VII. — Solution complète pour le disque circulaire

Supposons d'abord le disque elliptique. Il faut faire c = o dans les formules (29) et (35), ce qui exige, pour la première, que Ton

cherche ce que devient le rapport — __ .- lorsque c tend vers zéro.

A cet effet, faisons dans la formule (3i) le changement de variable }<= t^ — c^ déjà employé. Il viendra

Q = iabcl — ,

Je '* v(«* — C* -H />)(6«— C«-i- t^)

Intégrons par parties'; nous aurons

C = labc

On déduit immédiatement de là

(39) hm =iab I ^ — 3-

'*-'' ^ Jo {a^^t^y{b^-\-t^y

Pour obtenir sv et ^3 quand le disque est circulaire, il suffit d'introduire les hypothèses b = a^ c = o dans les formules du paragraphe précédent relatives à l'ellipsoïde. On trouve immédiatement

(ij) w=z6mhl -TT— ï ïT = — ï- ( I arctang-r)'

1 1 8 HYDRODYNAMIQUE.

Afin de voir ce que devient l'expression de Çs, nous ferons usage de la relation (89), qui, particularisée par l'hypothèse 6 = a, donne

a — G . ^ r* dt

Par suite, la formule (p.9) devient

X)Xv/X

co étant la racine positive (ou nulle) de l'équation

Si l'on fait X = /^, l'expression de cp^ devient

la^z C dt iz f a a \

ce que l'on peut, en posant o) = a^T^, écrire (29) ®'^ "^ (arctang- — - )»

T étant la racine positive (ou nulle) de l'équation

Pour connaître la percussion

en tout point du liquide, il ne reste plus qu'à déterminer ^.

D'après les conditions qui lui sont imposées, ^ est le potentiel des actions qu'exerce sur un point de l'espace le système formé par un plan conducteur indéfini, percé d'une ouverture circulaire de rayon a, au potentiel zéro, et par deux masses égales m placées symétriquement sur l'axe de figure, aux distances — A et -|- A'du plan. M. Beltrami a donné sous forme explicite le potentiel d^un disque de rayon a, influencé par une masse m\ placée à la distance A' sur l'axe de figure. D'après son résultat, s'il y a deux