PERCUSSIONS ET EXPLOSIONS. IO

f' désignant la valeur ^{x'^ y, z') que la fonclum y acquiert au centre d'explosion (x',^, z')\ alors û devient

Mais on a identiquement

ou, à cause de la condition (i5),

de sorte que, si Ton pose

(.0) G=.T.-^oJt«,S,

l'expression à rendre minima devient

La seconde parenthèse se compose de deux termes indépendants de M, Vy (V, /:;, </, r. Si on la représente par C, on aura

Pour évaluer l'intégrale qui subsiste au second membre, nous appliquerons le théorème de Green aux deux fonctions ^ et <j; en prenant comme champ d'intégration tout l'espace occupé par le liquide. A raison des trois premières conditions imposées à ces fonctions, le théorème de Green donne simplement

Mais, en vertu de la condition (i5), la première intégrale du premier membre est nulle. A l'intérieur de la petite sphère, on a

p ^ an p^

I ()8 HYDRODYNAMIQUE.

Par suite, la première intégrale du second membre est infiniment petite comme e, et la seconde se réduit à

Nous arrivons donc à la formule fondamentale (';

qui va nous donner six relations distinctes. Rappelons, en effet, que la fonction cp de Dirichlet est linéaire et homogène par rapport aux six indéterminées w, r, (v,/?, q^ r

les fonctions cpi, O21 ?3) ?4i ^5j ?o satisfont, dans toul le liquide, à rinfini, à la surface libre et sur les parois fixes, aux mêmes condilions que cp; à la surface du corps S, leurs dérivées y^i suivant la normale extérieure ont respectivement pour valeurs

/ yir- cos(N, j-), yir^jcos(\, ;;) — ^cos(N,7), j

i '>•>.) < y» — cos ( N,^' ), yj— ^ cos( N, x) -xcosiN.z), > ('->/>/)

{ yj= co^(S, z). y.fi" a:co5(N,j^j -jcos(N,a:). /

A raison de Tindépendance des six arguments w, v^ iv, /?, </, r, la relation ( ^i) entraîne les suivantes :

iTT/nçi — / '}//srfS, iTr/?i?;- — / ^'/jdS.

C.es équations montrent que la connaissance de la seule /onction i, pour toutes les positions x\ y' ^ z' du centre d^ explosion y suffirait pour résoudre complètement le problème proposé y

( ' ) Si le centre d'explosion est à la surface du solide, le second membre n^esl plus égal à — '\r,m^\ mais à — a-r/wç'.