PERCUSSIONS ET EXPLOSIONS. II

que le changement de variables X = ^^ — c- permet d'écrire ainsi :

labch /** d(

2 — ^ J^ r-s/(a^—c^^t*)(b^—ci-^t^)

D'ailleurs, la masse M de l'ellipsoïde flottant est égale à la masse '^TzabciL du fluide déplacé. Toutes ces valeurs, substituées dans la formule générale (iS;), donnent

(35) w = 6mh 1

Ainsi, la vitesse avec laquelle l'ellipsoïde est projeté en l'air ne dépend que du coefficient de percussion m, de la profondeur h du centre d'explosion et des difl'érences a^ — c"^, b^ — c^, c'està-dire que, m et h une fois données, elle est la même pour tous les ellipsoïdes homo/ocaux.

II va sans dire, d'ailleurs, que l'ellipsoïde peut être coupé audessus de la ligne de flottaison et creusé en forme de navire, de sorte que la question qui vient d'être résolue est un cas particulier du problème des torpilles sous-marines.

Ajoutons que la quadrature qui fait connaître w s'effectue aisément quand rellipsoïde est de révolution, ovaire ou planétaire.

VI. — Solution complète pour la sphère à demi immergée. Dans le cas de la sphère (a'^=:b'^=zc''), la formule (35) devient

(36) i^ = 6mhj Y^^lTt

Donc, quand une torpille éclate sous une sphère en repos y Cl demi immergée, en un point de la verticale de son centre, la vitesse avec laquelle la sphère est soulevée est indépendante de son rayon; elle est inversement proportionnelle au carré de la profondeur du centre d'explosion,

La fonction cp3 prend, dans le cas de la sphère, une forme très simple. En eflet, la constante C est alors égale à | et, si l'on désigne par / la distance d'un point du fluide au centre de la sphère G. R. — II. 8

I 1 4 HYDRODYNAMIQUE.

flottante, la limite inférieure o) de l'intégrale (29) dont dépend cps est égale à /* — a*-*, ce qui donne

(3;) cp^r.- / =-.-.

De ce résultat et de la formule (36) on déduit

(38) <p = wîPj

hÛ^

Telle est, pour la sphère flottante, l'expression de la fonction de Dîrichlet.

Quant à la fonction ^, qui est unique, nous pouvons lui donner la forme

OÙ x,yj z sont les coordonnées d'un point de l'espace, rapportées à trois axes rectangulaires passant par le centre O de la sphère flottante (Oz étant vertical et dirigé vers le bas). De la sorte ^ sera nul à la surface libre 5 = o. Il restera à déterminer une fonction potentielle ^o(^»J^) ^)î entière en dehors de la sphère, qui soit nulle à lUnJini comme r inverse de la distance à l'origine, infinie au centre d'explosion comme /wp~*, et telle que sur toute

la sphère on ait -—? = o.

Voici comment on peut former une fonction ^0 satisfaisant à ces diverses conditions. Désignons par p, / et p' les distances d'un point quelconque P(^, y, z) du liquide au centre d'explosion A{x ^--Y r= o, x; = /i), au centre O de la sphère et au conjugué \!{x ~.^y -.z^o^ z^=z h') du centre d'explosion par rapport à la sphère. Les coordonnées h et h' sont liées par l'équation hh' -= a*. Cela étant, nous poserons

et il faudra d'abord que l'on ait à la surface de la sphère

^ d \ dN ~ d?i p'

Or, le point P étant maintenant sur la sphère, si l'on désigne para

PERCUSSIONS ET EXPLOSIONS. Il5

l'angle de OP avec AP, et par a' celui de OP avec A'P, on aura

d i * *^P __ cosa ^ ' __ ^ ^P' __ cosa'

5Np'^~P«5N"" p«~ ' ^N p^ "" "" ^ 5N "" p'ï" '

cosa = ■ f cosa = ■ -, •

Mais la relation entre h et h' entraîne la similitude des triangles POA, POA' et les égalités

Si Ton fait usage de ces dernières pour exprimer A et p en fonction de A' et p', on trouve aisément

rfN " 5"N p" "^ a \d^ p' "^ ap7

ce qui conduit à poser

a \p / aN ap

On est ainsi ramené à déterminer une fonction potentielle U(ar,^, z) entière en dehors de la sphère, qui soit nulle à l^ infini comme l'inverse de la distance à l^ origine, et telle que sur

toute la sphère on ait -jrr = — -r ^ dy ap

Voici comment on y arrive. Désignons par y Pangle de OPavec la verticale : nous aurons

p' //« — a^'/cosY-i-A'» ,, /' h' /f«'

ou, en développant suivant les puissances de j»

les coefficients X« étant les polynômes de Legendre où la variable X est remplacée par cosv.

On peut, d'autre part, développer la fonction cherchée U de la

1 16 HYDRODYNAMIQUE.

manière suivante :

ce qui donnera

Or nous voulons qu'à la surface de la sphère, c'est-à-dire pour 1 = a, celte dérivée soit égale à l'inverse de ap', ce qui conduit à écrire

En vertu de propositions connues, on conclut de là

— Yo=i, — 2Y1 = Xj, — 3Yî = Xj, ..., et par suite aussi

En conséquence, la fonction cherchée U a pour expression

L^ntégration est immédiate et donne

I , h'— Icosy -h \/h'^ — '?Jh' cosy -h l^ 1 , p' — z -^ h' U = — 77 log ^— ^ 7 ' = — r7 ïog ^— .

De là, remontant aux expressions de V et de ^0, on déduit

^,(a-,r.^) =-(- + -, -log '' /-^ ;•

Si Ton change 5 en — w, la distance p se transforme dans (a distance pi du point P au symétrique Af du centre d^explosion par rapport à la surface libre, et p' est remplacé par la distance p, du point P au conjugué de Af par rapport à la sphère. Avec ces

PERCUSSIONS ET EXPLOSIONS. f I7

notations, on trouve

a \pi pi l-\- z f

cl, par suite,

Telle est l'expression de ^; il suffit de l'ajouter à celle de o fournie par l'équation (38) pour avoir le potentiel des vitesses, ce qui achève la solution.