PERCUSSIONS ET EXPLOSIONS

fiait V. Il vient

Les deux racines de cette équation en v^ tendent vers zéro avec .3; la positive a pour partie principale zla^ d'où il résulte, quand z est très petit,

Pour calculer la dérivée de i^ par rapport à 3, dans Thypothèse s =r o, on peut considérer p, r et Tf comme des constantes, leurs dérivées par rapport à z s'évanouissant avec z\ de la sorte on trouve simplement

dz 7c[(r-4-r,)«-f-4pîv«][(r — r,)*-+-4p*>'*]

On peut, d'après ce qui précède, négliger v^ dans le premier facteur du dénominateur, qui devient alors

^[(rî — rî)*-f- 4(r-4-r,)«p«v*],

OU, en vertu des expressions de r et /'i,

Sur les bords du disque on a

p = a, r = Tj = /a* -f- A*, de sorte que la dérivée considérée s'écrit

OU, eu égard aux valeurs de v et de v^,

à^ 1 ma s/ a

Il suffit de rapprocher ce résultat des formules (35)' et (44) pour reconnaître que sur les bords du disque l'expression (4^) est

infinie comme -p.» ce qui démontre le théorème.

sz

I2SI HYDRODYNAMIQUE.

Remarque, — A la question de l'explosion sous un disque flottant se rattache analytiquement la suivante : On laisse tomber un disque à plat sur la surface de Teau avec la vitesse w\ quelle esl la percussion [jl^ en un point quelconque du fluide?

Si Ton pose ^ = — ^'fa» î' est aisé de voir que Ç3 est identique à la fonction désignée du même nom dans les pages précé4entes. La solution est donnée, pour le disque elliptique, par les formules (29) et (3o), où l'on devra tenir compte de l'hypothèse c =ir o ainsi que de la relation (Sg) qui en découle. Pour le disque circulaire, la solution résulte des formules (29)' et (3o)'. Nous venons de prouver que sur les bords du disque la dérivée de çs par rapport à z est infinie, tandis qu'elle est, comme on sait, partout égale à w sur la face inférieure du disque. Ainsi, dans le cas présent, la vitesse du liquide est égale à w sous le disque et infinie sur ses bords. Ajoutons qu'on peut trouver l'équation des lignes de flux sous forme flnie.