la petite sphère est égale à ^tzz^ et si l'on néglige les termes qui sont infiniment petits avec e, il reste
